Hogere Wiskunde Complexe getallen college week 6 Een inleiding M.J.Roos 21 mei 2011

Complexe getallen De verzameling R van de reele getallen is niet toereikend om iedere kwadratische vergelijking op te lossen. Bijvoorbeeld: x2 = -4 Om toch een oplossing te kunnen noteren definieren we een nieuw getal waarvan het kwadraat -1 is. Dit denkbeeldige of imaginaire getal wordt de imaginaire eenheid genoemd. De imaginaire eenheid wordt aangeduid met de letter “i” . i2 = -1 Met i rekenen we op de zelfde manier als met de reele getallen

Complexe getallen Voorbeelden i3 = i * i2 = i * -1 = -i i7 = i6 * i = (i2)3 * i = -1 * i = -i i-1 = 1/i = 1/i * i/i = i/i2 = i/-1 = -i x2 = - 4  4 * -1 = 4 * i2 = -2i of 2i √i2 = √ -1 = i √-1 = i

Complexe getallen Zuiver Imaginair Getal = reeel getal * i Bijv. 2i, -5i, ¼ I Complex Getal (z) = reeel getal + i z = a + bi Een Complex getal bestaat uit: Een reeel deel + imaginair deel Het reele deel van z is gelijk aan a (Rez = a) Het imaginaire deel van z is gelijk aan b. (Imz = b) Bijv. 1 + 2i, -2 – 5i, ¼ + I

Complexe getallen Optellen z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Aftrekken z1 – z2 = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i Voorbeeld: z1 = 1 + 2i en z2 = -2 – 5i z1 + z2 = (1 + - 2) + (2 + -5)i = -1 + -3i z1 – z3 = (1 - -2) + (2 - -5)i = 3 + 7i

Complexe getallen Vermenigvuldigen z1 * z2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + cbi + bdi2= ac + adi + cbi + (bd * -1) = ac + adi + cbi – bd= (ac – bd) + (ad + cb)i Delen .

Complexe getallen Gegeven: z1 = 3 + 2i en z2 = 2 + i Voorbeeld 1

Complexe getallen Om complexe getallen zichtbaar te maken, moeten we de getallenlijn waarop zich alle beeldpunten van de reele getallen bevinden, uitbreiden met een tweede getallenlijn (loodrecht op de eerste) waarop de beeldpunten van de imaginaire getallen komen.

Complexe getallen Im-as Een willekeurig punt A in dit vlak is het beeldpunt van een complex getal z = a + bi r∙cosφ A b r r∙sinφ De afstand van O naar A is: r = √(a2 + b2) φ O a Re-as r wordt de absolute waarde of modulus van het complexe getal a + bi genoemd. Notatie: |a + bi| = √(a2 + b2) = r φ wordt het argument van het complexe getal a + bi genoemd. φ is een hoek in

Complexe getallen De arctangens of boogtangens (ook afgekort tot atan of arctan of bgtan of tan-1) is een cyclometrische functie in de wiskunde, die de relatie beschrijft die de inverse is van de tangens. Het resultaat van de arctangens is de hoek waarvan de tangens het argument als waarde heeft: y = arctan x  x = tan y Aangezien de tangens een periodieke functie is met periode pi, is de arctangens strikt genomen geen functie: voor elk argument zijn er oneindig veel corresponderende hoeken. Traditioneel wordt de arctangens tussen -π/2 en +π/2 gekozen. In tegenstelling tot de arcsinus en de arccosinus heeft de arctangens een waarde voor elk reëel argument; de tangens kan immers elke reele waarde aannemen.

Complexe getallen Machtreeks De arctangens heeft de volgende reeksontwikkeling voor x in het gesloten interval [-1,+1]: Het resultaat daarvan ligt dus in het gesloten interval [-π/4,+π/4]. Complexe notatie Gebruik makend van de complexe definities van sinus en cosinus kan de arctangens genoteerd worden als:                                   

Complexe getallen Er geldt in het eerste kwadrant: Om φ in alle kwadranten te bepalen, moet je nagaan in welk kwadrant het beeldpunt van a + bi ligt. Im-as Im-as Im-as φ φ Re-as Re-as Im-as Re-as φ

Complexe getallen Voorbeeld 1 Gegeven: z = -1 + i Oplossing; Im-as Voorbeeld 1 Gegeven: z = -1 + i Oplossing; Modulus: r =√(-a2 + b2)=√(-12 + 12)=√2 Argument (2e kwadrant): φ Re-as

Complexe getallen Voorbeeld 2 Gegeven: z = -1 - i Oplossing; Modulus: r =√(-a2 + -b2)=√(-12 + -12)=√2 Argument (3e kwadrant): Im-as Re-as φ

Complexe getallen Elk complex getal z = a + bi is in r en φ uit te drukken. a = rcosφ b = rsinφ Zodat: z =a + bi = rcosφ + irsinφ Voorbeeld: Gegeven: z = 1 – i (4e kwadrant)

Complexe getallen De stelling van Euler Als : Dan kan z ook heel compact worden genoteerd als: Voorbeeld: Gegeven: z = 1 – i (4e kwadrant) en volgens Euler:

Complexe getallen Met behulp van de stelling van Euler kunnen we het vermenigvuldigen en het delen van twee complexe getallen veel sneller uitvoeren. Gegeven: z1 = r1eiφ1 en z2 = r2eiφ2 Er geldt bij vermenigvuldiging: z1 * z2 = r1eiφ1 * r2eiφ2 = r1*r2 * ei(φ1 + φ2) Er geldt bij delen:

Complexe getallen Voorbeeld Gegeven: z1 = 1 – i en z2 = 2 + i

Complexe getallen Schrijf “i” in de vorm Reφi eenheidscircel b = rsinφ Im-as b = rsinφ φ Re-as a = rcosφ

Complexe getallen Schrijf “-1” in de vorm Reφi eenheidscircel Im-as φ b = rsinφ Re-as a = rcosφ

Complexe getallen Schrijf “1” in de vorm Reφi eenheidscircel b = rsinφ Im-as b = rsinφ φ=0 Re-as a = rcosφ

Complexe getallen Als we een willekeurig complex getal z = reφi vermenigvuldigen met i, dan voeren we de volgende bewerking uit: Meetkundig betekent dit dat de modulus van z·i gelijk is aan de modulus van z en dat het argument van z toegenomen is met een ½ π. Oftewel een vermenigvuldiging van een complex getal z met een imaginaire eenheid i is een rotatie van het beeldpunt van z in het complexe vlak over een hoek van ½ π tegen de wijzers van de klok in.

Complexe getallen Het oplossen van vergelijkingen az2 + bz + c = 0 (met a, b, c in R) Voorbeeld Los op: z2 + 2z + 5 = 0

Complexe getallen De vergelijking zn = c (met c in C) wordt een binomiaalvergelijking genoemd. Voorbeeld Los op: z3 = i Stel z voor als z = reiφ en i als Dan geldt dat z3 = i hetzelfde is als:

Complexe getallen Vervolg Voor r geldt r = 1 en als we voor k respectievelijk de waarden 0, 1 en 2 invullen, vinden voor φ respectievelijk , en Eenheidscircel, r = 1 Im-as z1 z0 Re-as 1 z2

Complexe getallen Voorbeeld Los op: z3 = -1 + i Stel z voor als z = reiφ en -1 + i als Dan geldt dat z3 = -1 + i hetzelfde is als:

Complexe getallen Vervolg Voor r geldt r = en als we voor k respectievelijk de waarden 0, 1 en 2 invullen, vinden voor φ respectievelijk , en Eenheidscircel, r = 1 Im-as z0 z1 Re-as 1 z2 De oplossingen van zn = α liggen op een circel met straal en middelpunt O en vormen de hoekpunten van een regelmatige n-hoek.

Vervolgcursus differentiaalrekening Einde Vervolgcursus differentiaalrekening