Discrete keuze theorie H01I6A Verkeerskunde basis Jim Stada Traffic and Infrastructure Faculty of Engineering Katholieke Universiteit Leuven

Overzicht college Keuze Utiliteit Logitmodel Voorbeelden Specificatie Aggregatie Beperkingen Hiërarchisch (nested) logitmodel 5 maart 2009

Voorbeelden van keuze in de verkeerskunde Gebieds- gegevens Ritproductie/ ritattractie Vervoersstromen Trip-ends Verplaatsings- weerstanden H-B tabellen Distributie/ vervoerwijzekeuze Toedeling Transport netwerken Keuze voor: Wel of niet maken van verplaatsing Bestemming Vervoerwijze Route 5 maart 2009

Discrete keuze theorie Algemene theorie over keuze tussen discrete (elkaar uitsluitende) alternatieven Afkomstig uit de psychologie en economie Belangrijke referenties: D. Mc Fadden M. Ben Akiva en S. Lerman (1985) Discrete choice analysis: Theory and application to Travel Demand (The MIT Press) K. Train 5 maart 2009

Werkwijze dataset met gegevens over de keuzes die mensen gemaakt hebben in bepaalde situaties Opsporen regelmatigheden in die keuzes Gieten in mathematische vorm Afgeleide formules gebruiken om de keuzes in nieuwe situaties te voorspellen. 5 maart 2009

Kenmerken van alternatieven en keuzemaker + een keuzeregel Kenmerken alternatieven Reistijd Reiskosten Comfort Auto t1 k1 c1 Bus t2 k2 c2 Lopen t3 k3 c3 Kenmerken van de alternatieven Ook van invloed: kenmerken van de keuzemaker (bijv. inkomen) Tenslotte nodig: een keuzeregel 5 maart 2009

Persoon kiest alternatief met hoogste utiliteit Keuzeregel: De aantrekkelijkheid van een alternatief a voor persoon n kan worden uitgedrukt in één getal, de utiliteit: Uan Persoon kiest alternatief met hoogste utiliteit Utiliteiten : niet direct waarneembaar Kenmerken alternatieven en personen: wel waarneembaar Daarom: Uan = functie (kenmerken alternatief a, kenmerken persoon n) 5 maart 2009

Stochastische utiliteit Personen in (voor de waarnemer) exact dezelfde situatie (zelfde kenmerken a en n) maken toch verschillende keuzen! Waarom? Er zijn een (mogelijk groot) aantal kenmerken die de analist niet waarneemt! Daarom: Definieer Uan als een stochastische variabele: met Van deterministisch = f(kenmerken a,n) en  een kansvariabele De kans dat alternatief a wordt gekozen (door persoon n) wordt nu: (We laten in het vervolg n weg als dat niet tot onduidelijkheid leidt) 5 maart 2009

Voorbeeld 1 Stel een keuzesituatie met 2 alternatieven: Stel kansverdelingen: De kans dat alternatief 1 wordt gekozen is: Pr(1) = 0,75 Pr(2) = 0,25 5 maart 2009

Voorbeeld 2 Pr(1) = Pr(U1 > U2) = Pr(5 + 1 > 7 + 2) Uniform verdeeld tussen –2 en +2 2 Uniform verdeeld tussen –1 en +1 En kansverdelingen Onafhankelijk ! Alt 1 wordt gekozen Kans = 1/16 3 7 6 8 Alt 1 Alt 2 5 maart 2009

Kansverdeling stoortermen  Probit model Logit model Kansfunctie? Normale Verdeling Gumbel Varianties? Verschillend Identiek Onderling afhankelijk? Ja Nee 5 maart 2009

Normale verdeling vs Gumbel-verdeling 5 maart 2009

Logitmodel Als we voor de kansverdelingen van de stoortermen aannemen: Aanname 1: Gumbel-verdelingen Aanname 2: identiek (zelfde variantie :: 1/2 ) Aanname 3: onafhankelijk Dan kan worden aangetoond: 5 maart 2009

Binaire logitmodel Keuze tussen twee alternatieven: Deel teller en noemer door 5 maart 2009

Voorbeeld binaire logit Gebruik logitmodel voor berekening productie Keuzeverzameling voor een persoon: Alternatief 1: maakt wel woon-werk verplaatsing Alternatief 2: maakt niet woon-werk verplaatsing Persoonskenmerken: L = Leeftijd (in jaren 16-90) OPL = Opleiding (schaal van 1-17) G = Geslacht (0 = vrouw, 1 = man) GM = Gehuwde man (0 = nee, 1 = ja) GV = Gehuwde vrouw (0 = nee, 1 = ja) VK = Vrouw met jong kind (0 = nee, 1 = ja) Geschatte functies voor V (uit waarnemingen): Opmerkingen: Alleen verschil V1 en V2 is van belang ! Aggregeren over zone ! Check de plausibiliteit van de coefficienten ! 5 maart 2009

Multinomiale logit Gebruik logitmodel voor berekening vervoerwijzekeuze Voorbeeld vervoerwijzekeuze Pr(a) de kans dat vervoerwijze a wordt gekozen Vk de (waarneembare) utiliteit van vervoerwijze k K het aantal alternatieve vervoerwijzen Als K = 2 binaire logit Als K > 2 multinomiale logit 5 maart 2009

Voorbeeld multinomiale logit Gebruik logitmodel voor berekening vervoerwijzekeuze Geschatte functies voor V (uit waarnemingen): Vauto = 1,00 - 0,15*KOSTauto - 0,10*TIJDauto Vbus = - 0,15*KOSTbus - 0,10*TIJDbus Vfiets = -0,50 - 0,10*TIJDfiets Auto Bus Fiets TIJD (min) 5 15 20 KOST (Euro*10) 0,20 0,17 - Stel gegeven: Dan: Vauto = +0,47, Vbus = -1,53, Vfiets = -2,50 Modal split Pr(auto) = e0,47 / (e0,47 + e-1,53 + e -2,50) = 85% Pr(bus) = = 11% Pr(fiets) = = 4% Opmerkingen: V kan negatief zijn ! V + constante verandert uitkomsten niet ! 5 maart 2009

Specificatie logitmodel Functionele vorm utiliteitsfuncties Meestal lineaire functies maar niet verplicht Variabelen in de utiliteitsfunctie Generieke variabelen Alternatief-specifieke variabelen Schatting (calibratie) van de utiliteitsfuncties Niet in dit college Vauto = 1,00 - 0,15*KOSTauto - 0,10*TIJDauto Vbus = - 0,15*KOSTbus - 0,10*TIJDbus Vfiets = -0,50 - 0,10*TIJDfiets 5 maart 2009

Geaggregeerde en gedisaggregeerde modellen Stel 2 personen A en B: Correct is eerst Pr(A) en Pr(B) bepalen, daarna middelen. Foutief is eerst VA en VB middelen, daarna Pr(C) bepalen. Voor een zone betekent dit eerst kansen voor homogene groepen bepalen, daarna aggregeren. 5 maart 2009

Havenkeuzemodel 5 maart 2009

Resultaten schatting (op basis van gegevens 1992 Statisches Bundesamt) 5 maart 2009

Toepassing model Effect aanleg IJzeren Rijn 5 maart 2009

Beperkingen logitmodel (1) Voor de kansverdeling van de stoortermen: Aanname 1: Gumbel-verdelingen Aanname 2: identiek (zelfde variantie :: 1/2 ) Aanname 3: onafhankelijk Logit routekeuze Geeft verkeerd resultaat Want variantie stoortermen niet identiek 5 maart 2009

Beperkingen logitmodel (2) Logit routekeuze Geeft verkeerd resultaat Want kansverdeling stoortermen niet onafhankelijk 5 maart 2009

Beperkingen logitmodel (3) Rode/Blauwe bussen probleem 1e situatie: Vervoerwijze verdeling auto/bus 50%/50% Dan geldt dus Vauto = Vbus want: 2e situatie: Helft bussen rood, andere helft blauw schilderen. Dit verandert de utiliteit van de bus niet. Dus Vauto = V bus = Vrode bus = Vblauwe bus Nu keuze uit 3 alternatieven: Fout want kansverdeling stoortermen niet onafhankelijk 5 maart 2009

Aanpak beperkingen logitmodel Probit model Logit model Kansfunctie? Normale Verdeling Gumbel Varianties? Verschillend Identiek Onderling afhankelijk? Ja Nee Een belangrijke beperking van het Logitmodel is dat er geen afhankelijkheid mag zijn tussen de stoortermen van de alternatieven. Als er wel afhankelijkheid is dan is een goede methode: Hierarchische Logit (ook wel Nested Logit genoemd) 5 maart 2009

Hierarchisch of Nested Logit Model Alle verplaatsingen Auto Openbaar Vervoer Trein Bus 5 maart 2009

Hiërarchisch of Nested Logit Model Alle verplaatsingen  x ’logsom’ Vauto Vtrein Vbus 0 <  < 1 Als =1 dan nested logit wordt gewone (niet nested) logit 5 maart 2009

Voorbeeld berekening Nested Logit 5 maart 2009

Samenvatting Keuze is een centraal thema in de verkeerskunde Het logitmodel is een zeer geschikt instrument voor het analyseren van keuzes Gebaseerd op toekenning van utiliteiten aan de diverse keuze-alternatieven Utiliteiten zijn een functie van de kenmerken van alternatieven (en van kenmerken van personen) Omdat we niet alle kenmerken weten, voegen we een stochastische component toe aan de utiliteit. Dit heet een stoorterm. De keuzeverdeling wordt gegeven in termen van kansen, die later over een gebied of bevolkingsgroep worden geaggregeerd Het logitmodel kent beperkingen. Correlaties in stoortermen kunnen worden ontvangen door toepassing van een nested logitmodel. 5 maart 2009