Laplace transformatie SYMO Laplace transformatie

programma vandaag (HL1) - inleiding - definitie - functies transformeren - afgeleiden transformeren - differentiaalvergelijkingen transformeren

programma (vervolg) volgende week (HL2) - overdrachtsfuncties - responsies - systemen doorrekenen

werkwijze twee hoorcolleges met elk een power point presentatie (na het hoorcollege op SP) oefenopgaven (uitwerkingen na een week op SP) in principe bevatten de presentaties voldoende materiaal, eventueel zelf aanvullend materiaal zoeken het tentamen na blok 3 gaat deels over Bondgrafen, deels over Laplace transformatie

inleiding doel van Laplace transformatie: vereenvoudiging van het rekenwerk aan gedrag van complexe systemen, met name van systemen die ontstaan zijn door koppeling van deelsystemen (bijv. met positieve of negatieve terugkoppeling)

inleiding (vervolg) Het gedrag van een deelsysteem kan bijv. beschreven worden m.b.v. een differentiaalvergelijking (DV). Het verband tussen input en output volgt uit het oplossen van de DV in het t-domein. Wanneer diverse deelsystemen aan elkaar gekoppeld worden vormt de output van deelsysteem 1 de input van deelsysteem 2 enzovoort. Indien sprake is van een teruggekoppeld systeem wordt de complexiteit nog vergroot en is doorrekening ingewikkeld.

definitie functie: f(t) getransformeerde functie: L(f(t)) = F(s) ∞ F(s) = ∫ f(t)·e-st·dt

functies transformeren een constante: f(t) = c F(s) = ∫ c·e-st·dt = -c/s·[e-st] = -c/s·([e-s·∞]- [e-s·0]) = -c/s·([0 - 1) = c/s voor een lineaire functie wordt de berekening al wat langer:

functies transformeren (vervolg) een lineaire functie: f(t) = t F(s) = ∫ t·e-st·dt = (1/s)·∫t·de-st = (1/s)·{[t·e-st] - ∫e-stdt} = (1/s)·{[t·e-st] - [(1/s)·e-st]} = (1/s)·{0 - (1/s)·{e-s·∞- e-s·0}} = (1/s)·{-(1/s)·{0 - 1}} = 1/s2 verdere functies: zie tabel van laplace getransformeerden

functies transformeren (vervolg) De berekening van getransformeerde functies (‘met de hand’) is bewerkelijk en vereist toepassing van de techniek partiële integratie. Een alternatief is gebruik van de Ti-89 of software die speciaal hiervoor is ontwikkeld. Om getransformeerde functies te berekenen wordt meestal gebruik gemaakt van een lijst met getransformeerde standaardfuncties (machtsfuncties, exponentiële functies en goniometrische functies) in combinatie met een aantal rekenregels.

functies transformeren (vervolg) rekenregels: L(f(t)+g(t)) = L(f(t)) + L(g(t)) = F(s) + G(s) L(c·f(t)) = c·L(f(t)) = c·F(s) L(ea·t·f(t)) = F(s-a) …….

functies transformeren (vervolg) een combinatie hiervan, bijvoorbeeld: g(t) = 2 - 3·t + t3 – e4t G(s) = 2/s - 3/s2 + 6/s4 -1/(s-4)

functies transformeren (vervolg) machtsfunctie: f(t) = tn F(s) = n!/sn+1 exponentiele functie: f(t) = ea·t F(s) = 1/(s-a) goniometrische functie: f(t) = sin(ωt) F(s) = ω/(s2+ω2) goniometrische functie: f(t) = cos(ωt) F(s) = s/(s2+ω2)

getransformeerde van afgeleiden L(df/dt) = s·F(s) – f(0) (eventueel af te leiden m.b.v. de definitie) hieruit volgt voor de L-getransformeerde van de tweede afgeleide: L(d2f/dt2) = s·L(df/dt) – f’(0) = s·(s·F(s) – f(0)) – f’(0) = s2·F(s) - s·f(0) – f’(0) dit kan voor hogere afgeleiden evt. voortgezet worden

het transformeren van een DV Voorbeeld: DV: dy/dt + y = 2 beginvoorwaarde: y(0) = 1 oplossen in t-domein: yh = C·e-t en yp = 2 dus y = yh + yp = C·e-t + 2 met beginvoorwaarde y(0)=1 volgt C = -1 zodat y = 2 - e-t

DV: dy/dt + y = 2 beginvoorwaarde: y(0) = 1 nu oplossen m.b.v. Laplace transformatie: L(dy/dt) = s·Y(s) – y(0) = s·Y(s) – 1 L(y) = Y(s) en L(2) = 2/s s·Y(s) – 1 + Y(s) = 2/s ofwel Y(s) = (1+2/s)/(s+1) = 2/s – 1/(s+1) terugtransformeren levert nu weer y(t) = 2 - e-t

In dit voorbeeld ging het oplossen van de DV in het t-domein sneller dan m.b.v. Laplace transformatie. Bij koppeling van deelsystemen, die elk beschreven worden met een DV is dit al snel niet meer het geval. DV1 DV2

oefenopgaven transformeer de volgende functies: 1. f(t) = t2 2. g(t) = 2- t3 3. h(t) = 1 - 3e-t 4. r(t) = sin(4t) 5. q(t) = sin(4t) + cos(4t)

oefenopgaven (vervolg) transformeer de volgende DV’s en los op: f(t) + f’(t) = t met f(0) = 1 7. g(t) + g’’(t) = 0 met g(0) = 0 en g’(0) = 1