College 2: Chaos Wat we vandaag gaan doen: Wat is chaos niet: de enkele slinger Een stapje verder: de dubbele slinger Chaos in een wiskundig model: de logistische afbeelding Chaos precies gemaakt: de Lyapunov exponent

Wat is chaos? onvoorspelbaarheid kleine oorzaken met grote gevolgen gevoelige afhankelijkheid van begincondities

De enkele slinger Newton:

De enkele slinger linearize!

De enkele slinger oplossing: met

faseruimte

hoe zien de banen eruit in faseruimte?

Conclusies gedrag enkele slinger: Lineariseren van de bewegingsvergelijking levert een simpele DV voor de evolutie van het systeem in de tijd Om deze DV op te lossen moeten we de begincondities kennen De begincondities leggen de gehele toekomst eenduidig vast: beweging langs een cirkel in de faseruimte. Beweging is kwalitatief hetzelfde voor alle begincondities: niet gevoelig afhankelijk

Dubbele slinger

Dubbele slinger in de faseruimte is dat nou chaos?

Twee dubbele slingers in de faseruimte Kleine verschillen in begin = grote verschillen op het eind

Een oud en moeilijk probleem! Prof. H.A. Lorentz (Nobel 1902) geeft college over de dubbele slinger

Conclusies dubbele slinger Chaos is niet de grillige beweging, maar de afhankelijkheid van begincondities. Banen in faseruimte lopen uit elkaar Onvoorspelbaar: kleine verschillen hebben enorme gevolgen! Wat moeten we daar nu mee? De slinger, hoewel simpel, is al te lastig om dingen precies uit te rekenen. Men vermoedde al wel dat er wat aan de hand was (Poincare, Lorentz), maar het heeft tot de jaren 70 geduurd tot er echte vooruitgang geboekt werd.

De logistische afbeelding Een 1D afbeelding is een getallenreeks die volgens een vast voorschrift geconstrueerd wordt: Voorbeeld: de reeks wordt gecontrueerd met het voorschrift

Afbeeldingen als banen De reeks wordt eenduidig vastgelegd door de keuze van het beginpunt . We noemen zo’n afbeelding deterministisch. De index kunnen we opvatten als een (discrete) tijdscoordinaat: hij meet het aantal iteraties vanaf . = de baan of orbit van

Afbeeldingen: onvoorspelbaarheid in z’n simpelste vorm Door de connectie met tijdsevolutie van systemen (nu dus in discrete tijdstappen) zijn 1D afbeeldingen uitermate geschikt om complexe verschijnselen als onvoorspelbaarheid in hun meest handelbare vorm te bestuderen. Wij gaan dat nu doen aan de hand van het bekendste voorbeeld, de logistieke afbeelding die in 1976 door Robert May als model voor populatiegroei geintroduceerd en geanalyseerd werd

De Logistische afbeelding De logistieke afbeelding beeldt het interval [0,1] af op zichzelf: hij is tweedegraads (hoogste macht is een kwadraat), dus de grafiek die erbij hoort is een parabool

De Logistische afbeelding Kies x0 op de x-as verticaal naar de parabool horizontaal naar y=x go to 2

Grafische iteratie zelf doen…

De Logistische afbeelding

De Logistische afbeelding enz.

Orde en Wanorde in de Logist We maken een reeks volgens de logist, en plotten de orbit x0=0.9

Orde en Wanorde in de Logist voor A=2.5 convergeren alle banen naar x=0.6 x0=0.1

Fixed points Een fixed point van een afbeelding is een punt waar alle reeksen naar convergeren, onafhankelijk van x0. Het is dus een oplossing van Laten we die oplossing noemen: we lossen dus op Controle: voor A=2.5 is x dus 0 of 0.6, zoals we eerder al zagen. Merk op dat het fixed point tevens het snijpunt met de lijn y=x is!

Orde en Wanorde in de Logist x0=0.9

Orde en Wanorde in de Logist Beter om te kijken naar de laaste 200 punten van een lange reeks A=3.75, x0=0.9. Geen convergentie! (en die komt er nooit).

Stabiliteit van het fixed point stabiel: spiraal in instabiel: spiraal uit conditie voor stabiliteit: abs(afgeleide in snijpunt )< 1

Voor de Logist betekent dat dus dat het FP stabiel is voor wat gebeurt er voor A>3?

Hoe gaat de orde over in wanorde? Voor A>3 (hier A=3.2):Bifurcatie naar een oscillerende toestand 2-cykel:

Peroid doubling cascade A=3.5 4-cykel Daarna 8-cykel, 16,32, enz tot aan A~3.57

Het eind van de periodeverdubbelingen… A=3.7: chaos na het einde van de PD cascade.

Bifurcatiediagram

Gevoelige afhankelijkheid precies gemaakt. divergentie van twee nabijgelegen banen

de Lyapunov exponent >0: exponentieel divergent <0: convergent

Orde en Wanorde in de Logist Positieve LE: chaos & onvoorspelbaarheid

De Logist voor A=4: maximale chaos Na een transformatie – zie dictaat: oplossing (mod 1) : λ = Ln(2) = 0.6931

De Logist voor A=4: maximale chaos Binair getal tussen 0 en 1: met bijvoorbeeld:

De Logist voor A=4: maximale chaos Schuifregister! Onbelangrijk wordt belangrijk, LSB->MSB!