Betrouwbaarheidsanalyse Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

Betrouwbaarheidsanalyse Classificatie methoden (JCSS): Niveau III volledig probabilistisch Niveau II volledig probabilistisch met benaderingen Niveau I semi-probabilistisch (met probabilistisch onderbouwde rekenwaarden) Niveau 0 deterministisch (dus geen betrouwbaarheidsanalyse) Leg uit dat JCSS = joint committee on structural safety Kunstwerk met bol is voorbeeld van een niveau III analyse. Niveau III: 1. Algemeen toepasbaar 2. Vaak te bewerkelijk/ veel rekentijd zeker voor grotere systemen 3. Vergt gedegen kennis kansrekening Niveau II: 1. Benaderingen waardoor (veel) sneller en meestal voldoende nauwkeurig 2. Vergt gedegen kennis kansrekening, mogelijk nog meer dan bij niveau III. Niiveau I: 1. Wordt geen faalkans uitgerekend, maar alleen getoetst of voldoende klein 2. Alleen deterministische berekeningen, dus geen kennis probabilistiek vereist 3. Basis normen Niveau 0: 1. Onzekerheden niet expliciet meegenomen, dus feitelijk geen betrouwbaarheidsanalyse 2. Nog deels in normen terug te vinden. Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

Opzet betrouwbaarheidsanalyse Niveau III (vandaag) Niveau II (vandaag) VAP-oefenen (vandaag) Niveau I (volgende week; Sten de Wit) Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

Niveau III analyse Model voor faalmechanisme: grenstoestandsfunctie Z: waarin: x1, x2, …, xn (stochastische) variabelen Falen: Z<0 Kans op falen P(Z<0) uitrekenen Berekenen kans op ongewenste gebeurtenis Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

Voorbeeld: draad Z = R - S Grenstoestandsfunctie: met: R S Lijkt op voorbeeld kunstwerk, maar dan net andere getallen Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

Kansverdelingen 0.08 0.07 R 0.06 0.05 S kansdichtheid (1/N) 0.04 0.03 0.02 0.01 20 40 60 80 R,S (N) Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

Gezamenlijke kansverdeling 80 70 60 50 R (kN) Z>0 40 falen: Z<0 30 volume = faalkans 20 10 20 40 60 80 Hier ‘hoed’ overheen denken. Geef demonstratie met een eierkoek bij wijze van kansverdelingsfunctie? S (kN) Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

Niveau III: kans op falen berekenen Analytisch Directe numerieke integratie Monte Carlo Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

Analytisch P(Z<0) = volume hoogtelijnen kdf fR,S(r,s) 80 70 R en S onafhankelijk: r dr 50 Z>0 R (kN) 40 Faalgebied opdelen in reepjes: 30 falen: Z<0 20 10 20 40 r 80 S (kN) convolutie-integraal Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

Analytisch ò ò ( ) ( ) ( ) Uitwerken: Voorbeeld: R en S normaal verdeeld: invullen en uitrekenen ¥ ¥ ( ) ( ) ( ) P Z < ò ò = f r dr f s ds R S - ¥ r Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

Analytisch In dit geval eenvoudige aanpak mogelijk: variabelen normaal verdeeld Z is lineair in variabelen dan Z ook normaal verdeeld. Voorbeeld draad: Gemiddelde Standaarddeviatie Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

Kansdichtheid van Z Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

Faalkans Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

Faalkans Bepalen: Berekenen van rode oppervlak onder kansdichtheidscurve Tabel normale verdeling via met U standaard normaal verdeeld EXCEL Antwoord: Pf = 0.037 Z = m + U s Z Z Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

Analytisch Eenvoudige aanpak was mogelijk omdat: Algemeen: Z-functie lineair in variabelen Variabelen normaal verdeeld Algemeen: Bewerkelijke integralen uitrekenen In meeste gevallen analytische aanpak onpractisch of onmogelijk Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

Directe numerieke integratie P(Z<0) = volume 80 70 60 Faalgebied opdelen in kleine hokjes: 50 Z>0 R (kN) 40 30 20 falen: Z<0 10 Kansdichtheid in hokje i hoogte van hokje i 20 40 50 80 breedte van hokje i S (kN) Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

Directe numerieke integratie Integralen bepalen via standaard numerieke technieken Rekenintensief: Voorbeeld: Daarom niet vaak toegepast bij een groter aantal variabelen Aantal variabelen Aantal hokjes 1 100 2 100*100 = 104 3 106 4 108 Uitwerken Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

Monte Carlo (sampling/ simulatie) Statistische methode: Steekproef nemen uit populatie Schatten relevante aspecten kansverdeling Steekproef nemen: R Grenstoestands- functie Z S Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

Monte Carlo analyse Stappen: 1. Random trekkingen uit verdelingen R en S 2. Bereken voor elke trekking de waarde van Z 3. Voer statistische analyse uit op Z-waarden Netter stroomschema maken en uitwerken Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

Bepalen waarden voor Z Resulteert in een steekproef van Z Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

Kans op falen Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

Trekkingen uit verdelingen Gebruik (pseudo-)randomgenerator: Levert onafhankelijke trekkingen uit de standaard uniforme verdeling Hoe bepalen trekkingen uit ander type verdeling? Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

Trekkingen uit verdelingen Andere typen verdeling Gebruik de cumulatieve verdelingsfunctie pi si 1 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

Kans op falen Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

Schatter faalkans =0.015 met  p = 0.01 Aanpassen  p = 0.01 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

Onzekerheid in faalkans Aantal trekkingen onafhankelijk van aantal variabelen! Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

Importance sampling Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

Importance sampling Trekkingen uit andere verdeling: sampling verdeling Correctie in statistische analyse achteraf: Voorkennis nodig echte kansdichtheid sampling kansdichtheid Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

Importance sampling Increased variance sampling: Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

Importance sampling Mogelijke reductie aantal samples t.o.v. ruwe Monte Carlo: orde 10-100. Voor increased variance sampling geen voorkennis vereist Variant: adaptive importance sampling iteratieve aanpassing sampling verdeling. Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

Monte Carlo en afhankelijkheid Mogelijkheden: Rangschikken trekkingen Trekkingen uit conditionele verdeling … Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

Besluit Berekenen kansen: Analystisch Directe Numerieke Integratie Monte Carlo FORM Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

Niveau II constructieberekeningen Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

FORM First Order Reliability Method Faalkans volgt uit eenvoudige formules als: Grenstoestandsfunctie lineair Variabelen normaal verdeeld Dit suggereert algemene aanpak: Lineariseer grenstoestandsfunctie Transformeer naar normale verdelingen Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

Recap lineaire Z-functie Algemeen: X-en onafhankelijk Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

Voorbeeld Gegeven: Z = R - S R = N(6, 1) S = N(2, 0.5) Dan: m s Normaal verdeeld Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

kansdichtheid sZ= 1.12 mZ=4 z Om faalkans en betrouwbaaheidsindex te bepalen: transformeren naar standaard normale variabele uZ b = 3.6 1. Beta is het aantal keer de standaarddeviatie dat je van het gemiddelde af moet halen om onder nul (falen) te duiken 2. Merk op dat deze relatie alleen geldt als Z normaal verdeeld is!! dus: suz= 1 muz=0 uZ Z=0  Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

Nieuw begrip: importance factor  Standaarddeviatie Z: is de relatieve bijdrage van variabele Xi aan de onzekerheid (variantie) van Z We schrijven: en i is de importance factor van Xi a s a = i i  i = 1 i s Z Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

Importance factors - voorbeeld In het voorbeeld Z=R-S geldt: en: a importance factor; is een maat voor de bijdrage van een variabele aan de onzekerheid in Z (en daarmee aan de faalkans) waarin de variantie van Z Merk op dat som alfa kwadraat = 1 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

Alternatief: geometrische aanpak Formules gegeven om bij lineaire Z-functies en normaal verdeelde variabelen waarden voor  en ’s te berekenen. Alternatieve methode is de geometrische aanpak Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

Geometrische methode Z=R-S R en S normaal verdeeld Z = 4 Z = 2 Z = 0 -1 1 2 3 4 5 -2 6 8 10 12 S R Z = -2 Z = 0 Z = 2 Z = 4 Z<0: faalgebied Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

Geometrische methode Transformatie naar standaard normale variabelen: invullen in Z-functie: Z=0: Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

Geometrische methode standaard normale verdeling b b u Z=0 -6 -4 -2 2 2 4 6 u S R b Z<0: faalgebied Geometrische methode standaard normale verdeling b Z=0 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

Geometrische methode Ontwerppunt (uS*, uR*): 6 4 2 Ontwerppunt (uS*, uR*): punt op Z=0 met hoogste kansdichtheid punt dichtst bij oorsprong (uS*, uR*) = (-aSb, -aRb) waarin: b betrouwbaarheidsindex a importance factor aSb R u b aRb -2 Let op: alfaR is negatief alfaS is positief -4 Z<0: faalgebied -6 -6 -4 -2 2 4 6 u Z=0 S Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

Geometrische methode Terug bij de variabelen R en S: ontwerppunt -1 1 2 3 4 5 -2 6 8 10 12 S R Z<0: faalgebied Ontwerppunt (S*, R*): punt op Z=0 met hoogste kansdichtheid S* = S + uS* sS = S - aS b sS R* = R + uR* sR = R - aR b sR Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

Geometrische methode Samenvatting twee variabelen: Z = Z(X1, X2): 1.Transformeer naar standaard normale variabelen U1 en U2: 2. Schrijf Z-functie om in u1 en u2 3. Teken de lijn Z=0 in het (u1, u2) - vlak 4. Bepaal punt op Z=0 dat het dichtst bij de oorsprong ligt Dit is het ontwerppunt (u1*, u2*). 5. Bepaal de betrouwbaarheidsindex 6. Bepaal importance factors 7. Bereken het ontwerppunt in de X-variabelen: Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

Voorbeeld Case II Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

FORM Voorbeeld uitgebreid: met: S = 100 kN f = N(290 N/mm2, 25 N/mm2) f breuksterkte d diameter draad S = 100 kN f = N(290 N/mm2, 25 N/mm2) d = N (30 mm, 3 mm) 1. N(mu, sigma) betekent normaal verdeeld met gemiddelde mu en standaarddeviatie sigma S = 100kN Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

Niet-lineaire functie Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

Niet-lineaire functie Hoogtelijnenkaart 400 350 300 250 f (N/mm2) 200 150 Z=200 kN Z=100 kN 100 50 Z<0: faalgebied Z=0 Z=- 50 kN 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 d (mm)

hoogtelijnen kdf hoogtelijnen Z-functie f (N/mm2) d (mm) 400 350 300 250 hoogtelijnen Z-functie f (N/mm2) 200 Z=200 kN 150 Z=100 kN 100 Z=0 50 Z<0: faalgebied 10 15 20 25 30 35 40 45 50 d (mm) Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

Lineariseren Z-functie: mean value aanpak hoogtelijnen gelineariseerde Z-functie 400 350 linearisatiepunt (md,mf) 300 250 f (N/mm2) 200 150 Z=200 kN Z=100 kN 100 Z=0 50 Z<0: faalgebied 10 15 20 25 30 35 40 45 50 d (mm) Zlin=0 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

Mean value aanpak - doorsnedetekening 10 15 20 25 30 35 40 45 50 100 150 200 250 300 350 400 d (mm) f (N/mm2) Z=0 Zlin=0 Z<0: faalgebied Z=100 kN Z=200 kN A A’ doorsnede A-A’ 200 150 100 Z (kN) 50 verloop Z-functie in (md,mf) gelineariseerde Z-functie Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

Mean value aanpak f (N/mm2) d (mm) hoogtelijnen gelineariseerde Z-functie 400 350 linearisatiepunt (md,mf) 300 250 f (N/mm2) 200 Overschatting faalkans bij mean value aanpak 150 100 Z=0 50 Z<0: faalgebied 10 15 20 25 30 35 40 45 50 d (mm) Zlin=0 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

Mean value aanpak Nadeel: Voordelen: Niet voldoende betrouwbaar Handmatig uit te voeren Geeft eerste inzicht in gevoeligheden Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

Mean value aanpak -1 waarbij worden berekend in Algemeen: Gegeven willekeurige Z-funtie: Lineariseren in willekeurig punt: waarbij worden berekend in Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

Mean value aanpak - 2 Mean value approach: invullen waarbij worden berekend in ¶ Z s a = i i ¶ X s i Z Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

Verfijnde analyse: linearisatie in ontwerppunt hoogtelijnen gelineariseerde Z-functie 400 350 300 linearisatiepunt = ontwerppunt (d*,f*) = punt op lijn Z=0 met hoogste kansdichtheid kleine fout in faalkans 250 f (N/mm2) 200 150 100 Z=0 50 Z<0: faalgebied 10 15 20 25 30 35 40 45 50 d (mm) Zlin=0 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

Verfijnde analyse: linearisatie in ontwerppunt Voordeel: Meestal nauwkeurige schatting faalkans Nadeel: Ontwerppunt niet van te voren bekend: opzoeken via optimalisatie procedure Behept met alle nadelen optimalisatie-aanpak, bijv. blijven hangen in lokaal optimum Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

Transformatie naar standaard normale variabelen 4 ontwerppunt (u1*,u2*) 2 b betrouwbaarheidsindex u2* b -2 kdf standaard normale verdeling -4 Z<0: faalgebied -6 -6 -4 -2 2 4 6 u1* Z=0 Bij 2 variabelen ontwerppunt grafisch te bepalen Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

Niet-normaal verdeelde variabelen ingewikkelder transformatie naar standaard normale variabelen Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

Besluit Berekenen kansen: Oefenen: m.b.v. VAP Analystisch Directe Numerieke Integratie Monte Carlo FORM Oefenen: m.b.v. VAP Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

Case study Consider an earth moving project during the construction of a bridge over the river Lek. In total about 3000 m3 of clay has to be removed. The engineer thinks that the average production of his excavator is approximately 80 m3/h. He decides to use the excavator for a period of 7 days (one working day is 8 hours). The production, however, is random and so the probability exists that a longer period is needed. Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

An additional risk in this project is the discovery of a Second World War bomb at the location of the trench. Based on the total area of the location, the probability of finding a bomb in the trench is estimated to be 1%. The consequence of that event would be a delay of a few days. Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

The following random variables can be introduced in this excercise: T: total amount of clay P: production of the excavator (in m3/h) D: delay in days because of bomb detection with the following distribution types and parameters: Variable Distribution-type mean standard dev. T Normal 3000 m3 100 m3 P Normal 80 m3/h 10 m3/h D Normal 2 days 0.5 days Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

The engineer is interested in the probability that the excavation work is not finished after 7 working days. Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

Limit State Function Z follows from Z = R - T/P - D in which: R D 7 0 [day] D N 2.000 0.500 [day] P N 640.000 80.000[m3/day] T N 3.000e+03 100.000 [m3] Z is a non-linear function with 3 variables X1=D , X2=P and X3=T Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

Run VAP (MC simulations and FORM) with: Limit State Function Z follows from Z = R - T/P - D in which: R D 7 0 [day] D N 2.000 0.500 [day] P N 640.000 10*i [m3/day] T N 3.000e+03 100.000 [m3] i: your student number (1 to 14) Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3