Absolute en relatieve veranderingen absolute verandering is een verandering in aantallen relatieve verandering is een verandering in procenten relatieve verandering = × 100% Of Nieuw x100% - 100% Oud NIEUW - OUD OUD 3.1

Procentberekeningen Gebeurtenis Vraag Berekening 5,8% van 51 Hoeveel is dat? 5,8 : 100 = 0,058 0,058 × 51 = 2,958 18 van 51 Hoeveel procent is dat? een toename van 60 naar 80 Hoeveel is de toename in procenten? een afname van 80 naar 60 Hoeveel is de afname in procenten? 60 neemt toe met 18% Hoeveel krijg je? 100% + 18% = 118%  1,18 1,18 × 60 = 70,8 80 neemt af met 18% 100% - 18% = 82%  0,82 0,82 × 80 = 65,6 een toename met 18% geeft 80 Hoeveel had je? een afname met 18% geeft 60 18 51 × 100% ≈ 35,3% 80 - 60 × 100% ≈ 33,3% 60 60 - 80 × 100% = -25% 60 100×80:118 ≈ 67,8 118% 100% 80 ? 100×60:82 ≈ 73,2 82% 100% 60 ? 3.1

De constante factor Herhaalde toename met hetzelfde percentage. neemt een bedrag gedurende 6 jaar elk jaar met 4,3% toe, dan is NIEUW = OUD × 1,043 × 1,043 × … × 1,043 ( 6 factoren 1,043 ) gebruik hierbij de constante factor op de GR of gebruik NIEUW = OUD × 1,0436 100% + 4,3% = 104,3% 104,3%  g = 1,043 NIEUW = OUD x gt 3.1

voorbeeld Niels zet op 1 jan 2002 een bedrag van €530 op een spaarrekening tegen een vaste rente van 4,1% per jaar a Hoeveel heeft Niels op 1 jan 2006 ? 1 jan 2006  t = 4 100% + 4,1% = 104,1%  g = 1,041 B = 530 × 1,041t B = 530 × 1,0414 ≈ €622,41 b Hoeveel is de toename in procenten op 1 jan 2016 2002  €530,- 2016  t = 14 B = 530 × 1,04114 ≈ €930,22 toename = 930,22 – 530 = €400,22 toename in procenten = × 100% ≈ 75,5% 400,22 530

Vuistregels bij procentrekeningen Geef NIEUW en OUD in hetzelfde aantal decimalen. Kleine geldbedragen geef je in centen nauwkeurig. Geef percentages in één decimaal nauwkeurig. 3.1

b toename is 27,9% tot 110 liter per Nederlander opgave 5 verschil/oud x 100% a 1990  8,3 kg 2002  7,0 kg 8,3 – 7,0 = 1,3 kg afname = 1,3/8,3 x 100% = 15,7% b toename is 27,9% tot 110 liter per Nederlander 100% + 27,9% = 127,9%  g = 1,279 NIEUW = 1,279 × OUD met NIEUW = 110 OUD = 110/1,279 = 86 liter per Nederlander dus in totaal 14,9 × 86 = 1280 miljoen liter c in 2003 was 43,5% van de 16,1 miljoen mensen getrouwd 0,435 × 16,1 = 7,0 miljoen d 1995  46,6% van 7125 huisartsen een solopraktijk 2003  35,4% van 8107 huisartsen een solopraktijk 1995  0,466 × 7125 = 3320 2003  0,354 × 8107 = 2870 verschil = 3320 – 2870 = 450 afname = 450/3320 × 100% = 13,6%

a in 1995 waren er 11480 – 3520 = 7960 kapsalons opgave 13 Steeds meer kapsalons In 2005 waren er 11480 kapsalons in NL, dat waren er 3520 meer dan in 1995. Het sterkst groeide het aantal eenmansbedrijven, namelijk met 15% tot 4735. De meeste kappersbedrijven hebben één vestiging. Slechts 7,4% van alle kappersbedrijven maakte in 2005 deel uit van een onderneming met meerdere vestigingen. De meeste kappersbedrijven zijn klein. In 10560 bedrijven werkten in 2005 minder dan 5 personen a in 1995 waren er 11480 – 3520 = 7960 kapsalons toename = 3520/7960 × 100% = 44,2% b NIEUW = 1,15 × OUD met NIEUW = 4735 in 1995 waren er 4735/1,15 = 4117 eenmansbedrijven c dat is 0,074 × 11480 = 850 kappersbedrijven d in 11480 – 10560 = 920 bedrijven ofwel 920/11480 × 100% = 8,0% e aantal inwoners = 10000/8,8 × 1003 = 1 140 000

Meervoudig gestapeld staafdiagram Grafische verwerking Er zijn heel wat manieren om statistisch cijfermateriaal overzichtelijk in een figuur weer te geven. staafdiagram je kunt de onderzoeksresultaten goed en snel vergelijken bijzonderheden - de lengte van de staven/staafdelen komt overeen met de hoeveelheid - de staven staan meestal los van elkaar - de volgorde van de staven doet er in het algemeen niet toe Meervoudig gestapeld staafdiagram 3.2

Grafische verwerking Er zijn heel wat manieren om statistisch cijfermateriaal overzichtelijk in een figuur weer te geven. lijndiagram je kunt goed zien hoe een verschijnsel zich in de tijd heeft ontwikkeld bijzonderheden - langs de horizontale as staat meestal de tijd - de opeenvolgende punten zijn verbonden door lijnstukken - tussenliggende punten hebben geen betekenis scheurlijn ! 3.2

Grafische verwerking Er zijn heel wat manieren om statistisch cijfermateriaal overzichtelijk in een figuur weer te geven. cirkeldiagram je krijgt een goed beeld van de relatieve verdeling bijzonderheden - bij een aandeel van p% hoort een sector met een hoek van - p/100 x 360° Werknemers per sector. Titel ! legenda ! 3.2

Grafische verwerking Er zijn heel wat manieren om statistisch cijfermateriaal overzichtelijk in een figuur weer te geven. beelddiagram de gegevens worden door middel van figuurtjes weergegeven 3.2

Alleen bij een lijndiagram of polygoon Misleiding bij grafische weergave let bij grafieken op de volgende punten: 1 staat er bij de grafiek een duidelijk opschrift ? 2 staat er voldoende informatie bij de assen ? 3 begint de verticale as bij 0 ? is er een scheurlijn gebruikt ? Alleen bij een lijndiagram of polygoon 3.2

daardoor lijkt het of de winst 16 keer zo groot is opgave 25 1,7 6,9 a de lengte en breedte van het biljet bij 2006 is 4 keer zo groot als bij het biljet van 2005 b de oppervlakte van het biljet bij 2006 is 42 = 16 keer zo groot als bij het biljet van 2005 daardoor lijkt het of de winst 16 keer zo groot is

Klasse indeling Uit een onderzoek zijn de volgend gewichten in grammen van eieren uit de biologische veeteelt gevonden 53 34 28 44 19 57 38 22 17 26 64 32 33 14 45 31 43 18 63 27 56 37 42 46 23 52 25 35 12 24 29 47 48 54 30 39 13 58 40 61 16 65 68 Deze gegevens zetten we eerst in een tabel met een klasse indeling.

Klasse indeling Tel het aantal waarnemingen. Een klasse indeling kan je maken aan de hand van de volgende richtlijnen. Tel het aantal waarnemingen. Tel het aantal cijfers waar dit getal uit bestaat. Vermenigvuldig dit aantal met 3 en met 5. Dit is het aantal klassen dat je mag gebruiken. Kijk wat de laagste waarneming en rond deze af naar beneden. Bepaal de hoogste waarneming en rond deze af naar boven. Probeer een mooie klassegrens verdeling te maken. 110 3 9 en 15 12 afgerond 10 68 afgerond 70 12 klasse’s van 5 breed ?!?

Een klassenindeling tot en met of tot en met kleiner dan?? Gewicht frequentie 10 - 14 15 19 20 24 25 29 30 34 35 39 40 44 45 49 50 54 55 59 60 64 65 69 Eiergewichten uit de biologische veeteelt Gewicht frequentie m f*m 10 -< 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70

Frequentie verdeling maken m.b.v. een turf tabel Klasse indeling Frequentie verdeling maken m.b.v. een turf tabel Eiergewichten uit de biologische veeteelt Gewicht frequentie 10 -< 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 53 34 28 44 19 57 38 22 17 26 64 32 33 14 45 31 43 18 63 27 56 37 42 46 23 52 25 35 12 24 29 47 48 54 30 39 13 58 40 61 16 65 68

Eiergewichten uit de biologische veeteelt Klasse indeling M.b.v. een klassenindeling kun je de centrummaten van deze verdeling bepalen. Eiergewichten uit de biologische veeteelt Gewicht frequentie m f*m 10 -< 15 7 20 9 25 30 19 35 16 40 14 45 50 8 55 60 5 65 4 70 2 110

Histogram aantal Gewicht in gr. 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70

Histogram en frequentiepolygoon Een histogram is een staafdiagram bij een freqentietabel met kwantitatieve gegevens (waarnemingsgetallen) op de horizontale as en de frequentie op de verticale as. De staven liggen tegen elkaar aan. Een freqentiepolygoon is een lijndiagram waarin de frequenties zijn uitgezet tegen de waarnemingsgetallen. Het begin- en het eindpunt liggen in de ‘lucht’. Als je de relatieve frequenties uitzet tegen de waarnemingsgetallen krijg je een relatieve-frequentiepolygoon. 3.3

opgave 32 a b omvang gezin frequentie aantal personen gezin ￜ 2 ￜ 3 7 4 9 5 6 1 omvang gezin frequentie ￜ 2 ￜ 3 ￜ 4 ￜ 5 ￜ6 ￜ 7 aantal personen gezin in het midden van ieder staafje staat het waarnemingsgetal de staven liggen in een histogram tegen elkaar

opgave 32 c d minder dan 4 personen 3 + 7 = 10 leerlingen 3 : 28 x 100% = omvang gezin relatieve frequentie c omvang gezin rel. freq. 2 10,7% 3 25% 4 32,1% 5 17,9% 6 7 3,6% 7 : 28 x 100% = 9 : 28 x 100% = 5 : 28 x 100% = 3 : 28 x 100% = 1 : 28 x 100% = d minder dan 4 personen 3 + 7 = 10 leerlingen × 100% ≈ 35,7% minstens 4 personen 9 + 5 + 3 + 1 = 18 leerlingen × 100% ≈ 64,3% 10 28 aantal personen per gezin 18 28

opgave 36a zakgeld turven frequentie 5-<10 llll 5 10-<15 llll l - zijn er bij een statistisch onderzoek veel verschillende aarnemingsgetallen, dan maak je een indeling in klassen geef elke klasse dezelfde breedte zorg voor 5 a 10 klassen zakgeld turven frequentie 5-<10 llll 5 10-<15 llll l 6 15-<20 20-<25 llll ll 7 25-<30 lll 3 30-<35 l 1

de staven in een histogram tegen elkaar tekenen opgave 36b f r e q u e n t i e 7 zakgeld freq. 5-<10 5 10-<15 6 15-<20 20-<25 7 25-<30 3 30-<35 1 6 5 4 3 2 1 5 10 15 20 25 30 35 zakgeld in euro’s

de klassenmiddens zijn de punten in een frequentiepolygoon opgave 36c f r e q u e n t i e 7 ∙ zakgeld freq. 5-<10 5 10-<15 6 15-<20 20-<25 7 25-<30 3 30-<35 1 ∙ ∙ 6 ∙ 5 4 ∙ 3 2 ∙ 1 5 10 15 20 25 30 35 zakgeld in euro’s

∙ ∙ ∙ ∙ 50 40 30 20 10 10 20 30 40 50 d relatieve frequentie de klassenmiddens zijn de punten in een frequentiepolygoon d zakgeld rel.freq. 0-<10 17,9% 10-<20 42,9% 20-<30 35,7% 30-<40 3,6% 50 ∙ 40 ∙ 30 20 ∙ 10 ∙ 10 20 30 40 50 zakgeld in euro’s

c het bedrag €20,- komt het vaakst voor opgave 37 steel-bladdiagram ZAKGELD IN EURO 06 = 6 6 7 8 8 8 1 0 0 2 2 2 4 5 5 6 7 8 8 2 0 0 0 0 2 3 4 5 6 8 3 tientallen eenheden steel blad 5 : 28 x 100% = 12 : 28 x 100% = a 15 komt 2 keer voor b kleinste bedrag is €6,- c het bedrag €20,- komt het vaakst voor d de klassen zijn 0-<10 ; 10-<20 ; 20-<30 ; 30-<40 17,9% ; 42,9% ; 35,7% ; 3,6% 1 : 28 x 100% = 10 : 28 x 100% =

frequentie van de klasse Frequentiedichtheid een histogram moet je opvatten als een oppervlaktediagram bij een klassenindeling met ongelijke klassenbreedten zet je bij een histogram op de verticale as de frequentiedichtheiden uit frequentiedichtheid = de oppervlakte van een staaf correspondeert met de frequentie van de bijbehorende klasse frequentie van de klasse klassenbreedte 3.3

frequentiedichtheid per 500 euro opgave 42 500 : 500 = 1 750 : 500 = 1,5 a bruto-maandloon frequentiedichtheid per 500 euro 1000-<1500 60 : 1 = 60 1500-<2250 150 : 1,5 = 100 2250-<3250 180 : 2 = 90 3250-<4500 200 : 2,5 = 80 4500-<6000 120 : 3 = 40 6000-<10000 100 : 8 = 12,5 1000 : 500 = 2 1250 : 500 = 2,5 1500 : 500 = 3 4000 : 500 = 8 3.3

120 100 80 60 40 20 frequentiedichtheid per 500 euro bruto-maandloon 1000 2000 3000 4000 5000 6000 10000 bruto-maandloon

b de frequentiedichtheid per 500 euro van de klasse 6000-<10000 bedraagt 5 in die klasse zitten dus × 5 = 8 × 5 = 40 vrouwen c tabel 10000 - 6000 500 bruto-maandloon klassenbreedte aantal vrouwen 1000-<1500 500 1 x 40 = 40 1500-<2250 750 1,5 x 60 = 90 2250-<3250 1000 2 x 50 = 100 3250-<4500 1250 2,5 x 30 = 75 4500-<6000 1500 3 x 10 = 30 6000-<10000 4000 8 x 5 = 40 totaal = 375 vrouwen

d bruto-maandloon totaal vrouwen %vrouwen 1000-<1500 60 40 40 : 60 x 100 = 67% 1500-<2250 150 90 90 : 150 x 100 = 60% 2250-<3250 180 100 100 : 180 x 100 = 56% 3250-<4500 200 75 75 : 200 x 100 = 38% 4500-<6000 120 30 30 : 120 x 100 = 25% 6000-<10000 40 : 100 x 100 = 40% 810 375 totaal aantal werknemers is 810 waarvan 375 vrouwen 375 : 810 × 100% = 46,3% in de klassen tot een maandloon van 3250 euro zijn de vrouwen oververtegenwoordigd

Cumulatieve frequenties de cumulatieve frequentie krijg je door de frequentie van die klasse en de frequenties van de voorgaande klassen bij elkaar opgeteld bij een cumulatieve frequentiepolygoon teken je de cumulatieve frequenties boven de rechtergrenzen van de klassen begin op de horizontale as bij de linkergrens van de eerste klasse verbind de opeenvolgende punten door lijnstukken 3.3

Gecumuleerde gewichtsverdeling grens aantal relatief -< 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70

Gecumuleerde gewichtsverdeling grens aantal relatief -< 10 15 7 20 16 25 26 30 45 35 61 40 75 84 50 92 55 99 60 104 65 108 70 110

Gecumuleerde absolute frequentie verdeling Gecumuleerde gewichtsverdeling grens aantal relatief -< 10 15 7 20 16 25 26 30 45 35 61 40 75 84 50 92 55 99 60 104 65 108 70 110 Mediaan = 34 gr.

Gecumuleerde relatieve frequentie verdeling Gecumuleerde gewichtsverdeling grens aantal relatief -< 10 0,0 15 7 6,4 20 16 14,5 25 26 23,6 30 45 40,9 35 61 55,5 40 75 68,2 84 76,4 50 92 83,6 55 99 90,0 60 104 94,5 65 108 98,2 70 110 100,0

opgave 43a lengte frequentie cum. freq. rel. cum. freq. 155-<160 538 : 4572 x 100 = 0 + 538 = 1673 : 4572 x 100 = opgave 43a 538 + 1135 = 2891 : 4572 x 100 = 1673 + 1218 = 3832 : 4572 x 100 = lengte frequentie cum. freq. rel. cum. freq. 155-<160 538 11,8% 160-<165 1135 1673 36,6% 165-<170 1218 2891 63,2% 170-<175 941 3832 83,3% 175-<180 657 4489 98,2% 83 4572 100% 2891 + 941 = 4489 : 4572 x 100 = 3832 + 657 = 4572 : 4572 x 100 = 4489 + 83 = cumulatieve frequentie is de frequentie van deze klasse en de voorgaande klassen bij elkaar opgeteld relatieve cumulatieve frequentie is de cumulatieve frequentie in procenten cum.rel.freq. = x 100% rond cum.rel.freq. af op één decimaal cum. freq. totale freq.

je eindigt altijd bij 100% opgave 43b lengte rel.cum.freq 155-<160 11,8% 160-<165 36,6% 165-<170 63,2% 170-<175 83,3% 175-<180 98,2% 180-<185 100% ∙ r e l. c um.f r e q 100 ∙ ∙ 80 ∙ 60 40 ∙ 20 ∙ ∙ 155 160 165 170 175 180 185 lengte in cm. zet de rel.cum.freq. boven de rechtergrenzen uit, begin bij de linkergrens

50 30 20 opgave 49 a van 8.00 tot 20.00 uur is 12 uur 5 dagen  5 x 12 = 60 uur A en 30 klanten  50% 50% van 60 uur is 30 uur b B van 40 klanten  20% minstens 40 klanten is 80% 0,80 x 60 = 48 uur c B en 50 klanten  30% 30% van 5 dagen is 1,5 dagen de bewering klopt niet het kan hooguit 1,5 dag zijn geweest d tabel histogram e bij B was het drukker bij A 50%  20 tot 30 klanten per uur bij B 50%  60 tot 70 klanten per uur 50 30 20

d tabel klasse rel.cum.freq. cum.freq. frequentie 20-<30 50% 0,5 x 60 = 30 30 30-<40 60% 0,6 x 60 = 36 36 – 30 = 6 40-<50 80% 0,8 x 60 = 48 48 – 36 = 12 50-<60 90% 0,9 x 60 = 54 54 – 48 = 6 60-<70 100% 1 x 60 = 60 60 – 54 = 6

36 30 24 18 12 6 20 30 40 50 60 70 d histogram f requent ie 20 30 40 50 60 70 aantal klanten per uur

De populatie is de totale groep waarop het onderzoek betrekking heeft. Een steekproef is representatief als zij een juiste afspiegeling is van de gehele populatie - de steekproef moet voldoende groot zijn - de steekproef is aselect. In een gelote steekproef heeft elk element van de populatie dezelfde kans om in de steekproef te komen. In een gelaagde steekproef komen duidelijk te onderscheiden groepen in dezelfde verhouding voor als in de gehele populatie. Bij een systematische steekproef genereer je één toevalsgetal. de andere steekproefelementen volgen hieruit door met vaste stappen door de gehele populatie te lopen. voor de stapgrootte deel je de populatieomvang door de steekproefomvang. 3.4

totaal = 50 + 70 + 25 + 40 + 75 + 45 = 305 patiënten leeftijd man opgave 61 totaal = 50 + 70 + 25 + 40 + 75 + 45 = 305 patiënten leeftijd man vrouw 0-< 18 × 50 = 8,20 dus 8 18-< 48 48 en ouder 50 305 70 305 × 50 = 11,48 dus 11 25 305 40 305 × 50 = 4,10 dus 4 × 50 = 6,56 dus 7 75 305 45 305 × 50 = 12,30 dus 12 × 50 = 7,38 dus 7 het aantal is 8 + 11 + 4 + 7 + 12 + 7 = 49 om aan een steekproeflengte van 50 te komen kiezen we een extra man van 18-< 48 3.4