Logica en Schakelalgebra Ben Bruidegom Logica en Schakelalgebra Ben Bruidegom AMSTEL Instituut FNWI UvA

Propositiecalculus proposities 2 + 3 = 5 7 < 8 het regent ik kom Ben Bruidegom Propositiecalculus proposities 2 + 3 = 5 7 < 8 het regent ik kom

Propositiecalculus proposities samengestelde proposities 2 + 3 = 5 Ben Bruidegom Propositiecalculus proposities 2 + 3 = 5 7 < 8 het regent ik kom samengestelde proposities 2 + 3 = 5 en 7 < 8 het regent niet het regent of het regent niet het regent en het regent niet

De verzameling B B = { true, false } p,q = Boolse variabelen Ben Bruidegom De verzameling B B = { true, false } p,q = Boolse variabelen Operatoren op B de conjunctie p  q (“ p en q “) de disjunctie p  g (“ p of q “) de negatie p (“ niet p “)

Waarheidstabel conjunctie Ben Bruidegom Waarheidstabel conjunctie

Waarheidstabel disjunctie Ben Bruidegom Waarheidstabel disjunctie

Waarheidstabel negatie Ben Bruidegom Waarheidstabel negatie

Schakel algebra B = { 0, 1 } p = Boolse variabele Operatoren op B Ben Bruidegom Schakel algebra B = { 0, 1 } p = Boolse variabele Operatoren op B de conjunctie p . q (“ p en q “) de disjunctie p + q (“ p of q “) de negatie (“ niet y “)

Ben Bruidegom Waarheidstabel van de conjunctie (and) en disjunctie (or) en negatie (not)

Priority of operators 1e) not 2e) and 3e) or p + y.z = p + (y.z) Ben Bruidegom Priority of operators 1e) not 2e) and 3e) or p + y.z = p + (y.z) (p + y).z

Rekenregels: y . 0 = ? y + 0 = y . 1 = y + 1 = y . y = y + y = Ben Bruidegom Rekenregels: y . 0 = ? y . 1 = y . y = y + 0 = y + 1 = y + y =

Rekenregels: y . 0 = 0 y + 0 = y . 1 = ? y + 1 = y . y = y + y = Ben Bruidegom Rekenregels: y . 0 = 0 y . 1 = ? y . y = y + 0 = y + 1 = y + y =

Rekenregels: y . 0 = 0 y + 0 = y . 1 = 1 y + 1 = y . y = ? y + y = Ben Bruidegom Rekenregels: y . 0 = 0 y . 1 = 1 y . y = ? y + 0 = y + 1 = y + y =

Rekenregels: y . 0 = 0 y + 0 = y . 1 = 1 y + 1 = y . y = y y + y = Ben Bruidegom Rekenregels: y . 0 = 0 y . 1 = 1 y . y = y y + 0 = y + 1 = y + y =

Rekenregels: y . 0 = 0 y + 0 = ? y . 1 = 1 y + 1 = ? y . y = y Ben Bruidegom Rekenregels: y . 0 = 0 y . 1 = 1 y . y = y y + 0 = ? y + 1 = ? y + y = ?

Rekenregels: y . 0 = 0 y + 0 = y y . 1 = 1 y + 1 = 1 y . y = y Ben Bruidegom Rekenregels: y . 0 = 0 y . 1 = 1 y . y = y y + 0 = y y + 1 = 1 y + y = y

Rekenregels: y . 0 = 0 y + 0 = y y . 1 = 1 y + 1 = 1 y . y = y Ben Bruidegom Rekenregels: y . 0 = 0 y . 1 = 1 y . y = y y + 0 = y y + 1 = 1 y + y = y

Overige wetten Associatieve wet: Commutatieve wet: Ben Bruidegom Overige wetten Associatieve wet: (p + y) + z = p + (y + z) (p . y) . z = p . (y . z) Commutatieve wet: y + z = z + y y . z = z . y Distributieve wetten p .(y + z) = p.y + p.z p +(y.z) = (p + y).(p + z)

Absorptie wetten: z + y.z = z z.(y + z) = z y + .z = y + z Ben Bruidegom Absorptie wetten: z + y.z = z z.(y + z) = z y + .z = y + z y . ( +z) = y . z

Bewijs: Bewijs: m.b.v. waarheidstabel (zelf doen syllabus tabel 4.2) Ben Bruidegom Bewijs: Bewijs: m.b.v. waarheidstabel (zelf doen syllabus tabel 4.2) m.b.v. schakelalgebra (zie syllabus 4.4) m.b.v. 2e distributieve wet (zie syllabus bldz.4-7) m.b.v. De Morgan (zie syllabus bladz.4-7)

Ben Bruidegom Wetten van de Morgan:

Ben Bruidegom Wetten van de Morgan:

Ben Bruidegom Wetten van de Morgan:

Ben Bruidegom Wetten van de Morgan: Wetten gelden ook voor ‘n’ termen:

Ben Bruidegom problem solution

Ben Bruidegom problem Truth table solution

Ben Bruidegom problem Truth table Boole expression solution

problem Truth table Boole expression Reduced Boole expression solution Ben Bruidegom problem Truth table Boole expression Reduced Boole expression solution

problem Truth table Boole expression Reduced Boole expression solution Ben Bruidegom problem Truth table Boole expression Reduced Boole expression solution Boole algebra

Implementation problem Truth table Boole expression Reduced Boole Ben Bruidegom Implementation problem Truth table Boole expression Reduced Boole expression solution Boole algebra

Ben Bruidegom Programmable Logic PLA’s

Majority voting system Ben Bruidegom Majority voting system Set value a c b a Signal cond. sensor a Majority Voter Valve control b v Signal cond. sensor b c Vat Signal cond. sensor c valve redundant system

Ben Bruidegom Truth table

Ben Bruidegom Truth table

Ben Bruidegom Truth table  Boole exp.

Ben Bruidegom Truth table  Boole exp.

Max term representatie Ben Bruidegom Boolean expression Max term representatie

Boole expr.  simplified Boole expr. 4/4/2017 Ben Bruidegom Boole expr.  simplified Boole expr.

Boole expr.  simplified Boole expr. 4/4/2017 Ben Bruidegom Boole expr.  simplified Boole expr.

Boole expr.  simplified Boole expr. Ben Bruidegom Boole expr.  simplified Boole expr.

Boole expr.  simplified Boole expr. Ben Bruidegom Boole expr.  simplified Boole expr.

Simplified Boole expression Ben Bruidegom Simplified Boole expression

Ben Bruidegom Implementation y y & 1 z z NAND-gate NOR-gate

Implementation with NAND-gates Ben Bruidegom Implementation with NAND-gates

Implementation with NAND-gates Ben Bruidegom Implementation with NAND-gates

Implementation with NAND-gates Ben Bruidegom Implementation with NAND-gates & & & &

Implementation with NAND-gates Ben Bruidegom Implementation with NAND-gates a b c & & & v &

Bewijs: z.(y + z) = z z.(y + z) = z.y + z.z = Ben Bruidegom Bewijs: z.(y + z) = z z.(y + z) = z.y + z.z = toepassen eerste distributieve wet

Ben Bruidegom Bewijs: z.(y + z) = z z.(y + z) = z.y + z.z = z.y + z = z.(y + 1) = z.1 = z

Bewijs: p + (y.z) = (p+y).(p+z) Ben Bruidegom Bewijs: p + (y.z) = (p+y).(p+z) (p+y).(p+z) = p.p + p.z + y.p + y.z =

Bewijs: p + (y.z) = (p+y).(p+z) Ben Bruidegom Bewijs: p + (y.z) = (p+y).(p+z) (p+y).(p+z) = p.p + p.z + y.p + y.z = = p + p.z + y.p + y.z =

Bewijs: p + (y.z) = (p+y).(p+z) Ben Bruidegom Bewijs: p + (y.z) = (p+y).(p+z) (p+y).(p+z) = p.p + p.z + y.p + y.z = = p + p.z + y.p + y.z = = p.(1 + z+ y) + y.z = p + y.z

Programmerbare logica Ben Bruidegom Programmerbare logica Read-only memory (ROM) Voorbeeld: ASCII karakters

Programmeerbare logica Ben Bruidegom Programmeerbare logica Read-only memory (ROM) Programmable ROM (PROM)

Programmeerbare logica Ben Bruidegom Programmeerbare logica Read-only memory (ROM) Programmable ROM (PROM) Erasable programmable ROM (EPROM) Hele geheugen wissen met UV-licht

Programmeerbare logica Ben Bruidegom Programmeerbare logica Read-only memory (ROM) Programmable ROM (PROM) Erasable programmable ROM (EPROM) Electrically erasable programmable read-only memory. (EEPROM) EEPROM is similar to flash memory (sometimes called flash EEPROM). The principal difference is that EEPROM requires data to be written or erased one byte at a time whereas flash memory allows data to be written or erased in blocks. This makes flash memory faster.

Programmeerbare logica Ben Bruidegom Programmeerbare logica Read-only memory (ROM) Programmable ROM (PROM) Erasable programmable ROM (EPROM) Electrically erasable programmable read-only memory. (EEPROM) Programmable logic array (PLA) Bovenstaande “geheugens” zijn geen geheugens maar combinatorische schakelingen. Een uitgang is alleen afhankelijk van de waarden van één of meer ingangen.

Programmable logic arrays (PLA’s) Ben Bruidegom Programmable logic arrays (PLA’s) Figuur B.5 bladzijde B-12

Ben Bruidegom AND – OR logic Figuur B.6 bladzijde B-14

Ben Bruidegom PLA Figuur B.7 bladzijde B-14

Field Programmable Logic Array (FPGA) Ben Bruidegom Field Programmable Logic Array (FPGA)

Ben Bruidegom Verkorte tabel NOR-poort v w x y Z 1 x = irrelevant

Huiswerkopgave 2a Probleem: Ben Bruidegom Huiswerkopgave 2a Probleem: Een boer wil een rivier oversteken met een geit, een kool en een wolf in een boot waar slechts plaats is voor de boer en één van de drie. Ook mag de geit niet met de wolf of met de kool alleen achterblijven. Ken aan {boer, geit, kool, wolf } de waarde ‘0’ toe als die zich op de linker oever van de rivier bevinden en ‘1’ op de rechter oever. Ontwerp m.b.v. SIM-PL een schakeling met zo weinig mogelijk NAND-poorten. Bouw eerst de benodigde NAND-poorten. Organiseer de overtocht, schrijf hiervoor een “programma” binnen de SIM-PL omgeving. Lever volgende week een “hardcopy” van waarheidstabel, de bijbehorende Boole-uitdrukking, de vereenvoudiging van deze uitdrukking en een afdruk van het schema en het “programma” in. Beloning: 1 practicum punt.

Huiswerkopgave 2b Opgaven Boole-algebra Zie homepage 1 punt Ben Bruidegom Huiswerkopgave 2b Opgaven Boole-algebra Zie homepage 1 punt