TELLEN IN TAAL: de vorm van rekenen en redeneren UvA open college, 1 october 2003 Hoe Wiskunde Werkt Johan van Benthem http://staff.science.uva.nl/~johan/ Institute for Logic, Language and Computation ILLC

Notatie en Taal Getallen en hun namen 9, 5+4, 32, x+1 = 10, 2, 12 Getallen zelf niet nodig om te rekenen! 2 • (3+x) = 2•3 + 2•x = 2x + 6 Nut van notatie: precisie, overzicht: x + y = y + x Syntaxis (talige vorm) versus semantiek (het aangeduide object, de betekenis)

Grammatica van de wiskunde Namen van getallen eigennamen 0, 1, , … variabelen x, y, z, … functiesymbolen: +, *, , … samengestelde termen: 32, (x+2y), ... Grammatica zelf wiskundig! Ambigu: 2+3*4: (2+3)*4?, 2+(3*4)? Unieke leesbaarheid in Poolse notatie: *+234 versus +2*34 En die eenduidigheid kun je bewijzen.

Grammatica 2 Basisbeweringen t1 = t2, t1 < t2, x tussen y en z Vorm: relatie-symbool plus aantal termen x + 2y < y2 * z R (t1, ..., tk) met k het aantal argumenten van de relatie Net zo voor verzamelingen en andere objecten: x  AB

Grammatica, 3 Samengestelde beweringen Boolese operaties  niet negatie  en conjunctie  en/of disjunctie  als.. dan.. implicatie  desda equivalentie geen oude mannen of poorters:  ((O  M)  P),  (O  (M  P)),  (O  M)  P, (O  M)  P, nog meer?

Grammatica, 4 Spreken over alle getallen, zelfs al die niet allemaal een naam (kunnen) hebben! Kwantoren uitdrukkingen van hoeveelheid Alle x (x) alle x voldoen aan  Sommige x (x) minstens één x heeft  Geen x (x) geen enkele x heeft  De kracht: herhaalde kwantoren x y x<y elk getal heeft een groter getal x y y<x er is een kleinste getal Dichte ordening: xy(x<y z (x<zz<y))

Leren lezen en schrijven in rekenkundige taal met vermenigvuldiging: definieer “x is een priemgetal” x deelt y z x*z = y x = 1 z: x*z = z x is priem u: (u deelt x  (u=xu=1)) In taal van de verzamelingen: lees formule x y (z(zx  z y) x=y) Extensionaliteit: twee verzamelingen met dezelfde elementen zijn gelijk

Notatie en Abstractie Verder nut notatie: graden van abstractie 3 + 4 = 4 + 3 3 + y = y + 3 x + y = y + x fxy = fyx t1 = t2 R (fxy, fyx) Wiskunde van notatie: ‘term-unifikatie’ bijv. belangrijk in programmeertalen Hoe abstracter, hoe meer toepassingen!

Patronen in bewijzen Geldige en ongeldige gevolgtrekkingen: AB, A  B Leibniz: Characteristica Universalis, Calculus Ratiocinator Geldige en ongeldige gevolgtrekkingen: AB, A  B AB, A  B AB, B  A  x y Rxy  y  x Rxy y  x Rxy   x y Rxy Computers: symbolisch rekenen en redeneren Bewijzen mechanisch controleren, ontdekken? Eén formeel bewijs, vele interpretaties...

De taal van de wiskunde Termen, basisbeweringen, Boolese operaties, en kwantoren: uitdrukkingen van hoeveelheid Abstracte notatie voor elke wiskundige theorie, ook voor logische analyse van bewijsstappen Praktisch: informatica, automatisch bewijzen, theoretisch: grondslagen van de wiskunde Filosofie van de wiskunde: Platonisme versus Formalisme (wiskunde is symbolenspel...)

Gewone taal en menselijke cognitie Ondanks eeuwen van symbolische notatie, gebruiken wij nog onze ‘natuurlijke taal’ Ontstaan in onze cognitieve evolutie Functies: informatie, communicatie, emotie Geeft inzicht in ons cognitief functioneren Filosofische tegenstelling: formele ‘versus’ natuurlijke taal, ‘misleidende vorm these’ Tegenwoordig: vele verbanden over en weer

Rekenen in Natuurlijke Taal Uitdrukkingen van hoeveelheid Dit meisje kent drie talen,Weinig mensen kennen meer dan twee talen, De meeste mensen zijn rechtshandig, Alle vogels zingen een lied. Alledaags redeneren codeert rekenen Uit het feit dat alle kinderen van uw buurman lastig zijn volgt dat alle dochters van uw buurman lastig zijn. Uit het feit dat weinig mensen meer dan twee talen kennen volgt dat weinig mensen meer dan drie talen kennen.

Determinatoren "twee, alle, weinig, geen, de meeste” Z NP G Det N zingt elke vogel Vorm: relatie tussen verzamelingen Q AB Ook determinatoren: elke blauwe, Napoleon’s Ook: vang elke vogel met twee netten

Kwantoren Betekenis Q AB A B E Sommige A zijn B AB is niet-leeg Drie A zijn B |AB| = 3, De meeste A zijn B |AB | > |A–B| Conservativiteit: Q AB  Q A (BA)

Kwantoren en bijecties Bijectie tussen verzamelingen A en B Invariantie Q AB  Q F[A] F[B] ‘tellen’: ongevoelig voor de aard van objecten Betekenis via a, b paren a = |A–B|, b = |AB| bijv. alle A B: a = 0, de meeste A B: a < b

‘Natuurlijke Logica’ Monotonie redeneren: kwantoren en inclusie Linker daling: MON Alle buurkinderen zijn lastig Q BL Buurdochters zijn buurkinderen DB Dus Alle buurdochters zijn lastig Q DL MON: Alle Nederlanders wonen op aarde Q NA Aardbewoners wonen in de Melkweg AM Dus Alle Nederlanders wonen in de Melkweg Q NM

Theorie van kwantoren Vierkant van Oppositie alle geen sommige niet alle FEIT Enige kwantoren met (a) Bijectie-invariantie, (b) Dubbele monotonie, (c) Conservativiteit, plus (d) ‘Variëteit’ De meeste: ook een vorm van monotonie? Alleen rechts stijgend!

Kwantoren als machines “Alle” met een eindige automaat: a b b a “Sommige” ‘pool’ “alle” machine ‘om’ Wat herkent de volgende machine? b b b a a a “Precies één A is B” De meeste: machine nodig met geheugen

Eigenaardigheden van Taal Wezenlijke verschillen met wiskunde: Ambiguïteit Vaagheid Contextafhankelijkheid: “veel” Lastige combinaties: bijv. cumulatief “10 baronnen bezaten 100 kastelen” Telbaar & stoftermen: “Weinig wijn”

Formele versus Natuurlijke Taal Nogmaals de twee talen van vanavond: Tegenstelling? Russell-Wittgenstein: ‘Natuurlijke taal heeft Misleidende Vorm’ Beter: Frege: ‘microscoop versus oog’ Natuurlijke taalverwerking: ‘vertalen’ Mengvormen: ‘mathematical vernacular’ Wiskundige studie van natuurlijke taal heel goed mogelijk, ondanks de verschillen...