Het z-domein De z-transformatie
t n w q s z kw1 kq1 tijdcontinu tijddiscreet tijddomein bemonstering t n tijddomein F.R. reconstructie FFT discreet frequentie-domein kw1 kq1 T→ ∞ ∞→N F.T. continu frequentie-domein w q x et z = ejq L.T. Z.T. complex frequentie-domein esTs = z s z
Van laplace- naar z-transformatie Theoretische bemonstering van een signaal: een schakelaar die ‘even’ sluit + x(t) x*(t) _
Het bemonsterd signaal x*(t) dt t t 0 TS 2TS 3TS 4TS We willen het signaal bemonsteren op bepaalde tijdstippen: we moeten dt naar nul laten gaan !
Tussenstap: rechthoekpulsen x*(t) dt x(3TS) x(TS) x(4TS) x[0] t 0 TS 2TS 3TS 4TS x*(t) = x[0] Pdt (t) + x(TS) Pdt (t-TS) + x(2TS) Pdt (t-2TS) + …
De rechthoekpuls PD(t) = u(t) – u(t – D) PD(t) 1 t D u(t) 1 t D u(t) 1 t -u(t – D) t -1
Limietovergang dt → 0 x*(t) oppervlak = x(4TS) dt t 0 TS 2TS 3TS 4TS
Laplacetransformatie van x*(t) Met ℒ [d(t)] = 1 en ℒ [d(t-nTS)] = e-snTS kan X*(s) = ℒ [x*(t)] worden geschreven als of kortweg
Vergelijking met LT v.e. tijdcontinu signaal bemonsterd integratie is vervangen door een sommatie van samples op bemonsteringstijdstippen die op een afstand TS van elkaar liggen
Bruikbaarheid van X*(s) X(s) is een reële, algebraïsche functie in de complexe variabele s T(s) T(s) en N(s) zijn algebraïsche veeltermen X(s) = N(s) X*(s) is dit duidelijk NIET: X*(s) is een som van transcendente e-machten Wat is dan het practische nut van X*(s) ?
Drie wijzigingen We gaan over van x(nTS) naar x[n]: we laten het bemonsteringsinterval TS weg We laten eveneens de factor dt weg (de tijd speelt niet meer mee: x[n] is gewoon een rij van getallen) We voeren een nieuwe complexe variabele z in z = esTS
Resultaat X(z) is een algebraïsche functie in de complexe variabele z !
Dimensie van V(z) Als v(t) een spanning voorstelt met de dimensie [V], dan heeft de laplacegetrans- formeerde V(s) en ook V*(s) de dimensie [V.s] of [V/Hz]. Vermits we dt hebben weg- gelaten heeft V(z) terug de dimensie van [V].
Door de z-transformatie wordt een reëel signaal x[n] in het discrete tijddomein omgezet in een reëel signaal X(z) in het z-domein Z x[n] X(z) Z -1 DISCRETE TIJDDOMEIN z - DOMEIN X(z) = Z { x[n] }
Opmerking over bemonstering Een schakelaar gedurende een oneindig korte tijd sluiten is natuurlijk onmogelijk: de werkelijke bemonstering van een signaal gebeurt met een ‘sample and hold’ schakeling + x(t) x*(t) _ schakelaar dicht = sample schakelaar open = hold
Het bemonsterd signaal x*(t) sample x(t) x*(t) hold t t 0 TS 2TS 3TS 4TS Gedurende de ‘hold’-faze heeft men de tijd om het bemonsterd signaal te digitaliseren met een analoog-digitaal convertor
Eigenschappen van de Z.T. 1. Lineariteit Z { x[n] } = X(z) als Z { y[n] } = Y(z) en dan is Z { a x[n] + b y[n] } = a X(z) + b Y(z)
Z {x[n]} = X(z) = x[0] + x[1] z-1 + x[2] z-2 + x[3] z-3 + … 2. Tijdsverschuiving x[n] x[n-1] x[3] x[3] x[1] x[1] x[4] x[-1] x[-1] x[2] x[2] x[0] x[0] n n -1 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 Z {x[n]} = X(z) = x[0] + x[1] z-1 + x[2] z-2 + x[3] z-3 + … Z {x[n-1]} = x[-1] + x[0] z-1 + x[1] z-2 + x[2] z-3 + … Dus : Z {x[n-1]} = z-1 X(z) + x[-1]
Z {x[n-1]} = z-1 X(z) + x[-1] Z {x[n-2]} = z-2 X(z) + z-1 x[-1] + x[-2] Z {x[n+1]} = z X(z) - z x[0] Z {x[n+2]} = z2 X(z) – z2 x[0] – z x[1] dus: De operator z-1 komt overeen met een vertraging: dit is de reden waarom in het blok diagram van tijddiscrete systemen we de bouwblok vertraging hebben voorgesteld door het symbool 1/z
3. Vermenigvuldgen met an Z [x[n]] = X(z) = x[0] + x[1] z-1 + x[2] z-2 + x[3] z-3 + … Z [x[n] an] = x[0] + x[1] a z-1 + x[2] a2 z-2 + x[3] a3 z-3 + … Bijgevolg: Z [x[n] an] = Vermenigvuldigen met an in het tijddomein komt overeen met delen door a in het z-domein.
↔ s ℒ [ x(t) ] = s X(s) – x(0) 4. Differentie Z {D x} = Z {x[n] - x[n-1]} = X(z) – z-1 X(z) – x[-1] Z {D x} = Analogie met laplacetransformatie ℒ [ x(t) ] = s X(s) – x(0) ↔ s Twee besluiten: x[-1] is de beginvoorwaarde
↔ ℒ [ ] = X(s) 5. Opteller : y[n] = y[n-1] + x[n] Z [y[n]] = Y(z) = Z [y[n-1] + x[n]] = z-1 Y(z) + y[-1] + X(z) uitgang is kausaal Analogie met laplacetransformatie 1 ℒ [ ] = X(s) s 1 ↔ Zelfde besluit : s
6. Convolutie in de tijd Z [ x[n] * y[n] ] = X(z) . Y(z) Convolutie in het tijddomein wordt in het z-domein een eenvoudig product !
Beginwaardetheorema In het s-domein geldt: Vermits z = esTS gaat z → ∞ als s → ∞ Gebruik makende van de analogie kunnen we schrijven: Logisch want X(z) = x[0] + x[1] z-1 + x[2] z-2 + x[3] z-3 + …
Eindwaardetheorema In het s-domein geldt : Vermits z = esTS gaat z → 1 als s → 0 Gebruik makende van de analogie kunnen we schrijven:
De Z.T. van enkele signalen De discrete diracimpuls d[n] Z {d[n]} = 1 Z {d(n-m)} = z-m De exponentiële getallenrij an Z {an} = 1 + a z-1 + a2 z-2 + … Als |az-1|< 1 dan convergeert deze meetkundige reeks tot Z {an} =
↔ s ℒ [u(t)] = Z {u[n]} = De eenheidsstap u[n] We kunnen de eenheidsstap beschouwen als u[n] = 1n Met de vorige formule en met a = 1 bekomen we Z {u[n]} = ℒ [u(t)] = Merk op: dezelfde analogie ↔ s
Z Z { n } = De eenheidshelling n [n+1] u[n] - n u[n] = u[n] 3 2 [n+1] u[n] - n u[n] = u[n] 1 n Z -1 0 1 2 3 [n+1] u[n] 3 z X(z) – X(z) = 2 1 n -1 0 1 2 3 Z { n } = u[n] 1 1 1 n -1 0 1 2 3
Kwadratische functie [n+1]2 – n2 = 2n + 1 Z z X(z) – X(z) = Z { n2 } =
De sinus Z {sin qn} = Z { } = = Z {sin qn} =
De cosinus Z {cos qn} = Z { } = = Z {cos qn} =
Z {u[n]} = Z { n } = Z { n an} = Z { n2 } = De eenheidsstap u[n] De eenheidshelling n Z { n } = Helling x exponentiële Z { n an} = Kwadratische functie Z { n2 } =
Z {sin qn} = Z {an sin qn} = Z {cos qn} = Z {an cos qn} = De sinus De gedempte sinus Z {an sin qn} = De cosinus Z {cos qn} = De gedempte cosinus Z {an cos qn} =
Responsie via het z-domein x[n] y[n] differentievergelijking Z Z -1 Z X(z) Y(z) algebraïsche vergelijking
We illustreren de werkwijze aan de hand van drie voorbeelden Eerste-orde systeem Tweede-orde systeem met reële polen Tweede-orde systeem algemeen Deze voorbeelden kunnen eenvoudig gesimuleerd worden met behulp van Excel
Eerste-orde: impulsresponsie y[n] – 3 y[n-1] = 6 d[n] met beginvoorwaarde : y[-1] = 4 Y(z) – 3 { z -1 Y(z) + y[-1] } = X(z) Y(z) {1 – 3 z-1 } – 12 = 6 y[n] = 18 x 3n y[0] = 18 x 30 = 18 = 6 + 3 x 4 y[1] = 18 x 31 = 54 = 0 + 3 x 18 y[2] = 18 x 32 = 162 = 0 + 3 x 54
Eerste-orde: stapresponsie y[n] – 3 y[n-1] = 6 u[n] met beginvoorwaarde : y[-1] = 4 Y(z) [1 – 3 z-1 ] – 12 = Deze uitdrukking vinden we niet rechtstreeks in de tabel
Procedure Z -1 via de tabel eerst delen we Y(z) door z dan splitsen we in partieelbreuken de bekomen uitdrukking “bewerken” we tot herkenbare functies uit de tabel
Toegepast op het voorbeeld y[n] = -3 u[n] + 21 x 3n y[0] = -3 + 21 x 30 = 18 = 6 + 3 x 4 y[1] = -3 + 21 x 31 = 60 = 6 + 3 x 18 y[2] = -3 + 21 x 32 = 186 = 6 + 3 x 60
Tweede-orde: impulsresponsie y[n] – 5 y[n-1] + 6 y[n-2] = x[n] = 2 d[n] beginvoorwaarden: y[-1] = 6 en y[-2] = 4 y[n] = x[n] - 6 y[n-2] + 5 y[n-1] n x[n] y[n-2] y[n-1] y[n] 2 4 6 8 1 -28 3 -164 -652 y[n] = ?
Berekening van Y(z) y[n] – 5 y[n-1] + 6 y[n-2] = x[n] = 2 d[n] y[-1] = 6 en y[-2] = 4 Y(z) – 5 {z-1 Y(z) + y[-1]} + 6 {z-2Y(z) + z-1y[-1] + y[-2]} = X(z) Y(z) {1 – 5 z-1 + 6 z-2 } – 30 + z-1 36 + 24 = 2
Berekening van y(t) y[n] = -12 x 3n + 20 x 2n y[0] = -12 x 30 + 20 x 20 = -12 + 20 = 8 y[1] = -12 x 31 + 20 x 21 = -36 + 40 = 4 y[2] = -12 x 32 + 20 x 22 = -108 + 80 = -28 y[3] = -12 x 33 + 20 x 23 = -324 + 160 = -164
Tweede-orde: stapresponsie y[n] – 5 y[n-1] + 6 y[n-2] = x[n] = 2 u[n] beginvoorwaarden : y[-1] = 6 en y[-2] = 4 y[n] = x[n] - 6 y[n-2] + 5 y[n-1] n x[n] y[n-2] y[n-1] y[n] 2 4 6 8 1 -16 3 -114 -472 y[n] = ?
Berekening van Y(z) Y(z) {1 – 5 z-1 + 6 z-2 } – 30 + z-1 36 + 24 = 2
Berekening van y(t) y[n] = -9 x 3n + 16 x 2n + u[n] y[0] = -9 x 30 + 16 x 20 + 1 = -9 + 16 + 1 = 8 y[1] = -9 x 31 + 16 x 21 + 1 = -27 + 32 + 1 = 6 y[2] = -9 x 32 + 16 x 22 + 1 = -81 + 64 + 1 = -16 y[3] = -9 x 33 + 16 x 23 + 1 = -243 + 128 + 1 = -114
Tweede-orde algemeen y[n] + b y[n-1] + c y[n-2] = x[n] beginvoorwaarden: y[-1] = 0 en y[-2] = 0 Er zijn 3 mogelijkheden : Complexe polen b2 < 4c Reële polen b2 > 4c Samenvallende polen b2 = 4c
Complexe polen z2 + b z + c = z2 – 2 cosq a z + a2 In dit geval behouden we de kwadratische vorm: z2 + b z + c = z2 – 2 cosq a z + a2 Hieruit volgt:
Impulsresponsie y[n] – 1,7 y[n-1] + 0,81 y[n-2] = d[n] Cijfervoorbeeld :
Plot impulsresponsie b=-1,7 c=0,81
Stapresponsie met zelfde cijfervoorbeeld : C = 9,09 A = -8,08 D = 1,64
Plot stapresponsie b=-1,7 c=0,81
Reële polen z2 + b z + c = (z - p1) (z - p2) In dit geval ontbinden we de kwadratische vorm in factoren: z2 + b z + c = (z - p1) (z - p2) (p1)n+1 - (p2)n+1 De impulsresponsie wordt dan: y[n] = p1 - p2 De stapresponsie: y[n] = A (p1)n + B (p2)n + C u[n]
Plot impulsresponsie b=-1 c=0,09 p1 = 0,9 p2 = 0,1
Plot stapresponsie b=-1 c=0,09 p1 = 0,9 p2 = 0,1
Probleem: p1 of p2 is gelijk aan 1 z2 + b z + c = (z - p) (z - 1) De stapresponsie moet dan worden berekend uit: De stapresponsie : y[n] = A pn + B n + C u[n]
Plot stapresponsie b=-1,9 c=0,9 p1 =1 p2 = 0,9
Samenvallende polen z2 + b z + c = (z - p)2 met p = -b/2 In dit geval geldt: z2 + b z + c = (z - p)2 met p = -b/2 De impulsresponsie wordt dan: y[n] = pn + n pn De stapresponsie : y[n] = A pn + (B/p) n pn + C u[n]
Plot impulsresponsie b=-1,6 c=0,64 p1 = p2 = 0,8
Plot stapresponsie b=-1,6 c=0,64 p1 = p2 = 0,8
Zelfde probleem als p = 1 y[n] - 2 y[n-1] + y[n-2] = x[n] In dit geval geldt: z2 + b z + c = (z - 1)2 De stapresponsie moet nu worden berekend uit :
Berekening van y(t) omdat we in de tabellen terugvinden Uit A(z-1)2 + B(z-1) + C(z+1) = z2 volgt y[n] = u[n] + 1,5 n + 0,5 n2
Plot stapresponsie b=-2 c=1 p1 = p2 = 1
Besluit Een tijddiscreet systeem wordt beschreven door de transferfunctie H(z) in het z-domein Deze transferfunctie heeft polen en nulpunten De polen en nulpunten bepalen de transiëntresponsie van het systeem