ribwis1 Toegepaste wiskunde - Goniometrie Lesweek 4 IBB ribwis1 Toegepaste wiskunde - Goniometrie Lesweek 4 Opleiding: Bouwkunde / Civiele techniek Propadeuse, kernprogramma 2e kwartaal

Goniometrie We kennen twee tekendriehoeken, de halve gelijkzijdige driehoek en het halve vierkant. De verhoudingen van de zijden is te berekenen met de stelling van pythagoras en blijkt te zijn: Voor de halve gelijkzijdige driehoek 1 : √3 : 2 Voor het halve vierkant 1 : 1 : √2 In rechthoekige driehoeken waarin de hoeken van 30°, 60° en 45° voorkomen, zullen deze verhoudingen bestaan.

Rechthoekige driehoeken

Verhoudingen van zijden In elke driehoekige rechthoek is het mogelijk om met de verhoudingen van de zijden, de hoeken te berekenen. Men noemt dit goniometrie of hoekmeting. Noemt men de zijden van een rechthoekige driehoek a, b en c dan zijn er 6 verschillende verhoudingen mogelijk. Sinus α = b / a Cosecans α = a / b Cosinus α = c / a Secans α = a / c Tangens α = b / c Cotangens α = c / b

Sinus C Overstaande rechtshoekzijde Sinus β = Schuine zijde a b b

Cosinus C Aanliggende rechtshoekzijde Cosinus β = Schuine zijde a b c

Cosinus C Overstaande rechtshoekzijde Tangens β = Aanliggende rechtshoekzijde a b b Tan β = c β A c B

Verband tussen cos, sin en tan α = 90° γ ► sinβ = b / a = 4/5  β = 53,13° 5 ► cosγ = b / a = 4/5  γ = 36,87° 4 sin 53,13° = cos 36,87° α β ► sinβ = cos(90° - 53,13°) = 4/5 A 3 B sinβ = cos(90° - β)

Verband tussen cos, sin en tan α = 90° γ ► cosβ = c / a = 3/5  β = 53,13° 5 ► sinγ = c / a = 3/5  γ = 36,87° 4 cos 53,13° = sin 36,87° α β ► cosβ = sin(90° - 53,13°) = 3/5 A 3 B cosβ = sin(90° - β)

Verband tussen cos, sin en tan

Eenheidscircel

Goniometrische verhoudingen in de eenheidscircel Elke hoek wordt ingesloten door twee benen, het vaste – en het draaibeen Elke hoek kan met zijn hoekpunt in de oorsprong van het assenstelsel geplaatst worden en met het vaste been langs de x-as De hoek waarover gedraaid wordt heet α, deze wordt uitgedrukt in graden. De positieve richting van de draaihoek is tegen de wijzers van de klok in De grootte van de hoek wordt volledig bepaald door de verhouding van de coordinaten van een punt op de draaibeen (x, p).

Goniometrische verhoudingen in de eenheidscircel In de eenheidscircel geldt voor de hoeken van 0° tot 360°; sin α = y cos α = x tan α = y / x Of Pythagoras cos2 α + sin2 α = 1

Goniometrische verhoudingen in de eenheidscircel In onderstaand figuur geven we enkele sinussen van bekende hoeken tussen 0° en 180°, dus in het eerste en tweede kwadrant van de eenheidscircel. sin α = y sin 180° = sin 0° = 0 sin 150° = sin 30° = 0,5 sin 135° = sin 45° = 0,71 (of 1/2√2) sin 120° = sin 60° = 0,87 (of 1/2√3) sin 90° = 1

Goniometrische verhoudingen in de eenheidscircel In het bovenstaand figuur geven we enkele cosinussen van bekende hoeken tussen 0° en 180°: cos α = x cos 180° = -cos 0° = -1 cos 150° = -cos 30° = -0,87 cos 135° = -cos 45° = -0,71 cos 120° = - cos 60 = -0,5

Goniometrische verhoudingen in de eenheidscircel Voor een hoek α in het tweede kwadrant geldt: sin α = sin ( 180° - α ) cos α = - cos ( 180° - α ) tan α = - tan (180° - α )

Radialen

Radialen De omtrek van de eenheidscircel; = 2 π r = 2 π 1 = 2 π = 6,28 Zo zal op elk punt van de circelomtrek een reel getal tussen 0 en 6,28 zijn afgebeeld. Na een periode van 2π zal het zelfde punt weer worden bereikt, we noemen dit een periodieke functie met een periode van 2π. Een radiaal is de grootte van een circelboog waarvan de lengte gelijk is aan de straal van de circel.

Radialen In eenheidscircel bevat 2π radialen = 6,28 radialen. .Éen radiaal is gelijk aan 360° / 2π = 57,3° = 57° 18’ Ook de middelpuntshoek α die op de boog staat van één radiaal, noemen we een radiaal. De radiaal kunnen we dus beschouwen als een maateenheid voor het meten van circelbogen en hoeken.

Radialen rad = α / 360 * 2π α = rad / 2π * 360° Graden  Radialen 90°/360° * 2π = 1,57 → 1,57 / π = 0,5 → 1,57 = 0,5π rad = α / 360 * 2π Radialen  Graden 1 1/2π = 4,71 → 4,71 / 2π * 360° = 270° α = rad / 2π * 360°

Radialen - sinus Zo ook: Sin 1/6π = sin 0,52 = 0,5 Sinα = y

Radialen - cosinus Cos 1/3π = cos π/3 = cos 1,05 = cos 60° = 0,5 Zo ook: Cos 1/2π = cos 1,57 = cos 90° = 0 Cos π = cos 3,14 = cos 180° = -1 Cos 1 1/3π = cos 4,18 = cos 240° = - 0,5 Cos 1 1/2π = cos 4,71 = cos 270° = 0 Cos 2π = cos 6,28 = cos 360° = 1 cosα = x

Tabel van de functie f(x) = sinx 1/6π 1/3π 1/2π 2/3π 5/6π π 1 1/6π 1 1/3π 1 1/2π 1 2/3π 1 5/6π 2π f(x) 0,5 0,9 1 -0,5 -0,9 -1

Tabel van de functie f(x) = cosx 1/6π 1/3π 1/2π 2/3π 5/6π π 1 1/6π 1 1/3π 1 1/2π 1 2/3π 1 5/6π 2π f(x) 1 0,9 0,5 -0,5 -0,9 -1

Onderscheidt tussen de cos- en sinfunctie De cosinusfunctie ijlt dus een ½ π (of een kwart periode ) na. (Men kan de cosinus beschouwen als een sinusfunctie waarvan de grafiek een ½ π (naar links) verschoven is.)

Sinusregel Sin α = h / b → h = b sin α Sin β = h / a → h = a sin β a sin β = b sin α a : sin α = b : sin β De verhoudingen tussen de lengte van een zijde en de sinus van de tegenoverliggende hoek zijn aan elkaar gelijk.

Oppervlakte van een driehoek sin α = h / b h = b sin α Voor de oppervlakte van ∆ ABC vinden we nu door substitutie van h in: ½ * basis * hoogte = ½ * c*h ABC = ½ b c sin α

Oppervlakte van een driehoek Uit de gevonden formule kan men door cyclische verwisseling de twee anderen afleiden. ABC = ½ a c sin β ABC = ½ a b sin γ

Oppervlakte van een driehoek De oppervlakte van een driehoek is gelijk aan het halve product van twee zijden , vermenigvuldigd met de sinus van de ingesloten hoek.

Cosinusregel b2 = a2 + c2 – 2 a c cos β a2 = h2 + p2 b2 = h2 + (c – p)2 a2 = h2 + p2 b2 – a2 = (c – p)2 – p2 → b2 = a2 + c2 – 2 c p regel 1 p = a cos β regel 2 regel 2 in regel 1 b2 = a2 + c2 – 2 a c cos β

Cosinusregel Het kwadraat van een zijde is gelijk aan de som van het kwadraat van de andere zijden verminderd met het dubbele product van de andere zijden en de cosinus van hun ingesloten hoek. Zo ook: a2 = b2 + c2 – 2 b c cos α c2 = a2 + b2 – 2 a b cos γ

De somformule 01 (Sinus) De oppervlakte van ∆ POR is ook gelijk aan de som van de twee rechthoekige driehoeken; PRS en QRS, waarin RS zowel gelijk is aan; pcosβ als aan qcosα

De somformule 01 (Sinus) Opp. ∆ PQR = ½ pq sin (α + β) ( h = q ( sin α + β) De oppervlakte van een driehoek is gelijk aan het halve product van twee zijden , vermenigvuldigd met de sinus van de ingesloten hoek. qcosα pcosβ

De somformule 01 (Sinus) Opp. ∆ RSQ = ½p * q cos α * sin β  Opp. ∆ RSQ = ½pq sin β cos α De oppervlakte van een driehoek is gelijk aan het halve product van twee zijden , vermenigvuldigd met de sinus van de ingesloten hoek. qcosα pcosβ

De somformule 01 (Sinus) Opp. ∆ PRS = ½p * q cos β * sinα  Opp. ∆ PRS = ½pq sinα cos β De oppervlakte van een driehoek is gelijk aan het halve product van twee zijden , vermenigvuldigd met de sinus van de ingesloten hoek. qcosα pcosβ

De somformule 01 (Sinus) sin (α + β) = sin β cos α + sinα cos β Opp. ∆ PQR = ½ pq sin (α + β) ( h = q ( sin α + β) Opp. ∆ RSQ = ½pq sin β cos α Opp. ∆ PRS = ½pq sinα cos β Gelijkstellen: ∆PQR = ∆RSQ + ∆PRS ½ pq sin (α + β) = ½pq sin β cos α + ½pq sinα cos β Hieruit volgt na deling van beide leden door ½ pq: sin (α + β) = sin β cos α + sinα cos β (Formule 1)

De Verschilformule 02 (Cosinus) En voor een cosinus van een verschil van beide hoeken, cos(α – β) We weten al dat: cos α = sin ( 90° - α ) en sin α = cos ( 90° - α ) , daarvoor: cos (α – β) = sin (90 – (α – β)) = sin ((90 – α) + β) In formule 1: sin((90 – α) + β) = sin(90 – α) cos β + cos(90 – α) sin β = sin((90 – α) + β) = cos α cos β + sin α sin β cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β (Formule 2)

De Verschilformule 03 (Sinus) De oppervlakte van ∆ POR = ½ pq sin (α – β ) ∆ POR = ΔPRS - ΔQRS RS = pcosβ = qcosα. ΔPRS = ½ q RS sinα = ½ q pcosβ sinα = ½ pq sinα cosβ ΔQRS = ½ p RS sinβ = ½ p qcosα sinβ = ½ pq sinβ cosα Dit levert dus op: ½ pq sin ( α – β ) = ½ pq sin α cos β – ½ pq cos α sin β qcosα pcosβ

De Verschilformule 03 (Sinus) Hieruit volgt na deling door ½ pq: sin ( α – β ) = sin α cos β – cos α sin β (Formule 3)

De Somformule 04 (Cosinus) En m.b.v. formule 3 geldt voor de cosinus Van de som van beide hoeken, cos(α + β) : Met behulp van: sin α = cos ( 90° - α ) , cos α = sin ( 90° - α ) cos (α + β) = sin (90 – (α + β)) = sin ((90 – α ) - β) sin ((90 – α ) - β) = formule 3 = sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β sin ((90 – α) - β) = sin ( 90° - α ) cos β – cos ( 90° - α ) cos β cos (α + β) = cos α cos β - sin α cos β (Formule 4)

Som – en verschilformules SOMFORMULES sin (α + β) = sin β cos α + sinα cos β cos (α + β) = cos α cos β - sin α cos β VERSCHILFORMULES cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β sin ( α – β ) = sin α cos β – cos α sin β

Verdubbelingsformule Indien men in de somformule, sin (α + β) = sin β cos α + sinα cos β, (formule 1) Voor β = α neemt: dan krijgt men de verdubbelingsformule sin2α = 2 * sinα * cosα.

Verdubbelingsformule Indien men in de somformule, cos ( α + β ) = cos α cos β – sin α sin β , (formule 4) Voor β = α neemt: dan krijgt men de verdubbelingsformule cos2α = cos2α – sin2α

Formules voor dubbele hoeken cos2α = cos2α – sin2α Vervangt men hierin cos2α door ( 1 – sin2α ) dan is: cos2α = 1 – 2 sin2α 2 sin2α = 1 - cos2α Vervangt men sin2α door ( 1 – cos2α ) dan ontstaat: cos 2α = 2 cos2α – 1 2 cos2α = cos 2α + 1

Formules voor dubbele hoeken De bovenstaande nevenformules stellen ons in staat van een enkele hoek naar een dubbele hoek over te stappen of van een kwadratische vorm een niet-kwadratische te maken. Natuurlijk mogen we in deze formules de dubbele hoek vervangen door een enkele, een vierdubbele enzovoorts.

Formules voor dubbele hoeken De formule sin2α = 2*sinα * cosα kan dan bijvoorbeeld worden: sinα = 2*sin ½ α * cos ½ α Of sin4α = 2 * sin 2α * cos 2α en ook sin ½α = 2 * sin ¼ α * cos ¼ α Zelfs sin 3 ½ α = 2*sin 1 ¾ α * cos 1 ¾ α, enzovoorts

EINDE Docent: M.J.Roos WWW.HRO.MROOS.COM