Actualisering leerplan Eerste Graad Deel Getallenleer Sessie 2: letterrekenen, vergelijkingen en formules Schooljaar 2005-2006

Beheersingsniveaus E B V Absolute minimum. Basisniveau kan gehaald worden, maar geen garantie. Het niet halen van dit niveau geeft belangrijke informatie over de leerling. Gevolg voor oriëntering! B Het normale beheersingsniveau voor alle leerlingen. Normale realisatie van basisdoelstellingen, dus zonder ingewikkelde oefeningen en toepassingen. V Dit niveau is niet voor alle leerlingen haalbaar! De leerlingen die het aankunnen, kunnen meer dan de gemiddelde leerling. Deze leerlingen kunnen georiënteerd worden naar een studieloopbaan met een uitgebreid pakket wiskunde.

Spiraalaanpak Verticale spiraal bijv. oplossen van vergelijkingen x + a = b en ax = b ax + b = c ax + b = cx + d snijpunt 2 rechten, a, b, c rationale getallen ax² + bx + c = 0 a, b, c reële coëfficiënten Variaties o.a. bikwadratische vergelijkingen Rekenregel Horner voor derdegraadsvergelijkingen Hogeregraadsvergelijkingen Complexe getallen

Spiraalaanpak Horizontale spiraal: binnen een bepaald leerjaar op een steeds “hoger” niveau gaan werken. bijv. gehele getallen

Rekenen met gehele getallen Sommen: 3+(-2)= Verschil: 5-(-2)=5+2 Sommen met gehele en meerdere termen Een tijdje oefenen

Rekenen met gehele getallen Producten: natuurlijk getal maal negatief geheel: 4.(-3)=-3+(-3)+(-3)+(-3)=-12 Negatief maal negatief: (-4).(-3) Een tijdje oefenen

Rekenen met gehele getallen Uitbreiden naar combinaties van deze regels: -3.(-7)+(-17)-(-9) Een tijdje oefenen

Rekenen met gehele getallen Quotiënten van twee gehele getallen -36:9 = Daarna: -56:(-14) = 56:14 Quotiënten met meerdere gehele getallen: Een tijdje oefenen

Rekenen met gehele getallen Gespreide en getrapte aanpak! Oefentijd spreiden over een grotere tijdsspanne. Vroeg starten. Betere beheersing onderliggende regels

Hoe moet het verder? Begin stapsgewijs Overleg binnen de vakgroep Basis t.o.v. verdieping : afbakenen bij het begin van het schooljaar Enkele voorbeelden : - opbouw rekenvaardigheden - collage (zie sessie 1) - grafieken en diagrammen

Overzicht sessie Werken met letters p. 1-7 1ste jaar uitbreiding getalbegrip p. 8-17 2de jaar algebraïsch rekenen Inleiding p. 18-19 Leerplan a p. 19-25 Leerplan b p. 26-28 2de jaar vergelijking van de 1ste graad met één onbekende Leerplan a p. 28-29 Leerplan b p. 30

Bijlagen Voorbeelden van werken vanuit p. 2-4 schema’s en patronen Situaties die leiden tot werken p. 5-21 met formules 3. Schema’s en patronen, aanvulling p. 22 4. Letterrekenen vanuit tabellen p. 23-29 en grafieken 5. Planning onderdeel algebraïsch rekenen p. 30-31 6. Alternatieve oefenvormen p. 32-37 voor letterrekenen 7. Websites p. 38-41 8. Hulp bij Mathelp p. 42-48

Werken met letters Letters als onbekenden x+12=15, x is welbepaald getal, vergelijking wordt gelijkheid. 3x=17, 17 leerlingen en 3 groepjes, voorwaarde opleggen 3x=17, uitspraakvorm, x is veranderlijke

Zoek x!

Werken met letters Letters in formules I=k.i.t Letters: Woordformules Hogere wiskundetaal I=k.i.t Letters: hoeveelheid van bepaalde grootheid veranderlijke

Werken met letters Letters in veralgemeningen Bedenkingen: formule – voorbeeld algemeenheid formule Bedenkingen: 2a + 3a = 5a a + b = b + a uitspraakvorm kwantificering (a + b)² = a²+ 2ab + b² algebraïsche uitdrukking

Werken met letters Letters als veranderlijke onbekende in een vergelijking formules tabel veranderlijke waarde Vaardig werken met algebraïsche uitdrukkingen is belangrijk voor de vervolgstudie met wiskundige onderbouw. Maar vaardigheid betekent vlotheid in eenvoudige situaties.

Eerste jaar: uitbreiding getalbegrip 31 B Letters gebruiken als middel om te veralgemenen. 32 B In eenvoudige patronen en schema's regelmaat ontdekken en met formules beschrijven. 33 B Letters gebruiken als onbekenden.

Eerste jaar: uitbreiding getalbegrip Een letterformule is een veralgemening van vastgestelde verbanden. Bijv. vakantie 2, 5, 8, 11, …, 3.n-1 Behoort 112 tot die rij? (3.n-1=112) Lettervormen bij schema’s en herkennen van regelmaat vierkanten Letters beperken. Formules gebruiken waarbij men de betekenis van de grootheden kent. Formules in verschillende vormen memoriseren is zinloos. Over het jaar spreiden!

Eerste jaar: uitbreiding getalbegrip Een grootheid berekenen uit een gegeven formule, door de waarden van de andere grootheden eerst in te vullen en dan de vergelijking oplossen. Een formule omvormen door ze op te lossen naar een veranderlijke B I=k.i.t V

Eerste jaar: uitbreiding getalbegrip 34 B Vergelijkingen van de vorm x + a = b en a.x = b met a,b  Q en a  0 oplossen Belang van mathematiseren!

Voorbeelden Men telt 37 op bij een getal en men vindt 135. Welk getal is het? De formule voor de omtrek van een cirkel is . Maak een tabel voor de omtrek bij verschillende waarden van de straal tussen 2 en 4, toename 0,2. Welk is de straal van een cirkel met omtrek gelijk aan 20?

Eerste jaar: uitbreiding getalbegrip Mathematiseren als specifiek doel! Men vermeerdert het tweevoud van een getal met 7, de som is 33. Welk getal is het? 2 g + 7 = 33

Tweede leerjaar (a): algebraïsch rekenen Voor de meesten: beperkt gebruik algebraïsche rekenvaardigheid. Vlotheid is maatstaf in oriëntering. Mathematiseren Eenvoudige vlotte oefeningen!

Tweede leerjaar (a): algebraïsch rekenen 7 B De getalwaarde van een veelterm met ten hoogste drie termen berekenen. Beperken tot één letter met lage exponenten bij de veranderlijke. Ten hoogste 3 termen, beperken tot 2 letters. Voorbeeld E B

Tweede leerjaar (a): algebraïsch rekenen 8 B Twee- en drietermen optellen en vermenigvuldigen en het resultaat herleiden. Twee- en drietermen in één letter optellen en vermenigvuldigen en het resultaat herleiden. Twee- en drietermen in twee letters optellen en vermenigvuldigen en het resultaat herleiden. Spreiden in de tijd ( hernemen via een taak). B V

Tweede leerjaar (a): algebraïsch rekenen Twee- en drietermen in één letter en met eenvoudige letterexponenten optellen en vermenigvuldigen en het resultaat herleiden. Bijv. V

Tweede leerjaar (a): algebraïsch rekenen 9 B Het quotiënt van twee eentermen berekenen. 10 B Machten met een natuurlijke exponent van een eenterm berekenen. Werken met één letter en in teller en noemer positieve exponenten. Machten met een natuurlijke exponent berekenen van eentermen met ten hoogste twee letters en waarin letterexponenten voorkomen. E V

Tweede leerjaar (a): algebraïsch rekenen 11 B De formules voor de merkwaardige producten (a + b)²en (a + b).(a – b) kennen, verklaren en toepassen. 12 B Eenvoudige veeltermen ontbinden in factoren door gebruik te maken van: - de distributiviteit van de vermenigvuldiging t.o.v. de optelling; - de formules voor de merkwaardige producten (a + b)²en (a + b).(a – b).

Tweede leerjaar (a): algebraïsch rekenen De verklaring van de formule voor (a + b)² koppelen aan het gekende gebruik van oppervlakten. Rechtstreekse berekening met regel distributieve eigenschap.

Tweede leerjaar (a): algebraïsch rekenen

Tweede leerjaar (a): algebraïsch rekenen Ontbinden in factoren Voordeel: snel bepalen van nulpunten (vormen in één letter) Ontbinden in factoren met machten waarin letterexponenten voorkomen. V

Tweede leerjaar (b): algebraïsch rekenen 6 B De getalwaarde van een veelterm met ten hoogste drie termen berekenen. Het berekenen van getalwaarden in contextsituaties. Aandacht voor het vormen van het begrip veranderlijke.

Tweede leerjaar (b): algebraïsch rekenen 7 B Een- twee- en drietermen optellen en vermenigvuldigen en het resultaat herleiden. Met één letter werken Spreiden in de tijd. Gelegenheid om rekenregels van bewerkingen te onderhouden (Doelstelling 1, 2de jaar)

Tweede leerjaar (b): algebraïsch rekenen 8 B De formules voor de merkwaardige producten (a + b)²en (a + b).(a – b) kennen, verklaren en toepassen. 9 B Eenvoudige veeltermen ontbinden in factoren door gebruik te maken van: - de distributiviteit van de vermenigvuldiging t.o.v. de optelling; - de formules voor de merkwaardige producten (a + b)²en (a + b).(a – b).

Tweede leerjaar (b): algebraïsch rekenen De verklaring van de formule voor (a + b)²koppelen aan het gekende gebruik van oppervlakten. Rechtstreekse berekening met regel distributieve eigenschap. Beperken tot standaardvormen: (x – 3)(x + 3) (x – 7)² (x² + 5)(x² - 5)

Tweede leerjaar (a): vergelijking van de eerste graad in één onbekende 13 B Eigenschappen in verband met gelijkheden kennen. laat de leerlingen de eigenschappen memoriseren bijv. beide leden van een gelijkheid met eenzelfde factor vermenigvuldigen.

Tweede leerjaar (a): vergelijking van de eerste graad in één onbekende 14 B Vergelijkingen van de eerste graad met één onbekende oplossen. Vergelijkingen van het type x + a = b, ax = b, ax + b = c oplossen. Vergelijkingen van de eerste graad met één onbekende oplossen. Formules omvormen door een van de letters uit te drukken i.f.v. de andere m.b.v. technieken van het oplossen van vergelijkingen. E B V

Voorbeeld Met de formule T = G - kun je een benadering vinden van de temperatuur op verschillende hoogtes. G is de temperatuur op de grond in °C. h is de hoogte in meter. T is de temperatuur op h meter hoogte in °C. a. G = 14 en h = 1850. Bereken T (op één decimaal nauwkeurig). b. T = 11 en h = 1030. Bereken G (op één decimaal nauwkeurig). c. T = 9 en G = 15. Bereken h (op één decimaal nauwkeurig). d. Druk G uit in T en h (dus G = …….). e. Druk h uit in G en T.

Tweede leerjaar (b): vergelijking van de eerste graad met één onbekende (Doelstelling 10) Vergelijkingen van het type x + a = b, ax = b, ax + b = c oplossen. Andere vormen aan bod laten komen Bijv. 5x – 7 = 3x + 4 (later bij gelijkstellingsmethode bij stelsels) Omvormen van formules: Invullen van gegevens en oplossen van de bekomen vergelijking. Voor leerlingen die doorstromen in wiskundig sterkere richtingen,omvormen met letterrekenen aanleren. E

SUCCES!

Wat in deel 2? Bijdrage van collega’s. Opdracht cijferrekenen : de kleinste uitkomst. Opdracht rekenen met grote getallen : een miljard getallen schrijven. Collage. Instaptoets. Vragen?

pauze