PARADOXEN EN ONBEWIJSBAARHEID UvA open college, 5 november 2003 Hoe Wiskunde Werkt Johan van Benthem http://staff.science.uva.nl/~johan/ Institute for Logic, Language and Computation ILLC

Grondslagen van de Wiskunde Paradoxen, ‘grondslagen-crisis’ Hilbert’s Programma Wir müssen wissen, wir werden wissen... Die Grundlagenfragen eins für allemal aus der Welt zu schaffen

De Doelstellingen Wiskunde bouwwerk van formele systemen. Theorieën volledig expliciet maken: formele taal, axioma's, en bewijsregels. Van die theorieën door simpele wiskundige analyse van hun 'grammaticale bewijs-structuur' de consistentie aantonen. Metamathematica: wiskunde over wiskunde. Elk wiskundig domein heeft overzichtelijke volledige theorieën, die alle waarheden van dat gebied als stellingen produceren.

Voorbeelden formele theorieën

Leugenaar paradox F L: "deze zin (d.w.z. L zelf) is onwaar" 400 B.C. F L: "deze zin (d.w.z. L zelf) is onwaar" Als L waar is, dan gaat wat hij zegt op – dus was L niet waar. Ergo: L is onwaar. Maar dat zei L nu juist, en L toch waar !

Remedies in de geschiedenis bestrijd de logische stappen in de redenering bestrijd het waarheidsbegrip bestrijd de zelf-referentie

Tarski’s Stelling Spreken over wiskundige beweringen f via natuurlijke getallen als codenummers “f” WAAR(“f”) geldt van het getal “f” als f waar is als gewone rekenkundige bewering Simpele wiskundige versie van de leugenaar paradox: rekenkundige waarheid is zelf niet in de taal van de rekenkunde te definiëren!

Gödel’s Stellingen: lite Eerste Onvolledigheidsstelling Voor elke consistente axiomatische wiskun-dige theorie T die de rekenkunde bevat bestaat er een zin fT in de taal van T zodat (a) fT is niet in T bewijsbaar, (b) ¬fT is niet in T bewijsbaar, (c) fT is waar.

Personalities

Exit Hilbert’s Programma (?) Tweede Onvolledigheidsstelling Geen enkele consistente wiskundige theorie die enige rekenkunde bevat kan zijn eigen consistentie bewijzen.

Bereikbaarheid

Bewijs, eerste ronde Waarheid niet rekenkundig definieerbaar – begrip formeel bewijs wel. Eenvoud van syntactische manipulatie in formele theorie: BEWT(n) n codeert bewijsbare formule in theorie T Constructie rekenkundige 'leugenaarzin': G: "deze zin (G zelf) is niet T-bewijsbaar" Preciezer, T bewijst G « ¬BEWT("G"), met "G" de getalscode van formule G (*)

Crux van het bewijs Nu bootsen we de Leugenaar redenering na – zonder op een tegenspraak te stuiten! Stel dat G bewijsbaar is in T. Dan is dat eenvoudige feit zelf in T bewijsbaar: theorie T bewijst BEWT("G"). Maar vanwege equivalentie (*) bewijst T dan ook ¬G: en we hebben een inconsistentie onder de stellingen. Maar we namen nu juist aan dat T consistent is, en dus G is niet bewijsbaar in T

Slot bewijs Eerste Stelling Maar G beweerde nu juist al dat hij niet bewijsbaar is (zie (*)), en Gödel’s formule heeft dus gewoon gelijk: G is waar! Een iets subtielere redenering laat zien dat de negatie ¬G is ook niet in T bewijsbaar Snelle route: Neem aan dat theorie T waar is, en dus alleen ware stellingen bewijst. QED

Bewijs van de Tweede Stelling Het bewijs van de Eerste Stelling zelf geheel te formaliseren binnen de rekenkunde: als T consistent is, dan is G niet bewijsbaar: T bewijst CONST ® ¬BEWT("G") Maar dan weer met de equivalentie (*): als T CONST bewijst, dan bewijst T ook G: wat wegens Stelling I juist niet zo was! Dus CONST is niet in T bewijsbaar als theorie T tenminste consistent is. QED

Aanscherping I Arithmetizering van de syntaxis, zelfreferentie Rekenkunde formuleert eigen syntaxis. Vb: sub (n, n) substitutie-functie, code van: vul in formule met code n zijn eigen code in! A (sub(x, x)) heeft zelf code: k sub(k, k) = "A (sub(k, k))” Dekpuntslemma A (sub(k, k)) « A ("A (sub(k, k))") A(sub(k, k)) zegt: "Ik heb eigenschap A " !

Aanscherping 2 Ook juist nodig dat voldoende ‘eenvoudige’ rekenkundige feiten wel bewijsbaar zijn: Representeerbaarheid Effectief mechanisch berekenbare feiten (bijv. in de zin van onze Turing machines) zijn in de rekenkundige taal te formuleren, en dan in de Peano Rekenkunde bewijsbaar.

Algemene wiskundige strekking Uitwegen die niet werken: de Leugenaarzin toevoegen, want dan... oneindig veel ware axioma’s blijven toevoegen, want dan... Exact gedefinieerde wiskundige theorieën beschrijven nooit de volledige waarheid omtrent hun domein van objecten – zodra dit domein de natuurlijke getallen omvat.

Onbeslisbaarheid en onberekenbaarheid Van metamathematica naar informatica Gevolgen voor effectieve berekenbaarheid: Rekenkundige waarheid is onbeslisbaar. Logisch geldig gevolg is onbeslisbaar. Ook rechtstreeks aan te tonen via Turing Machines, maar Gödel’s bewijs was ouder.

Filosofie en Cognitie Grenzen aan wat formalizering kan uitrichten, en aan machinemodel van de menselijke geest. Toch voortgaand grondslagenonderzoek: vanwege vele positieve informatie over bewijzen en rekenen in negatief resultaat... Toch ontstaan kunstmatige intelligentie...

Mengvormen van bewijzen Toch bloei formele wiskunde met symbolische hulpmiddelen, kunstmatige intelligentie. Mengvormen informeel/formeel redeneren: zie presentatie Jan Jaspars, en diens homepage. Computationele logica: http://lit.science.uva.nl/

Culturele Repercussies

Toegift: Löb Paradox (1955) Elke bewering f is waar! "als ik (d.w.z. L) waar ben, dan is f waar": L « (L® f)) (*) (i) Stel L aanname (ii) Dan L® f definitie (*), (i) (iii) Dan f uit (ii) en (i) (iv) Dus: L® f uit bewijs (i)-(iii) (v) Dus: L (iv) met (*) (vi) f ! (iv) plus (v)