Methoden en Technieken van Onderzoek Thierry Marchant
Toevalsproces en gebeurtenis Toevalsproces : process waarvan de uitkomst onvoorspelbaar is. Gebeurtenis : deelverzameling van mogelijke uitkomsten Voorbeeld : de worp van een dobbelsteen. {1} is een gebeurtenis {1,2,3} is een gebeurtenis (kleiner dan 4) {2,4,6} is een gebeurtenis (even)
Voorbeeld : de hoogte van een bij toeval getrokkene persoon meten. {1.75m} is een gebeurtenis [1.75, 1.80] is een gebeurtenis [1.80, + ] is een gebeurtenis De zekere gebeurtenis E is de verzameling van alle mogelijke uitkomsten. Voorbeelden : {1,2,3,4,5,6} [0, + ]
Bewerkingen met gebeurtenissen De unie : AB is de verzameling van alle elementen die in A of in B of in beide zijn. {4,5,6} {2,4,6} = {2,4,5,6} De doorsnede : AB is de verzameling van alle elementen die in A en in B zijn. {4,5,6} {2,4,6} = {4,6}
De complementaire gebeurtenis De complementaire gebeurtenis A* van A is de gebeurtenis dat zich voordoet als en slechts als A zich niet voordoet. A A* = en AA*= E Voorbeeld : {1,3,5} en {2,4,6} zijn complementair. Voorbeeld : munt en kruis zijn complementair. Voorbeeld : mannelijk en vrouwelijk zijn complementair. …
Kans : definitie Toevalsexperiment : worp van een munt Aantal herhalingen : n Aantal ‘munt’ : fmunt Proportie ‘munt’ :
Kans : definitie Proportie van de 1 gebeurtenis “munt” bij n worpen. 1/2 Aantal worpen = n
In het algemeen De kans van een gebeurtenis A is bij een toevalsproces is de proportie van A als we het toevalsproces eindeloos zouden herhalen. 0 < P(A) <1 Kans = proportie met n oneindig. Idealisering van het toeval.
De kans van een unie Als A B = dan P(AB) = P(A) + P(B). Voorbeeld : worp van een dobbelsteen A = {1,2}, B = {3} , P(AB) = 2/6 + 1/6 = 1/2 C = {2,3}. Hoeveel is P(AC) ? P(A) + P(C) = 2/6 + 2/6 = 2/3. Maar AC = {1,2,3} = AB. P(AB) = P(A) + P(B) - P(A B). Voorbeeld : P(AC) = 2/6 + 2/6 - 1/6 = 1/2.
Afhankelijke gebeurtenissen Twee gebeurtenissen zijn afhankelijk als het voorkomen van de ene de kans van de andere beïnvloedt. Voorbeeld: trekking van een student in een groep van 100. P(vrouw) = 70/100 = 0.7, P(lange haren) = 60/100 = 0.6 P(korte haren) = 0.4 P(vrouw als lange haren) = 50/60 = 0.83 0.7. De gebeurtenissen “vrouw” en “lange haren” zijn afhankelijk. P(korte haren als vrouw) = 20/70 = 0.29 0.4. De gebeurtenissen “korte haren” en “vrouw” zijn afhankelijk.
Onafhankelijke gebeurtenissen Twee gebeurtenissen zijn onafhankelijk als het voorkomen van de ene de kans van de andere niet beïnvloedt. Voorbeeld: trekking van een student in een groep van 100. P(vrouw) = 70/100 = 0.7, P(bril) = 20/100 = 0.2 P(zonder bril) = 0.8 P(vrouw als bril) = 14/20 = 0.7 = P(vrouw) De gebeurtenissen “vrouw” en “met bril” zijn onafhankelijk. P(zonder bril als vrouw) = 56/70 = 0.8 = P(zonder bril) . De gebeurtenissen “zonder bril” en “vrouw” zijn onafhankelijk.
Voorbeeld : worp van een dobbelsteen. A = {1,2,3} en D = {1,2,5}. A = {1,2,3} en B = {5,6}. A = {1,2,3} en D = {1,2,5}. F = {1,2,3,4} en G = {2,4,6}.
Voorwaardelijke kans Afhankelijkheid : formele definitie. De kans dat A zich voordoet op voorwaarde dat B zich ook voordoet, wordt voorwaardelijke kans genoemd. Symbool : P(A|B) Afhankelijkheid : formele definitie. P(A|B) = P(A) voor onafhankelijke A en B. P(A|B) P(A) voor afhankelijke A en B. Voorbeeld : A = {1,2,3} en D = {1,2,5}. P(A) = 1/2 , P(D) = 1/2 , P(A|D) = 2/3 P(A) A en D zijn dus afhankelijk.
Definitie : P(A|B) = P(A B) / P(B) Voorbeeld: trekking van een student in een groep van 100. P(vrouw) = 70/100 = 0.7, P(lange haren) = 60/100 = 0.6 P(vrouw|lange haren) = 50/60 60 60/100 P(lange haren) P(vrouw|lange haren) = 50 = 50/100 = P(vrouw lange haren) Definitie : P(A|B) = P(A B) / P(B)
De kans van een doorsnede P(A|B) = P(A B) / P(B). Bijgevolg, P(A B) = P(A|B) P(B) = P(B|A) P(A) Voor onafhankelijke gebeurtenissen, P(A|B) = P(A). Dus, P(A B) = P(A) P(B). Voorbeeld : A = {1,2,3,4} en B = {2,4,6}. We weten al dat P(B|A) = 1/2. Dus, P(A B) = P(B|A) P(A) = 1/2 x 2/3 = 1/3. Inderdaad, P(A B) = P({2,4}) .