Het Erlangenprogramma van Klein of… wat is meetkunde? Gunther Cornelissen, Universiteit Utrecht

Plan “Erlangen in de klas” meer vragen dan antwoorden Statische of dynamische meetkunde? de ezelsbrug in schoolboeken De meetkunde-crisis het ware gezicht van Bolyai Wat is het Erlangenprogramma? meetkunde en symmetrie Conclusies

Het Erlangenprogramma is een breekpunt in de meetkunde meetkunde op basis van beweging unificatie van “meetkundes”

“Erlangen in de klas” Lessen voor meetkunde-onderwijs Historisch of modern leren? Dynamische of statische meetkunde? Visuele intuïtie of logische structuur? Synthetische of analytische meetkunde? Is het antwoord misschien: en/en i.p.v. of/of

Statische of dynamische meetkunde? Ingang 1: Statische of dynamische meetkunde?

Dynamisch Statisch of dynamisch? Voorbeeld: Pons Asinorum (=Eucl. El. I.5) Als in een driehoek twee zijden gelijk zijn, dan ook de twee hoeken die ze met de derde zijde maken. Dynamisch Dalle, De Waele, Vlakke meetkunde, 20e druk, 1960

Wiskunde 2b, Gevers, Leenders et.al. 1970 Dynamisch

Statisch Euclides zelf (parafrase): Op de verlenging van de gelijke zijden AB en AC kies je twee punten (F en G respectievelijk) op gelijke afstand van de top. Dan zijn de hoeken ABG en ACF gelijk, en evenzo CBG en BCF. Voor de verschillen is dan ABC = ABG−CBG = ACF −BCF = ACB. Statisch Opm. Ook bij Grieken al “dynamisch” bewijs

Statisch of dynamisch? Poincaré: “groepentheorie is even oud als de hele wiskunde, want Euclides gebruikte ze”. Dus… Historisch onderwijzen, ja of nee? Effectiviteit van moderniteit/notatie (Manin) “Oorsprong van de meetkunde” (sedementatietheorie van Husserl) “Euclid and his modern rivals” (Charles Lutwidge Dodgson), 1879

De crisis in de meetkunde Ingang 2: De crisis in de meetkunde

Het parallellenpostulaat Het vijfde “axioma” in de Elementen van Euclides Equivalente formulering: Vier eerste axioma’s (Aιτηματα “voorstellen”) zijn een soort voorschriften over het toelaten van constructies van meetkundige objecten, zoals cirkels en rechte lijnen. Gegeven een lijn en een niet op de lijn gelegen punt is er een unieke parallel van de lijn door het punt

Volgt axioma 5 uit axioma’s 1-4? Bolyai, Gauss, Lobachevsky: axioma 5 is onafhankelijk, er zijn meetkundes waarin 1-4 geldt en ook, bijv:… 3. Gegeven een lijn en een niet op de lijn gelegen punt zijn er oneindig veel lijnen door dat punt die de gegeven lijn niet snijden. 2. Gegeven een lijn en een niet op de lijn gelegen punt zijn er geen lijnen door dat punt die de gegeven lijn niet snijden. 1. Gegeven een lijn en een niet op de lijn gelegen punt is er precies een lijn door dat punt die de gegeven lijn niet snijdt.

De meetkunde-dierentuin Situatie rond 1850: De meetkunde-dierentuin

Caveats (vanaf nu) Compensatie Vrij gebruik van vectorruimten en (matrix-)groepentheorie Een (technische) verklaring hoe hyperbolische meetkunde in projectieve meetkunde past. Compensatie animatie

De meetkunde-dierentuin Synthetisch: euclidisch, sferisch, hyperbolisch Wat is “ware meetkunde?” We leven op een “bol”… GR… Afstandsbegrip Analytisch: Affiene vlak: ±vectorruimte R2 van (a,b) Projectieve vlak: R3-{0}/≈ met (a,b,c)≈(λa,λb,λc) Het projectieve vlak bevat het affiene vlak, bijv: (a,b,1) (a,b)

Affien “Rechte lijn” is Ax+By+C=0 Sommige lijnen snijden mekaar; y=x en y=x+1 snijden niet Kegelsnede (cirkel, ellips, parabool, hyperbool), bijv. x2+y2=1 Projectief “Rechte lijn” is Ax+By+Cz=0. Alle lijnen snijden mekaar; y=x en y=x+z snijden in (1,1,0) Kegelsnede, bijv. x2+y2=z2

Erlangenprogramma: voortekenen Felix Klein’s (1849-1925) jeugdwerk Cayley’s Theory of Quantics: euclidisch “inbedden” in projectief Klein: ook hyperbolisch kan “ingebed” in projectief: Het inwendige van een kegelsnede in het projectieve vlak. Afstand tussen P en Q= logaritme van de dubbelverhouding van P en Q met de twee snijpunten van de rechte door P en Q met de kegelsnede. = “meetkunde met afstand” isomorf met hyperbolische meetkunde.

Het Erlangenprogramma

Erlangenprogramma In het Erlangenprogramma wil Felix Klein nu alle meetkundes ordenen door groepentheorie. Groepentheorie was permutatiegroepen (Galois, Jordan). Klein (en Lie) maken transformatiegroepen. Nog geen abstracte groepen (Cayley, Burnside, von Dyck, Emmy Noether, van der Waerden)

Erlangenprogramma Bij iedere meetkunde hoort een transformatiegroep. De meetkunde is de studie van de invarianten van zijn transformatiegroep.

Voorbeelden: euclidische vlak Lineare transformaties van de vectorruimte R2 die afstand bewaren = orthogonale 2x2 matrices O(2,R) (rotaties+spiegelingen) Translaties over vectoren in R2  Transformatiegroep “afstand” zinvol: invariant “cirkel” zinvol

Voorbeelden: affiene vlak Lineare transformaties van de vectorruimte R2 = inverteerbare 2x2 matrices GL(2,R), bijv. schalen, roteren, spiegelen en translaties over vectoren in R2  Transformatiegroep “Change the Dog” “afstand” niet zinvol; niet invariant onder schalen “rechte lijn” wel zinvol; “evenwijdig” zinvol “ellips”, “parabool”, “hyperbool” zinvol

Voorbeelden: projectieve vlak Lineaire transformaties van R3, op schalen na. Transformatiegroep PGL(3,R)=GL(2,R)/R* Zinvol? “afstand” niet “rechte lijn” wel “kegelsnede” wel “cirkel” “ellips” niet “dubbelverhouding wel

Erlangenprogramma: met vast punt Lorentzgroep

Principe Hoe kleiner de groep, hoe meer invarianten, hoe minder algemeen de stellingen. Hoe groter de groep, hoe minder invarianten, hoe algemener de stellingen.

Kleinse meetkunde = homogene ruimte voor een Liegroep nu: bijzonder geval van pseudo-Riemannse meetkunde

Lessen voor het onderwijs? Conclusies Lessen voor het onderwijs?

Dezelfde stelling kan soms dynamisch of statisch worden bewezen. Het Erlangenprogramma kan ongeveer in 2e bachelor wiskunde worden onderwezen, dus niet op school, maar toch leren we… Dezelfde stelling kan soms dynamisch of statisch worden bewezen. “historische” bewijzen zijn soms meer gecompliceerd; “moderne” bewijzen zijn soms te ingewikkeld. visuele intuïtie gebruiken kan soms fout zijn; formeel bewijzen onbegrijpelijk.