VERPLAATSINGENMETHODE Introductie Eindige Elementen Methode (EEM) “De eerste kennismaking” Ir J.W. (HANS) Welleman ir J.W. Welleman 1/2/2019

EENVOUDIG BASISBOEK Eindige-elementenmethode voor staafconstructies, Johan Blaauwendraad, Academic Service. 1 Probleemanalyse 2 Constructiemodellen 3 Plan van aanpak ir J.W. Welleman 1/2/2019

1 PROBLEEMBESCHRIJVING Gegeven een model met belasting Gevraagd : Een methode om op een systematische manier (i.v.m. automatisering) de krachtsverdeling en de vervorming in het model te bepalen ir J.W. Welleman 1/2/2019

SYSTEMATIEK (buiging)    Verplaatsing Vervorming Snede-krachten Belastingen  ( hoekverdraaiing & ( kromming ) ( moment & ( belastingen ) zakking ) dwarskracht )   Kinematische Constitutieve Evenwichts Relatie Relatie Relatie ir J.W. Welleman 1/2/2019

SYSTEMATIEK Kinematische relaties Constitutieve relaties krachtenmethode verplaatsingenmethode Kinematische relaties Constitutieve relaties Evenwichtsrelaties klassieke aanpak : Numerieke aanpak : Eindige-ElementenMethode ( EEM ) ir J.W. Welleman 1/2/2019

KRACHTENMETODE Ouderwets Handenarbeid (arbeidsintensief) Kiezen van de statisch onbepaalde vereist ervaring “moeilijk te structureren” “Geeft wel inzicht en leidt tot begrip” ir J.W. Welleman 1/2/2019

VERPLAATSINGENMETHODE Systematische aanpak één METHODE : STATISCH BEPAALD OF ONBEPAALD MET OF ZONDER VERPLAATSBARE KNOPEN : HET MAAKT NIET UIT ! MODERN, LEUKER MAAR VOORAL VEEL PRAKTISCHER Computer ir J.W. Welleman 1/2/2019

2 CONSTRUCTIEMODELLEN Geometrisch model knopen staven staaf knoop Geometrisch model knopen staven Materiaalgegevens Belastingen Randvoorwaarden ir J.W. Welleman 1/2/2019

2D STAAFWERKMODELLEN Vakwerken (extensie) Raamwerken (buiging en extensie) (niet-verplaatsbare knopen) (verplaatsbare knopen) ir J.W. Welleman 1/2/2019

3 PLAN VAN AANPAK BASISBEGRIPPEN ELEMENTEN (LEGOSTENEN) EDUCATIEVE STRUCTUUR Element assemblage en belasting op knopen Verwerken randvoorwaarden Oplossen van onbekenden Postprocessing WERKELIJKE STRUCTUREN ir J.W. Welleman 1/2/2019

BASISBEGRIPPEN UITGANGSPUNTEN Onbekend : verplaatsingen in de knopen ( vrijheidsgraden, degree of freedom, dof ) Bekend : belastingen in de knopen Model is opgebouwd uit elementen waarvan het gedrag bekend is => Eindige-elementenmethode : EEM ir J.W. Welleman 1/2/2019

BASISBEGRIPPEN ASSENSTELSEL (3D) Rechtsdraaiend orthogonaal assenstelsel x-as z y x (om de x-as) y (om de y-as) z (om de z-as) y-as x z-as ir J.W. Welleman 1/2/2019

BASISBEGRIPPEN VRIJHEIDSGRADEN (2D) x-as z-as y BASISBEGRIPPEN VRIJHEIDSGRADEN (2D) uB wB uA wA A B Vakwerk uB wB uA wA A B A B Raamwerk ir J.W. Welleman 1/2/2019

BASISBEGRIPPEN TEKENAFSPRAKEN zie de basisboeken Toegepaste Mechanica V Fz Fx Ty n positieve snede M n negatieve snede x-as N positieve z-zijde z-as ir J.W. Welleman 1/2/2019

ELEMENTEN Educatief element Buiging met niet-verplaatsbare knopen Elementkrachten zijn de koppels op de staafuiteinden Vrijheidsgraden zijn de hoekverdraaiingen van de staafuiteinden ELEMENTEN Educatief element Buiging met niet-verplaatsbare knopen i j Tj (e) Ti(e) element (e) knoop i knoop j l EI ir J.W. Welleman 1/2/2019

ELEMENT STIJFHEIDSMATRIX Verband tussen rotaties  en de koppels T op de uiteinden Methode ? b.v. vergeet-mij-nietjes i j Tj (e) Ti(e) ir J.W. Welleman 1/2/2019

EDUCATIEVE CONSTRUCTIE Tj Tk (1) (2) i j k ir J.W. Welleman 1/2/2019

BEKIJK EEN ENKELE KNOOP KNOOPEVENWICHT Tj (uitwendige belasting) Tj (1) element (1) element (2) Tj (2) knoop i knoop j knoop k ir J.W. Welleman 1/2/2019

KNOOPEVENWICHT Momentenevenwicht: Uitwerken per element Tj (uitwendige belasting) KNOOPEVENWICHT Tj (1) Tj (2) Momentenevenwicht: knoop j Uitwerken per element Element 1 Element 2 ir J.W. Welleman 1/2/2019

EVENWICHTSVERGELIJKING knoop j levert 1 vergelijking n knopen met n onbekende vrijheidsgraden leveren zo : n vergelijkingen met n onbekenden ir J.W. Welleman 1/2/2019

STRUCTUUR v/h SYSTEEM systeem stijfheidsmatrix dof’s krachtenvector ir J.W. Welleman 1/2/2019

SNELLE ASSEMBLAGE ( knoop j ) Evenwicht per knoop = omslachtig ! element 1 element 2 = Tj(uitw) x 8 ir J.W. Welleman 1/2/2019

ONBEKENDEN Hoekverdraaiingen in de knopen Eventuele inklemmingsmomenten i i= ? inklemmingsmoment Tj (uitwendig)= ? ir J.W. Welleman 1/2/2019

BEKENDEN Koppels (uitwendige belasting) Voorgeschreven hoekverdraaiing bij inklemming i  = 0 gegeven belasting Ti (uitwendig) BEKENDE VERPLAATSINGEN NA OPSTELLEN VAN HET STELSEL “VERWERKEN” ir J.W. Welleman 1/2/2019

VOORBEELD 50 kNm 2 1 3 l alle staven : EI = 8000 kNm2 l = 4,0 m 4 5 l (1) (2) 3 l (4) (3) alle staven : EI = 8000 kNm2 l = 4,0 m 4 5 l l ir J.W. Welleman 1/2/2019

ASSEMBLEER HET STELSEL Element 1 tussen knoop 1 en 2 “VERWERK” DE RANDVOORWAARDEN Element 2 tussen knoop 2 en 3 Element 3 tussen knoop 2 en 4 Element 4 tussen knoop 3 en 5 ir J.W. Welleman 1/2/2019

OPLOSSEN (Lineaire Algebra) oplossen met b.v. DERIVE of MAPLE ir J.W. Welleman 1/2/2019

OPLOSSING Alle verplaatsingen bekend KLAAR ? NEE : Los oplegreactie op ! ir J.W. Welleman 1/2/2019

OPLEGREACTIES Gebruik de weggestreepte vergelijking T1 = 2,73 kNm ir J.W. Welleman 1/2/2019

POSTPROCESSING Bepaal de krachtsverdeling in de constructie (M-lijn) Hoe ? Per element met: i j Tj (e) Ti(e) bekend onbekend ir J.W. Welleman 1/2/2019

ELEMENTKRACHTEN Voorbeeld : element 1 1 2 T2 (1) T1(1) 1 2 2,73 5,46 (tussen knoop 1 en 2) 1 2 2,73 5,46 M-lijn element 1 ir J.W. Welleman 1/2/2019

RESUME VAN DE AANPAK MODELLEER DE CONSTRUCTIE BEPAAL PER ELEMENT DE ELEMENTSTIJFHEIDSMATRIX ASSEMBLEER DE SYSTEEMSTIJFHEIDSMATRIX STEL DE SYSTEEM-KRACHTENVECTOR OP VERWERK DE RANDVOORWAARDEN LOS HET GEREDUCEERDE STELSEL OP BEPAAL DE OPLEGREACTIES BEPAAL PER ELEMENT DE KRACHTSVERDELING ir J.W. Welleman 1/2/2019

ONDERWIJSTOOL Eenvoudige gebruikersinterface Voor vak- en raamwerken (2D of 3D) Voor complexe analyse heel veel keus: ANSYS, ABAQUS, AFEMS, DIANA (NL van TNO), ESA (NL), NASTRAN, MARC, Robot en …. ir J.W. Welleman 1/2/2019

VOORBEELD MatrixFrame ir J.W. Welleman 1/2/2019