Relativiteitstheorie (2) H.A. Lorentz

Twee waarnemers Een waarnemer is iemand met ‘bij zich’ de oorsprong O van een coördinatensystem en zijn eigen klok, en eigen lengtemaat. We beschouwen steeds twee waarnemers, S en S’, die t.o.v. elkaar bewegen: Waarnemer S’ beweegt met een constante snelheid v t.o.v. S naar rechts (d.w.z. langs de x-as). Hoe ‘vertaal’ je de tijd en ruimte metingen van S naar die van S’? x y z O S t z’ y’ S’ O’ x’ t’ v m/s

Tot nu toe… Voor tijd- en ruimtemetingen hebben we ‘operationele definities’. Iedere waarnemer heeft zijn eigen klok en lengtemaat. Een waarnemer bevindt zich altijd in de oorsprong van zijn eigen coördinatensysteem.

Michelson-Morley Het Michelson-Morley experiment heeft twee gevolgen: 1. Er is geen ether, licht kan door vacuüm reizen. 2. Uit het meten van de snelheid van zonlicht gedurende meerdere maanden volgt dat de lichtsnelheid die een waarnemer meet onafhankelijk is van zijn snelheid t.o.v. de lichtbron. M.a.w. c is absoluut. De Galilei transformatie x’ = x+vt, y’ = y, z’ = z, t’ = t geldt dus blijkbaar niet algemeen. De Lorentz transformatie is wél in overeenstemming met het absoluut zijn van c [zal blijken].

De Lorentz Transformatie Ruimte en tijd zijn nu gekoppeld (ruimtetijd), want bijv. t hangt af van t’ en van x’. Tijdsduur en lengtes zijn niet meer absoluut, maar relatief. De inverse transformatie (van S naar S’) volgt door het teken van v om te draaien.

De Lorentz Transformatie voor lage snelheden Als v « c, dan geldt vul dit in in Lorentztransformatie: Conclusie: voor lage snelheden reduceert de Lorentz- transformatie tot de ‘oude’ Galileï formule. [Zoals we verwachten!]

Opgave 1 Maak m.b.v. Mathematica een grafiek van g als functie van de parameter b = v/c. Laat b lopen van nul tot 0,95. Tot welke snelheid is de Galileï transformatie nog tot op 5% nauwkeurig?

Opgave 2 Op t = 0 flitst een lichtbron in O = O’. Beide waarnemers zien een bolgolf die zich uitbreidt met snelheid c. Dit kunnen we wiskundig beschrijven. y y R R x x z De vergelijking voor een cirkel met straal R volgt uit de stelling van Pythagoras: x2+ y2 = R2 Idem is de vergelijking voor een bol met straal R: x2+ y2+ z2 = R2

Opgave 2 (vervolg) Beide waarnemers zien een bolgolf die zich uitbreidt met snelheid c [m/s]. De straal R van de bol is dus na t seconden gelijk aan ct meter. y De vergelijking voor de zich uitbreidende bolgolf is voor S x2+ y2+ z2= c2t2 (1) Maar S’ ziet ook een bolgolf die zich met dezelfde snelheid uitbreidt: x’2+ y’2+ z’2= c2t’2 (2) Wat gebeurt er nu als we de ‘vertaling’ van S’ naar S toepassen? R = ct x z Opgave: Laat m.b.v. de Lorentztransformatie zien dat vgl. (2) uit vgl. (1) volgt. M.a.w. de Lorentztransformatie heeft het absoluut zijn van c ‘ingebouwd’. [Dit in tegenstelling tot de Galileï transformatie.]

Gelijktijdigheid is niet absoluut (1) Drie t.o.v. elkaar bewegende waarnemers zien een lamp in het midden van een treinwagon kort oplichten Een met de trein meebewegende waarnemer ziet dat het licht V en A tegelijkertijd bereikt. Een tweede waarnemer die de trein voorbij ziet komen ziet dat A eerder wordt bereikt dan V! Een derde waarnemer in een nog snellere trein die de eerste trein inhaalt, ziet dat het licht A juist later bereikt dan V! A V A V

Gelijktijdigheid is niet absoluut (2) De drie waarnemers zien alledrie iets anders. Wie heeft er nu gelijk? Antwoord: ze hebben alledrie gelijk. Gelijktijdigheid is een relatief begrip, d.w.z. wat voor de één waarnemer gelijktijdig is, is dat niet voor een andere waarnemer die t.o.v. de eerste waarnemer beweegt. Dit soort effecten treedt pas op bij hele hoge snelheden, als de onderlinge snelheid v van de waarnemers vergelijkbaar is met c. Maar als gelijktijdigheid relatief is, zijn tijdsduren en afstanden dat dan ook?

Tijdsdilatatie Waarnemer S bepaalt een tijdsduur T door twee keer op een voor hem stilstaande klok te kijken. Hij registreert dus twee gebeurtenissen, namelijk eerst x1, t1 en dan x2, t2. Omdat de klok vanuit S gezien stilstaat, geldt x1 = x2. De door S gemeten tijdsduur is T = t2-t1. (met t2 > t1 , natuurlijk) Waarnemer S’ ziet dat de klok een snelheid v heeft. We kunnen weer met de Lorentz transformatie de meting van S vertalen naar de tijdsduurmeting T’ = t2’-t1’ die S’ doet: Dus M.a.w: waarnemer S’ vindt dat de voor hem bewegende klok van S langzamer loopt dan zijn eigen, stilstaande klok. Dit effect wordt tijdsdilatatie (‘tijdsuitrekking’) genoemd. en

CERN - Geneve

De tijdsdilatatie getest Tijdsdilatatie wordt dagelijks experimenteel geverifieerd in bijv. deeltjesversnellers zoals bij CERN. Zgn. p+ mesonen (‘pionen’) zijn elementaire deeltjes die een gemiddelde levensduur hebben van 2,5 10-8 s. [Daarna vervallen ze in een m+ meson en een neutrino.] Als je een pion versnelt door het een zeer hoge energie dan zal zijn ‘interne klok’ langzamer gaan lopen. De levensduur van zo’n snel pion zal dan ook langer zijn dan die van een pion in rust. Het is gelukt om ‘snelle’ pionen te maken die 10000 keer langer leven, nl. gemiddeld 10-4 s. Deze waarde is precies in overeenstemming met de voorspelling van de relativiteitstheorie. Tijdsdilatatie is dus werkelijkheid!

De Lorentz transformatie van afstanden (1) De samentrekking (‘contractie’ ) van lengtes Waarnemer S meet de lengte van een staaf die in zijn coördinatenstelsel stilligt. De staaf ligt langs de x-as. De lengte L = x2 -x1, als x1 en x2 de x-coördinaten van de twee uiteindes zijn (met x2 > x1, natuurlijk). Waarnemer S’, die een snelheid -v heeft t.o.v. S, ziet de staaf met snelheid +v langs zijn x’-as bewegen. Omdat de staaf niet stilligt voor hem, is het van belang dat hij de posities van de beide uiteindes tegelijkertijd bepaalt (zeg op het tijdstip t’).

De Lorentz transformatie van afstanden (2) Waarnemer S’ bepaalt dus twee gebeurtenissen: het ene uiteinde meet hij als x1’, t1’ (y1’ = z1’= 0) en het andere uiteinde meet hij als x2’, t2’; waarbij, omdat beide metingen tegelijkertijd plaatsvinden, t1’ = t2’. De door S’ gemeten lengte is L’ = x2’- x1’. Nu gaan we m.b.v. de Lorentz transformatie de meting van S’ ‘vertalen’ naar de meting L = x2- x1 die S verricht heeft: Dus oftewel

De Lorentz transformatie van afstanden (3) Waarnemer S’ vindt dat de voor hem bewegende staaf een factor 1 / g = (1-v2/c2)1/2 korter is dan de lengte die S (voor wie de staaf stilligt) bepaald heeft. Dit effect is de beroemde Lorentz-FitzGerald contractie. Overigens is dit nog niet direct experimenteel is aangetoond omdat het niet mogelijk is een macroscopisch voorwerp een snelheid nabij c te geven.

Doppler verschuiving bron stilstaande waarnemer bron Als je naar een optische bron toebeweegt, blijft de lichtsnelheid constant. Verandert er dan verder niets? bron stilstaande waarnemer bron bewegende waarnemer Een naar de bron toe bewegende waarnemer ziet meer pieken en dalen per seconde dan een stilstaande waarnemer. Hij ziet dus een hogere frequentie (‘blauwverschuiving’): het zgn. Doppler-effect. Dit effect, een verandering in toonhoogte, kan je ook horen als je gepasseerd wordt door een motor.

Doppler verschuiving (2) Hoe kunnen we dit effect m.b.v. de relativiteitstheorie analyseren? Beschouw een lichtbron die met snelheid van v m/s naar een waarnemer (‘receiver’) S toe beweegt. S telt N pieken en dalen in een tijdsduur Dtr. Volgens S heeft (in die tijdsduur) het eerste golffront een afstand cDtr afgelegd, en de bron een afstand vDtr. In een lengte cDtr-vDtr passen dus N golven, m.a.w. S meet een golflengte En dus een frequentie

Doppler verschuiving (3) Een waarnemer die stilstaat t.o.v. de bron (‘source’) meet dat de bron met frequentie fs uitzendt, en dus in een tijdsduur Dts precies N = Dts fs golven uitzendt. Dus: Maar we kennen de verhouding want dat is 1/g. (tijdsdilatatie) Kortom:

Doppler verschuiving (4) Deze formule is zeer belangrijk in de astronomie. Sterren zenden licht uit met specifieke frequenties (‘spectraallijnen’) die karakteristiek zijn voor de atomen die ze bevatten (bijv. waterstof of helium). Doordat je fr meet terwijl je weet dat fs moet zijn uitgezonden, kan je de snelheid v van de ster bepalen. Door dit effect ontdekte men dat het universum uitdijt.

Opgave 3 Als een ster een spectraallijn van waterstof uitzendt met een frequentie die 10% lager is dan de frequentie die je voor dezelfde spectraallijn meet in een laboratorium op Aarde, wat is dan de snelheid van die ster?

Tot nu toe… De ‘intuïtieve’ vertaling van de tijd en ruimte metingen van twee waarnemers die t.o.v. elkaar bewegen is alleen geldig als hun onderlinge snelheid laag is (v << c). Bij hogere snelheden moet je de Lorentz transformatie gebruiken. Deze is wél in overeenstemming met het Michelson-Morley experiment. Het is een direct gevolg van de Lorentz transformatie dat a) bewegende voorwerpen ‘krimpen.’ (lengte contractie) b) bewegende klokken langzamer lopen (tijdsdilatatie) De tijdsdilatatie is uitgebreid geverifieerd. Het relativistische Doppler effect voorspelt dat sterren die zich van je afbewegen licht uitzenden met een langere golflengte (de zgn. redshift) . Uit de redshift is hun snelheid te bepalen.