Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets1 Hoofdstuk 3 Vereenvoudigen van logische functies

Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets2 3. Vereenvoudigen van logische functies 3.1 Minimalisatie volgens de booleaanse algebra 3.2 Minimalisatie met behulp van een Karnaughkaart 3.3 Minimalisatie met behulp van Quine- McCluskey 3.4 Reduceren van het aantal componenten 3.5 Toepassingen

Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets3 3.1 Minimalisatie volgens de booleaanse algebra Theorema’s met 1 veranderlijke Commutatieve en associatieve theorema’s Distributieve theorema’s Absorptietheorema’s Theorema’s van de Morgan Consensustheorema’s Samenvatting van de belangrijkste vereenvoudigingsregels Conclusie met betrekking tot de Booleaanse vereenvoudigingsregels Enkele opgeloste voorbeelden

Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets Theorema’s met 1 veranderlijke Zodra alle ingangen van een OR of AND-poort met elkaar worden verbonden, volgt de uitgang het aangelegde ingangsniveau. Zodra één ingang van de OR-poort constant op 1 staat, blijft de uitgang constant hoog.

Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets Theorema’s met 1 veranderlijke Zodra één ingang van de AND-poort constant op 0 staat, blijft de uitgang constant laag. OR-poort0 Zodra één of meerdere ingangen van de OR-poort constant 0 zijn, volgt de uitgang het ingangssignaal. AND-poort1 Zodra één of meerdere ingangen van de AND-poort constant 1 zijn, volgt de uitgang het ingangssignaal.

Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets Theorema’s met 1 veranderlijke Na een dubbele inversie behoudt de uitgang het niveau van de ingang.

Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets Commutatieve en associatieve theorema’s Men mag verschillende parameters van plaats veranderen Haakjes kunnen worden toegevoegd en weggelaten

Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets Distributieve theorema’s Prioriteit bij bewerkingen:Prioriteit bij bewerkingen: –Invertoren –Haakjes –EXOR & EXNOR –AND –OR A.A=A en A.1=A A + 1 = 1

Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets Absorptietheorema’s Bewijs: A./A=0 A+1=1 A+/A=1

Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets Theorema’s van de Morgan Geven een flexibele overgang tussen AND, NAND, OR en NOR Zeer frequent toegepast

Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets Theorema’s van de Morgan Bewijs:

Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets Consensustheorema’s Zijn het moeilijkst op te sporen binnen de logische functie Eerst wordt de functie geëxpandeerd en vervolgens gereduceerd

Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets Consensustheorema’s B.C.1 = B.C en A+/A=1 A+1=1 A.A=A A+1=1 /A.A=0 en A.A=A /A.A=0

Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets Samenvatting van de belangrijkste vereenvoudigingsregels

Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets Conclusie met betrekking tot de Booleaanse vereenvoudigingsregels Prioriteiten binnen logische functie:Prioriteiten binnen logische functie: –Invertor –Haakjes –EXOR & EXNOR –AND –OR.. van AND-relatie weglaten: A.B wordt AB Elke veranderlijke kan een deelfunctie bevatten:

Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets Conclusie met betrekking tot de Booleaanse vereenvoudigingsregels NOOITNiet-gebruikte ingangen mogen in de praktijk NOOIT loshangen!! –Niet-gebruikte ingangen op een AND- en NAND-poort verbinden met Ucc of met een gebruikte ingang. –Niet-gebruikte ingangen op een OR- en NOR-poort verbinden met GND of met een gebruikte ingang.

Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets Conclusie met betrekking tot de Booleaanse vereenvoudigingsregels

Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets Conclusie met betrekking tot de Booleaanse vereenvoudigingsregels Men heeft 4-input OR-poort hebben, maar enkel 2-input verkrijgbaar  vergelijking opsplitsen over meerdere OR-poorten

Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets Conclusie met betrekking tot de Booleaanse vereenvoudigingsregels In vorig voorbeeld is F2 beter, want reageert sneller dan F1

Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets Conclusie met betrekking tot de Booleaanse vereenvoudigingsregels Men mag elke productterm meerdere keren gebruiken tijdens de vereenvoudiging (A+A=A en A.A=A) –Voorbeeld:

Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets Enkele opgeloste voorbeelden De Morgan A.A=A /A en BC afzonderen en A+1=1

Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets Enkele opgeloste voorbeelden De Morgan A+/AB=A+B en De Morgan A.A=A ABC(1+/D)=ABC AB+BC+/AC=AB+/AC

Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets Enkele opgeloste voorbeelden De Morgan De Morgan en /(A+/A) = /1=0 De Morgan /A/C(1+B)+ABC A+/AB=A+B

Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets Minimalisatie met behulp van een Karnaughkaart Karnaughkaart tot en met 4 veranderlijken Invullen van de Karnaughkaart Vereenvoudigen van een Karnaughkaart Onvolledige functies Karnaughkaart voor 5 en 6 veranderlijken

Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets Karnaughkaart tot en met 4 veranderlijken Grafische voorstelling van een functie Karnaughkaart opgebouwd uit cellen Elke cel is 1 regel uit waarheidstabel Aantal cellen = aantal veranderlijken binnen de functie tot de 2de macht. (2 n )

Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets veranderlijken F(A,B) (1): A=0 en B=0 (2): A=0 en B=1

Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets veranderlijken F(A,B,C) 8 cellen LET OP:Naast elkaar liggende cellen mogen, voor de vereenvoudiging, maar één bit van elkaar verschillen.LET OP: Naast elkaar liggende cellen mogen, voor de vereenvoudiging, maar één bit van elkaar verschillen. (3): A=0, B=1 en C=1

Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets veranderlijken F(A,B,C,D) 16 cellen (4): A=1, B=0, C=1 en D=0

Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets Invullen van de Karnaughkaart Gebeurt langs de waarheidstabel of functie Schrijf de waarheidstabel over in de Karnaughkaart Herwerk de functie, met de Booleaanse algebra, tot een som van producttermen en ga dan over naar de Karnaughkaart Karnaughkaart bevat enkel de enen, de nullen worden weggelaten voor leesbaarheid

Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets Van waarheidstabel naar Karnaughkaart

Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets Van logische functie naar Karnaughkaart Elke term aanvullen met resterende veranderlijken (A+/A=1)

Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets Vereenvoudigen van een Karnaughkaart Naast elkaar gegroepeerde enen selecteren NOOIT –Combineer enkel horizontaal of vertikaal, NOOIT schuin –Aantal enen binnen selectie is macht van 2 –Buitenste cellen mogen als aangrenzend worden beschouwd

Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets Vereenvoudigen van een Karnaughkaart Met booleaanse algebra: Grafisch:

Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets Vereenvoudigen van een Karnaughkaart Neem de vereenvoudigingslussen zo groot mogelijk

Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets Vereenvoudigen van een Karnaughkaart Een goed vereenvoudigde vergelijking langs de Karnaughkaart kan nooit verder vereenvoudigd worden met de Booleaanse algebra Slecht vereenvoudigd met Karnaugh Goed vereenvoudigd met Karnaugh

Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets Vereenvoudigen van een Karnaughkaart U ziet ook dadelijk of er meerdere oplossingen mogelijk zijn

Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets Onvolledige functies Xdon’t careSoms kan het zijn dat bepaalde combinaties niet kunnen verwezenlijkt worden  voorgesteld door ‘X’ (don’t care) -verboden toestandOf bepaalde combinaties mogen nooit voorkomen  ‘-’ (verboden toestand) Een verboden toestand en een don't care nemen aan een vereenvoudigingslus deel indien we de lus hiermee kunnen vergroten.

Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets Onvolledige functies Voorbeeld:Voorbeeld: Vier schakelaars (A,B,C,D) bedienen 1 lamp (L). Lamp brandt als meer dan 1 schakelaar gesloten is. A en B mogen niet tegelijk open zijn.

Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets Karnaughkaart met 5 en 6 veranderlijken 2 kaarten van 16 cellen voor 5 variabelen Over 2 kaarten heen vereenvoudigen kan als selectie kan gespiegeld worden rond scheidingslijn

Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets Karnaughkaart met 5 en 6 veranderlijken 4 kaarten van 16 cellen voor 6 variabelen

Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets Minimalisatie met behulp van Quine-McCluskey Herschikken van de gedragstafel Opzoeken van de onmisbare termen Opzoeken van de absoluut onmisbare termen Bijkomend uitgewerkt voorbeeld

Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets Minimalisatie met behulp van Quine-McCluskey Meer dan 5 variabelen Karnaughkaart niet meer praktisch Quine-McCluskey methode is een tabellenmethode die uit onmisbare termen een vereenvoudigde functie afleidt 3 delen: –Herschikken van de gedragstafel –Opzoeken van onmisbare termen –Opzoeken van absoluut onmisbare termen

Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets Minimalisatie met behulp van Quine-McCluskey Voorbeeld:Voorbeeld: f(A,B,C,D) =  m(2,3,4,5,9,10,11,13)

Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets Herschikken van de gedragstafel Termen met hetzelfde aantal enen groeperen

Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets Opzoeken van de onmisbare termen Termen uit verschillende groepen vergelijken. Als termen slechts in 1 veranderlijke verschillen, worden ze vervangen door het ‘-’ teken Onmisbare termen = termen die niet meer kunnen samengenomen worden

Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets Opzoeken van de absoluut onmisbare termen Tabel maken met aanduiding welke mintermen in onmisbare termen voorkomen De functie onder haar eenvoudigste vorm is aldus

Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets Bijkomend uitgewerkt voorbeeld

Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets Bijkomend uitgewerkt voorbeeld Herschikken van de gedragstafel

Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets Bijkomend uitgewerkt voorbeeld Opzoeken van de onmisbare termen

Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets Bijkomend uitgewerkt voorbeeld Opzoeken van de absoluut onmisbare termen F = a+b+d+e+f = /AD/E + /ABC + A/CE + /ACE + /A/B/C/E

Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets Reduceren van het aantal componenten NAND- en NOR-poort als universele component Reductie van het aantal IC’s

Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets NAND- en NOR-poort als universele component Alle vergelijkingen zijn als NAND- en NOR-schema’s te tekenen

Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets Reductie van het aantal IC’s Voorbeeld:Voorbeeld:

Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets Oplossing met elementaire basispoorten F = B/C + BD + ACD

Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets Oplossing met NOR- poorten Geen componentenbesparing!!

Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets Oplossing met NAND- poorten

Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets Oplossing met NAND- poorten