Responsies via het s-domein x(t) y(t) netwerk in het tijddomein ℒ ℒ -1 X(s) Y(s) netwerk in het s-domein We berekenen eerst Y(s) en doen dan de inverse laplacetransformatie

t n w q s z kw1 kq1 tijdcontinu tijddiscreet tijddomein bemonstering t n tijddomein F.R. reconstructie FFT discreet frequentie-domein kw1 kq1 T→ ∞ N→ ∞ F.T. continu frequentie-domein w q x et z = ejq Inverse L.T. Z.T. complex frequentie-domein s esTs = z z

Inverse laplacetransformatie d(t) 1 e-at tn merk op: 0 ! = 1 e-at sin wt e-at cos wt

Inverse laplacetransformatie e-at tn a = 0 n = 0 1 a = 0 n = 1 t e-at n = 0 n = 1 t e-at

Voorbeeld i(t) = ? i(0) vC(0) vIN(t) i(0) = 1 A vC(0) = 1 V _ + L R C i(t) i(t) = ? vIN(t) Gegeven : L = 1 H R = 2 W C = 1 F i(0) = 1 A vC(0) = 1 V vIN(t) = 8 et → VIN(s) =

Waarom partieelbreuksplitsing? Om de inverse laplacetransformatie te doen via de tabel Daarin vinden we : ℒ [ e-at ] = en ℒ [ e-at t ] = zodat ℒ -1 i(t) = A e-t t + B e-t + C et

Berekenen van A, B en C Er zijn verschillende methodes om dit te doen We illustreren hier 2 van deze methodes oplossen van een stelsel berekenen van limieten

Oplossen van een stelsel B + C = 1 A + 2C = 6 - A - B + C = 1 A = 2 B = -1 C = 2

Berekenen van limieten

Berekenen van B is wat moeilijker = 0 voor s = -1

Oplossing i(t) = 2 e-t t - 1 e-t + 2 et i(0) = 1 (beginvoorwaarde!) vC(0) _ + L R C i(t) vIN(t) = 8 et i(t) = 2 e-t t - 1 e-t + 2 et i(0) = 1 (beginvoorwaarde!) i(2) = 3 e-2 + 2 e2 = 15,184

Simulatie met Micro-Cap IC = Initial Condition (= beginwaarde)

Responsie

Eerste orde systeem i(t) vIN(t) vUIT(t) R + 1k C 1µF _ We berekenen de responsie vUIT(t) en i(t) voor de volgende 5 gevallen: vIN(t) = d(t) impulsresponsie vIN(t) = u(t) stapresponsie vIN(t) = t taludresponsie vIN(t) = rechthoekpuls vIN(t) = reële stap

Transferfunkties I(s) VIN(s) VUIT(s) ( beginvw. vUIT(0) = 0 ) R + 1k C _ ( potentiometrische deling ) ( serieschakeling van impedanties )

Impulsresponsie spanning Berekenen van de impulsresponsie vIN(t) = 1Vs d(t) → vUIT 1000 V t 1 ms

Impulsresponsie stroom 1 mC t R = 103 C = 10-6 R2C = 1 -1 A

Impulsresponsie simulatie 1000 V -1 A

Impulsresponsie eerste 5 µsec opp = 1 Vs opp = 1 mC

Stapresponsie Berekenen van de stapresponsie vIN(t) = u(t) →

Stapresponsie simulatie 1 mA = 1V / R

Taludresponsie Berekenen van de taludresponsie vIN(t) = t →

Taludresponsie simulatie Na overgangsverschijnsel wordt vUIT(t) = t - t helling = 1 V/s 1 µA = 1V/s x C Na overgangsverschijnsel wordt i(t) = C = 1µF x 1V/s = 1 µA

Responsie op rechthoekpuls vIN(t) vIN(t) = u(t) – u(t-T) 1 ℒ t T u(t) 1 t u(t-T) T t ℒ -1 -1

Simulatie rechthoekpuls

Responsie op een reële stap vIN(t) 1 t Voor t ≤ T geldt T u(t) 1/T t u(t-T) Als t ≥ T wordt dit T t -1/T

Simulatie reële stap

We komen terug op de valschermspringer Fv = b v 2e wet van Newton: Fg - Fv = m a a = versnelling v Fg = m g dv a = dt v = snelheid Eerste-orde differentiaalvergelijking: of met 29

Hoe verloopt de snelheid van de parachutist? [ beginvoorwaarde: v(0) = 0 ] Berekening via Laplace: ℒ of ℒ -1

Verloop van de snelheid 50 m/s 180 km/u 95% 98% 86% 31,5 m/s 63% t t 2t 3t 4t m = 90 kg b = 18 N / m/s g = 10 m/s2 t = 5 sec

Hoe verloopt de snelheid vanaf het openen van de parachute? [ beginvoorwaarde: v(0) = 50 ] ℒ of ℒ -1

Verloop van de snelheid 50 m/s m = 90 kg b = 180 N / m/s t = 0,5 sec g = 10 m/s2 v(0) = 50 m/s 37% 14% 5% 2% 18 km/u 5 m/s t t 2t 3t 4t

Verloop van de snelheid 180 km/u 50 m/s 5 m/s t

Tweede-orde systeem wn2 vUIT s2 + 2zwn s + wn2 vIN s2 + 2zwn s + wn2 noemen we de normaalvorm van de noemer van een 2e orde systeem fn = wn / 2p wordt de natuurlijke frequentie genoemd of de eigenfrequentie z (dzeita) is de relatieve demping

Wortels van een vierkantsvergelijking als b2 ≥ 4ac zijn de wortels reëel als b2 < 4ac zijn de wortels complex

Vergelijking met de normaalvorm s2 + 2 zwn s + wn2 a = 1 b = 2 zwn c = wn2 b2 = 4ac komt overeen met (2 zwn)2 = 4 wn2 of z = 1

Polen v.e. tweede-orde systeem Als z > 1 zijn er twee reële polen Als z = 1 zijn er twee reële samenvallende polen Als z < 1 zijn er twee complex toegevoegde polen

Voorstelling van complexe polen fd = wd / 2p wordt de gedempte eigenfrequentie genoemd met of jw De complexe polen kunnen dan geschreven worden als p1 jwd wn p1 = – zwn + j wd p2 = – zwn – j wd q s -zwn -jwd p2 cos q = z

Impulsresponsie z > 1 z = 1 z < 1

Berekening wd Tabel: e-at sin wt

Impulsresponsie grafisch

Stapresponsie z > 1 z = 1 z < 1

Stapresponsie grafisch

Massa-demper-veer systeem kracht veer k y f (t) demper b v y

Natuurlijke frequentie en demping of

Stapresponsie j massa m a veer k y f (t) = mg sin j u(t) demper b v y1 y1 y y1 = mg sin j / k

Berekening stapresponsie http://mathinsite.bmth.ac.uk/applet/msd/msd.html

Beginvoorwaarden Potentiële energie k y2/2 Kinetische energie m v2/2 massa v(0) veer k y demper b v y y(0)

Eigenschap van L.T. ℒ [ y’(t) ] = s Y(s) – y(0) [m] y(t) heeft de dimensie van [m] s heeft dimensie Hz, Y(s) heeft dimensie [m/Hz] ℒ [ y’’(t) ] = s [s Y(s) – y(0)] – y’(0) [m/s] = s2 Y(s) – s y(0) – v(0)

Berekening responsie

Inverse L.T. ℒ -1

Inverse L.T. ℒ -1

Totale responsie http://mathinsite.bmth.ac.uk/applet/msd/msd.html

In de volgende slides bestuderen we de invloed van een nulpunt op de transiëntresponsie

Eerste-orde met nulpunt vUIT vIN Stapresponsie

Stapresponsie tz = 0,5 tp jw -1/tz -1/tp s -4k -3k -2k -1k

Stapresponsie tz = tp jw -1/tp s -4k -3k -2k -1k

Stapresponsie tz = 2 tp jw -1/tp -1/tz s -4k -3k -2k -1k

Interessante vaststelling vIN = d(t) vUIT = vIMPULS vIN = u(t) vUIT = vSTAP vIN = u(t) vUIT = vSTAP + tZ vIMPULS

Tweede-orde met nulpunt vUIT vIN vUIT = vSTAP + tZ vIMPULS Stapresponsie

Stapresponsie tz = 1/2zwn jw jwd -1/tz -zwn s -1 -0,75 -0,5 -0.25 -jwd

Stapresponsie tz = 1/zwn jw jwd -zwn s -1 -0,75 -0,5 -0.25 -jwd

Stapresponsie tz = 2/zwn jw jwd -zwn -1/tz s -1 -0,75 -0,5 -0.25 -jwd

Hogere-orde systeem m ≤ n Voor elk fysisch realiseerbaar systeem is de graad van de teller kleiner of gelijk aan de graad van de noemer, of m ≤ n Er zijn m nulpunten en n polen.

Voorbeeld: 7e-orde systeem 7 polen: p1 = s1, p2 = s2, p3 = s3, p4 = sa + jwa , p5 = sa - jwa p6 = sb + jwb , p7 = sb - jwb Stapresponsie: De dempingfactoren en de gedempte eigenfrequenties worden bepaald door de ligging van de polen. De coëfficiënten B tot H worden bepaald door de ligging van de nulpunten.

Inschakelverschijnsel L =1H R=12W + 12V v(t) _ + t = 0 C=10mF _ Op het tijdstip t = 0 gaat de schakelaar open Bereken het verloop van de spanning v(t)

Netwerk in s-domein Li(0) V(s) vC(0) i(0) = = 1A vC(0) = 0 Ls R 1 Cs 12 12 V s vC(0) i(0) = = 1A vC(0) = 0 12 W s

Merk op L =1H R=12W C=10mF

Invullen v.d. componentwaarden De veelterm s2 + 12 s + 100 heeft geen reële wortels (de discriminant b2 – 4 ac = 144 – 400 is negatief). Bij splitsen in partieelbreuken behouden we deze veelterm. We bekomen dan het volgende:

Berekenen van A, B en C v(t) = ℒ -1 [ V(s) ] = ? A + B = 0 12A + C = 100 100A = 1200 A = 12 B = -12 C = -44 v(t) = ℒ -1 [ V(s) ] = ?

Inverse laplacetransformatie In de tabel vinden we alleen : ℒ [ e-at sin wt ] = ℒ [ e-at cos wt ] = Bijgevolg : We zijn er nog niet !

Inverse laplacetransformatie ℒ -1 12 e-6 t cos 8 t - 3,5 e-6 t sin 8 t

Uiteindelijk v(t) = 12 u(t) - 12e-6 t cos 8 t + 3,5 e-6 t sin 8 t controle: Stel t = p/16 = 196,35 ms → dan is cos 8t = 0 en sin 8t = 1 v(p/16) = 12 - 0 + 3,5 e-6 t = 13,077

Simulatie met C = 10 mF

Cursor

Verkleinen van C: C = 1 mF

C = 100 µF

C = 10 µF

C = 1 µF

Uit de simulaties volgt Hoe kleiner de condensator, hoe hoger de spanning, hoe groter de eigenfrequentie Trilkring: er is een uitwisseling van elektro-magnetische (LI2/2) en elektrostatische (CV2/2) energie Benaderende formule voor de maximale spanning Wordt gebruikt bij ontsteking in wagens

Besluit Om de transiëntresponsie te berekenen zijn 3 basisvaardigheden vereist: Oplossen van netwerken in s-domein → dit kan met de klassieke netwerkstellingen Rekening houden met beginvoorwaarden → plaatsen van bijkomende bronnen ℒ -1 via tabel → hiervoor zijn wat wiskundige manipulaties nodig