H3 Tweedegraads Verbanden

Case Duurzaam hout Hbo student Jim de Bont loopt stage bij het adviesbureau ZZConsult, Hij krijgt de opdracht om het verband tussen de afzet en de prijs van een duurzame houtsoort uit Scandinavië vast te stellen. Met de hulp van diverse meetgegevens en statistiek wordt het volgende lineair verband opgesteld: p = -q + 45   waarbij q uitgedrukt is in 1000 ton per jaar, p in 1000 euro per ton.

Case Duurzaam hout Daarnaast stelt hij tegelijkertijd een bijbehorende totale kosten functie op. Deze luidt:   TK = 120 + 5q waarbij TK uitgedrukt is in 1.000.000 euro per jaar. Met deze informatie moet hij de totale winstfunctie opstellen en berekenen bij welke prijs de totale winst zo groot als mogelijk is. Maar ja, hoe moet hij dat doen?

Ontbinden in factoren Voorbeeld: 2 * 3 + 2 * 5 = 3 + 3 + 5 + 5 = (3 + 5) + (3 + 5) = 2 * (3 + 5) De 2 is buiten haakjes gehaald.

Ontbinden in factoren Voorbeeld: 5x + 5y = 5 * (x + y) De 5 is buiten haakjes gehaald. Dit heet ontbinden in factoren.

Ontbinden in factoren Regel 1 ax + ay = a * (x + y)

Ontbinden in factoren Voorbeeld: 5x + 5y + 6xz + 6yz = 5 * (x + y) + 6z * (x + y) = (5 + 6z) * (x + y) Regel 2 (x + a)(x + b) = xy + bx + ay + ab

Ontbinden in factoren Voorbeeld: (x + 2)(x + 3) = x² + 3x + 2x + 6 Regel 3 (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab

Ontbinden in factoren Voorbeeld: Ontbind in lineaire factoren: x² + 13x + 30 Zoek twee getallen a en b waarvoor geldt: a × b = 30 en a + b = 13 1 * 30 1 + 30 = 31 2 * 15 2 + 15 = 17 3 * 10 3 + 10 = 13 5 * 6 5 + 6 = 11 De enige juiste combinatie is 3 en 10

Ontbinden in factoren Vervolg voorbeeld Daarmee krijgen we de ontbinding: x² + 13x + 30 = (x + 3) (x + 10)

Oplossen van een tweedegraads vergelijking Voorbeeld met ontbinden in factoren: x² + 3x + 2 = 0  (x + 1)(x + 2) = 0 Het product van twee getallen kan alleen gelijk zijn aan 0 wanneer één van die getallen gelijk is aan 0. Dus x + 1 = 0 of x + 2 = 0  x = -1 of x = -2

Oplossen van een tweedegraads vergelijking Voorbeeld met de abc-formule: x² + 3x + 1 = 0 Definitie: Oplossen van ax² + bx + c = 0 kan met de abc-formule:

Oplossen van een tweedegraads vergelijking Vervolg voorbeeld Dus en

Oplossen van een tweedegraads vergelijking De uitdrukking D = b² – 4ac heet de discriminant Regel 4 Als D > 0 dan heeft ax² + bx + c = 0 2 oplossingen D = 0 dan heeft ax² + bx + c = 0 1 oplossing D < 0 dan heeft ax² + bx + c = 0 geen oplossingen.

Snijpunten tweedegraads en eerstegraads verband Voorbeeld: y = -2x² + 10x – 10 en y = -4x + 10 -2x² + 10x – 10 = -4x + 10  -2x² + 10x – 10 + 4x – 10 = 0  -2x² + 14x – 20 = 0

Snijpunten tweedegraads en eerstegraads verband Vervolg voorbeeld -2x² + 14x – 20 = 0 Beide kanten delen door -2 geeft x² – 7x + 10 = 0  x² – 7x + 10 = (x – 2)(x – 5) = 0 Dus x = 2 of x = 5

De symmetrieas De grafiek van een tweedegraads verband is symmetrisch. Dat kun je goed gebruiken om eenvoudig het minimum of het maximum te vinden. Voorbeeld: Bekijk: y = x² – 6x + 5 Bij welke waarde van x is er sprake van een minimum of een maximum?

De symmetrieas Regel 5 Bij y = ax² + bx + c is de symmetrieas: Vervolg voorbeeld: De symmetrieas x = - -6/ 2.1 = 6/2 = 3 Invullen geeft y = 3² – 6.3 + 5 = -4 Dit geeft het punt (3 , -4)

De symmetrieas De bijbehorende grafiek ziet er als volgt uit: Deze grafiek heeft de vorm van een dal en heet daarom een dalparabool.

De symmetrieas Bij een bergparabool Als er een negatief teken voor q² staat, dan is er sprake van een bergparabool. Zo ziet y = -x² + 6x – 5 er als volgt uit: Bij een bergparabool hoort een maximum.

De symmetrieas Regel 6 Bij y = ax² + bx + c vinden we een dalparabool met een minimum als a > 0 bergparabool met een maximum als a < 0

Oplossen case Duurzaam hout Het oplossen van de case gaat in vier stappen: I Bepaal de totale winst II Bepaal de prijs waarbij de totale winst maximaal is III Bepaal de maximale winst IV Teken TO en TK in 1 grafiek met je grafische rekenmachine

Oplossen case Duurzaam hout I Bepaal de totale winst Gegeven is: p = -q + 45 TO = p × q = (-q + 45) . q = -q² + 45q in € 1.000.000 per jaar.

Oplossen case Duurzaam hout Verder is gegeven: TK = 120 + 5q Voor de totale winst geldt: TW = TO – TK TW = -q² + 45q –(120 + 5q) = -q² + 45q – 120 – 5q = -q² + 40q – 120 waarbij q uitgedrukt in 1000 ton per jaar en TW uitgedrukt in € 1000000 per jaar.

Oplossen case Duurzaam hout II Bepaal de prijs waarbij de totale winst maximaal is a = -1 en b = 40 Dit is een bergparabool met de symmetrieas bij: Invullen in p = -q + 45 levert: p = -20 + 45 = 25 De winst is maximaal bij een prijs van € 25.000 per ton.

Oplossen case Duurzaam hout III Bepaal de maximale winst q = 20 invullen in TW = -q² + 40q – 120 levert: TW = -20² + 40.20 – 120 = 280 De maximale winst is € 280.000.000 per jaar bij een prijs van € 25.000 per ton.

Oplossen case Duurzaam hout IV Teken TO en TK in één grafiek met je grafische rekenmachine