Constructies Passer & Liniaal, Origami en Meccano Wiskunde D-module Luuk Hoevenaars Hogeschool Utrecht Binnenkort op site Bètasteunpunt Utrecht

Opbouw van de Module Eerste helft: Tweede helft: Klassikale lessen Onmogelijkheid van constructieproblemen Huiswerkopdrachten voor een cijfer Inzet van Geogebra Tweede helft: Groepsopdrachten met eindverslag Keuze uit opdrachten met Origami en Meccano Feedbackpresentaties

Zwart is gegeven, rood is nieuw Spelregels Zwart is gegeven, rood is nieuw 1 2 3 4 5 6

✗ ✗ ? ✗ ✗ ? 11 ✗ ✓ ? ! ✗ ✓ ? !

Van meetkunde naar algebra Descartes: coördinaten en vergelijkingen Formules voor lijnen en cirkels Waar liggen coördinaten van snijpunten? Meetkundige rekenmachine: + − × ÷ √ Hebben we gebouwd met macro’s van Geogebra!

Gauss: regelmatige 17-hoek (heptadecagon) Algebraïsche vraag: Welke getallen kunnen worden opgebouwd met + − × ÷ √ ?

Noemers wortelvrij maken De worteltruc Noemers wortelvrij maken Nieuwe constructiestap geeft hooguit 1 nieuwe wortel: met a,b,c minder wortels.

Voorbeeld

Verdubbeling van de kubus Feit: is geen breuk. Stel dat construeerbaar is. Aanname: bevat minimaal n verschillende wortels.

Verdubbeling van de kubus a,b,c bevatten maximaal n-1 verschillende wortels. is niet uit te drukken in deze n-1 wortels. Oplossen van : deze is wél uit te drukken in de n-1 wortels?!

Verdubbeling van de kubus Conclusie: Verdubbeling van de kubus met passer en liniaal is onmogelijk! Derdegraads vergelijking x3 =2 niet oplosbaar met tweedemachtswortels...

Constructies met Meccano

Achtergronden Linkages: Watt, Peaucellier Meccano, Hornby 1901 (Make and know) Gerard ‘t Hooft: Meccano Math I & II

Interessante onderwerpen Rigiditeit Spelregels + computersimulatie Klassieke constructieproblemen Wat is construeerbaar?

Rigiditeit van grafen Rigide Flexibel Minimaal rigide Niet minimaal rigide

De stelling van Laman Graaf met H hoekpunten en Z zijden is minimaal rigide precies als Z = 2H - 3 Z’ ≤ 2H’ – 3 voor elke deelgraaf op H’ punten H = 6, Z = 9 Z = 2H – 3 Maar er zijn “verspilde” zijden... H’ = 4, Z’ = 6 Z’ > 2H – 3

Subtiliteit Meccano constructies kunnen niet om elk hoekpunt scharnieren, zijn dus geen grafen... Maar nu wel!

Meccano vs. Passer en liniaal Breuken x p q r

Meccano vs. Passer en liniaal Wortels

Meccano vs. Passer en liniaal Breuken en wortels Meccano

Peaucellier linkage Dit is een “Meccano liniaal”, een passer is geen probleem...

Driedeling van een hoek (Kempe) Een gekruist parallellogram. De basishoeken zijn gelijk. Een bissectrice...

Driedeling van een hoek

Wat is construeerbaar? Maehara (1991): Kempe (1875): Meccano construeerbare coördinaten zijn precies alle oplossingen van algebraïsche vergelijkingen. Kempe (1875): There is a linkage that signs your name.

✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✓ 11 ✗ ✓ ✓ ✗ ✓ ✓