Het complexe frequentiedomein De Laplacetransformatie

t n w q s z kw1 kq1 tijdcontinu tijddiscreet tijddomein bemonstering t n tijddomein F.R. reconstruktie FFT discreet frequentie-domein kw1 kq1 T→ ∞ ∞→N F.T. continu frequentie-domein w q x et z = ejq L.T. Z.T. complex frequentie-domein s esh = z z

Van fourier- naar laplacetransformatie We doen 2 wijzigingen: Onderste integratiegrens gelijk aan 0 (dus alleen voor causale signalen) Toevoegen van een convergentiefactor e-s t

Laplacetransformatie Met s = s + j w, de complexe frequentie, wordt dit of kortweg X(s) = ℒ [ x(t) ]

Inverse laplacetransformatie De formule wordt nu zodat x(t) = ℒ -1 [ X(s) ] kortweg :

Geen paniek ! We zullen de inverse laplacetransformatie nooit berekenen via deze integraal, maar steeds via een tabel

Fourier ↔ Laplace X(w) is een complexe functie in de reële variabele w 1 vb. X(w) = 1 + jRC w X(s) is een reële functie in de complexe variabele s 1 vb. X(s) = 1 + RC s

Door de laplacetransformatie wordt een reëel signaal x(t) in het tijddomein omgezet in een reëel signaal X(s) in het s-domein ℒ x(t) X(s) ℒ -1 TIJDDOMEIN s - DOMEIN

Dimensie van V(s) Als v(t) een spanning voorstelt met de dimensie [V], dan heeft de laplacegetrans- formeerde V(s) de dimensie [V.s] of [V/Hz]

Eigenschappen van de L.T. 1. Lineariteit ℒ [ x(t) ] = X(s) als ℒ [ y(t) ] = Y(s) en dan is ℒ [ a x(t) + b y(t) ] = a X(s) + b Y(s) (evenredigheid en superpositie)

ℒ [ x(t-t0) ] = X(s) e-st0 ℒ [ x(t) e s0 t ] = X(s - s0) 2. Tijdverschuiving ℒ [ x(t-t0) ] = X(s) e-st0 3. Frequentieverschuiving ℒ [ x(t) e s0 t ] = X(s - s0)

ℒ [ x(t) ] = s X(s) – x(0) ℒ [ ] = X(s) 4. Afleiden naar de tijd beginvoorwaarde ! (is nieuw t.o.v. F.T.) 5. Integreren in de tijd 1 ℒ [ ] = X(s) s

ℒ [ x’(t) ] xy = ∫ x dy + ∫ y dx -∫ x dy = -xy + ∫ y dx d(xy) = x dy + y dx xy = ∫ x dy + ∫ y dx -∫ x dy = -xy + ∫ y dx partieel integreren 0 – x(0) ℒ [ x’(t) ]

Iets over dimensies ℒ [ x’(t) ] = s X(s) – x(0) Stel : x(t) = v(t) met dimensie [V] s heeft dimensie Hz, X(s) heeft dimensie [V/Hz] ℒ [ x’’(t) ] = s [s X(s) – x(0)] – x’(0) [V/s] = s2 X(s) – s x(0) – x’(0) ℒ [ x’’’(t) ] = s3 X(s) – s2 x(0) – s x’(0) – x’’(0) [V/s2]

ℒ [ x(t) * y(t) ] = X(s) . Y(s) 6. Convolutie in de tijd ℒ [ x(t) * y(t) ] = X(s) . Y(s) Convolutie in het tijddomein wordt in het s-domein een eenvoudig product !

Beginwaardetheorema ℒ [ x(t) ] = = s X(s) – x(0) Neem van beide leden de limiet voor s → ∞ vermits geldt:

Eindwaardetheorema ℒ [ x(t) ] = = s X(s) – x(0) Neem van beide leden de limiet voor s → 0 vermits geldt: tenminste als x(∞) bestaat, dus voor stabiele signalen

De L.T. van enkele signalen ℒ [ d(t) ] = ℒ [ u(t) ] = of via eig. 5, vermits u(t) = d(t) dt

ℒ [ t ] = ℒ [ ] = ℒ [ ] = ℒ [ e-at ] = ℒ [ x(t) e -a t ] = X(s + a) 1 via eig. 5, vermits t = u(t) dt ℒ [ t ] = s2 t2 1 ℒ [ ] = eveneens via eig. 5 2 s3 tn 1 ℒ [ ] = n! sn+1 ℒ [ e-at ] = ℒ [ x(t) e -a t ] = X(s + a) of via eig. 3 :

ℒ [ cos wt ] = ℒ [ ] = ℒ [ ] ℒ [ ] = ℒ [ cos wt ] =

ℒ [ sin wt ] = ℒ [ ] = ℒ [ ] ℒ [ ] = ℒ [ sin wt ] =

ℒ [ e-at sin wt ] = ℒ [ e-at cos wt ] = ℒ [ e-at t ] = ℒ [ e-at t2 ] =

Polen en nulpunten T(s) Algemeen : X(s) = N(s) T(s) en N(s) zijn veeltermen in s De wortels van T(s) noemen we de nulpunten van X(s) De wortels van N(s) noemen we de polen van X(s) N(s)

Voorstelling van polen en nulpunten jw O is een nulpunt x is een pool x s O x O x LHV : linker halfvlak RHV : rechter halfvlak

Stabiliteit Een signaal is stabiel als Een signaal is oscillerend als alle polen liggen in het LHV of een enkelvoudige pool in de oorsprong Een signaal is oscillerend als enkelvoudig complex toegevoegde polen op de imaginaire as liggen Een signaal is onstabiel als er één pool ligt in het RHV of meervoudige polen op de imaginaire as liggen

Systeembeschrijving in het s-domein x(t) y(t) differentiaalvergelijking ℒ ℒ ℒ X(s) Y(s) algebraïsche vergelijking

Voorbeeld i(0) vC(0) vIN(t) _ + L R C i(t) vIN(t) vIN(t) is de excitatie, i(t) de responsie, i(0) en vC(0) zijn de beginvoorwaarden Deze beginvoorwaarden hebben te maken met energieopslag: de elektromagnetische energie LI2/2 in de spoel de elektrostatische energie CV2/2 in de condensator

Voorbeeld vL(t) vR(t) vC(t) vIN(t) vIN(t) = vL(t) + vR(t) + vC(t) _ _ i(t) vIN(t) De spanningswet van Kirchhoff geeft volgende vergelijking: vIN(t) = vL(t) + vR(t) + vC(t) Invullen van takrelaties → integraal-differentiaalvergelijking:

Omzetten naar s-domein ℒ of

Netwerken in het s-domein Voor meer ingewikkelde netwerken willen we de differentiaalvergelijking niet opstellen, maar gaan we het netwerk transformeren naar het s-domein, waaruit de responsie direct algebraïsch kan worden opglost

Weerstand ℒ i(t) of v(t) R I(s) of V(s) R + of v(t) R _ ℒ I(s) + of V(s) R _ Voor een weerstand verandert er niets: een weerstand is onafhankelijk van de frequentie.

Condensator i(t) + + v(t) C v(0) _ _ ℒ I(s) + 1 Cs V(s) v(0) s _

Condensator ℒ i(t) v(t) C v(0) I(s) 1 V(s) Cv(0) Cs + + v(t) C v(0) _ _ ℒ (geen beginvoorwaarde !) I(s) + 1 V(s) Cv(0) Cs _

Spoel ℒ i(t) v(t) L i(0) I(s) Ls V(s) Li(0) (geen beginvoorwaarde !) + _ ℒ (geen beginvoorwaarde !) I(s) + Ls V(s) Li(0) _

Spoel i(t) + v(t) L i(0) _ ℒ I(s) + i(0) V(s) Ls _ s

Thévenin → Norton vO = iS Ro vO iS I(s) s v(0) Cs 1 = Cv(0) I(s) 1 1 A A vO iS Ro B B I(s) s v(0) Cs 1 = Cv(0) I(s) + 1 + 1 Cs V(s) Cv(0) V(s) Cs v(0) _ s _

Voorbeeld ℒ i(0) vC(0) vIN(t) vC(0) Li(0) I(s) VIN(s) _ + L R C i(t) 1 Cs s Ls R I(s) VIN(s)

1 vC(0) Li(0) Cs s Ls R I(s) VIN(s)

Besluit In het s-domein worden de elementen R, C en L de impedanties R, 1/Cs en Ls Het oplossen van netwerken in het s-domein gebeurt op dezelfde manier als in het tijddomein Als takvergelijking bekomen we een veral-gemeende wet van Ohm : V(s) = Z(s) I(s) De beginvoorwaarden zijn bijkomende onafhankelijke bronnen