Bemonstering en reconstructie Het bemonsteringstheorema

t n w q s z kw1 kq1 tijdcontinu tijddiscreet tijddomein bemonstering t n tijddomein F.R. reconstructie FFT discreet frequentie-domein kw1 kq1 T→ ∞ N → ∞ F.T. continu frequentie-domein w q x et z = e jq L.T. Z.T. complex frequentie-domein esTS = z s z

Afbeelding van s- naar z-domein z = esTS j y jw j s1 z1 X jw1 s1TS X e w1TS s -1 1 x s1 -j

Enkele speciale punten z = esTS j y jw j jw1TS X e 1 X jw1 w1TS s -1 1 x X X X X X X s1TS s1 e -j

Stabiliteit j y jw j s -1 1 x -j s < 0 |z| < 1

Primaire en secundaire stroken jw j3wS/2 j y secundaire strook s2 j j(w1+wS) X jwS z1= z2= z3 wS X jwS/2 w1TS s1 -1 1 x primaire strook X jw1 s s1 -jwS/2 s3 j(w1-wS) secundaire strook X -jwS -j -j3wS/2 → → (w1+ wS)TS = w1TS + 2p

Spectrum van een tijdcontinu signaal ℒ ℱ x(t) = sin w1t jw |X(jw)| jw1 X w t s -jw1 X -w1 w1

Spektrum na bemonstering ? ℱ x[n] = sin w1TS n |X(jw)| ? w n

Omweg via z-domein ℒ Z jw jy x[n] = sin w1TS n j(w1+wS) X j jwS -1 1 x X s -jw1 -w1TS X X j(w1-wS) X -jwS -j j(-w1-wS) X

De sinus Z {sin qn} = Z { } = = Z {sin qn} =

Spectrum van een bemonsterd signaal jw ℒ ℱ x[n] = sin w1TS n j(w1+wS) |X(jw)| X jwS X j(-w1+wS) jw1 X w n s X -jw1 -wS -w1 w1 wS j(w1-wS) X -jwS repetitief spectrum X j(-w1-wS)

Hoe groot moet de bemonsteringsfrequentie zijn ? Hoeveel samples per periode moeten er worden genomen ?

20 samples per periode ?

10 samples per periode ?

3 samples per periode ?

Bemonsteringstheorema |X(jw)| w -wMAX wMAX Dit is het spectrum van een te bemonsteren signaal. De maximale frequentie in dit signaal is fMAX = wMAX/2p Hoe ziet het spectrum eruit van het bemonsterde signaal ?

wS > 2wMAX |X(jw)| w -wS -wMAX wMAX wS wS = 2wMAX |X(jw)| w -3wS -2wS -wS -wMAX wMAX wS 2wS 3wS wS < 2wMAX |X(jw)| w -4wS -3wS -2wS -wS wS 2wS 3wS 4wS

Besluit: geen overlapping als fS ≥ 2 fMAX met fMAX = 1/T en fS = 1/TS kunnen we dit ook schrijven als TS ≤ T/2 in de limiet (TS = T/2) zijn 2 samples per periode voldoende !!!

Frequentie-aliassen bemonstering |X(j2pf)| |X(j2pf)| f f -1 1 -5 -1 1 -6 6 -5 -1 1 5 |X(j2pf)| |X(j2pf)| f f -4 4 -5 -1 1 5

we bekomen 2 identieke spectra 4Hz en 6Hz zijn alias-frequenties van 1Hz algemeen : fALIAS = k fS ± f1 niet alleen de spectra zijn aan elkaar gelijk, maar ook de samples → na bemonstering is niet meer uit te maken van welke frequentie de samples afkomstig zijn !

1Hz 6Hz fS = 5Hz 4Hz

Intuitieve afleiding van aliasfrekwenties stroboscoop motor snelheidskontrole flitsfrequentie → bepaalt het toerental = frequentie → bepaalt de samplefrequentie

Negatieve frequentie (toerental) bemonstering |X(j2pf)| |X(j2pf)| f f 1 -5 1 5 |X(j2pf)| |X(j2pf)| f f 6 -5 1 5 |X(j2pf)| |X(j2pf)| f f 4 -5 -1 5

6Hz positief = 4Hz negatief bemonstering |X(j2pf)| |X(j2pf)| f f 1 -5 1 5 |X(j2pf)| |X(j2pf)| f f 6 -5 -1 1 5 |X(j2pf)| |X(j2pf)| f f -4 -5 1 5

Even spelen met Micro-Cap File Alias.cir beeldfrequentie van mijn laptop: 64Hz Micro-Cap vernieuwt het beeld om de millisekonde (1kHz)

Stoorsignaal |X(j2pf)| stoorsignaal analoog signaal f -fS -15 -8 8 15 fS = 20 [Hz] bemonstering |X(j2pf)| f -35 -25 -fS -15 -8 -5 5 8 15 fS 25 35 2fS [Hz] Het stoorsignaal van 15Hz verschijnt in de basisband als een signaal van 5Hz !

fS = 20 Hz 15 Hz 5 Hz

Verklaring: zelfde samples!

Enige oplossing: filteren vóór bemonstering Anti-aliasfilter Dit anti-aliasfilter is een laagdoorlaatfilter met een afsnijfrekwentie die iets kleiner is dan de halve bemonsteringsfrequentie.

Reconstructie in het frequentiedomein: reconstructiefilter in het tijddomein: houdschakeling practisch: een combinatie van beide

Reconstructiefilter f 20 fS 2fS 3fS 4fS [kHz] 1 f f 20 fS 2fS 3fS 4fS |X(j2pf)| van het bemonsterd signaal f 20 fS 2fS 3fS 4fS [kHz] |X(j2pf)| van de reconstructiefilter 1 f na filtering |X(j2pf)| van het gereconstrueerd signaal f 20 fS 2fS 3fS 4fS [kHz]

Eenvoudiger als fS groter is |X(j2pf)| van het bemonsterd signaal f 20 fS 2fS [kHz] |X(j2pf)| van de reconstructiefilter 1 f na filtering |X(j2pf)| van het gereconstrueerd signaal f 20 fS 2fS [kHz]

… of nog groter (oversampling) |X(j2pf)| van het bemonsterd signaal f 20 fS [kHz] |X(j2pf)| van de reconstructiefilter 1 f na filtering |X(j2pf)| van het gereconstrueerd signaal f 20 fS [kHz]

Reconstructie in het tijddomein x(t) x(t) x(t) t t t 0 TS 2TS 3TS 4TS 0 TS 2TS 3TS 4TS 0 TS 2TS 3TS 4TS Ideaal (theoretisch): diracimpulsen Benadering: smalle rechthoekpulsen Practisch: rechthoekpulsen met breedte TS

Praktische schakeling LATCH x[n] x(t) DAC fS ‘nulde orde houd’-methode (zero order hold of ZOH) Welke is de invloed van deze methode op het frequentiespectrum ?

Fouriergetransformeerde van de impulsresponsie van de ZOH h(t) h(t) = u(t) – u(t-TS) 1 t TS j (f) = - 180 f / fS (in graden)

Spectrum na ZOH |X(j2pf)| van het bemonsterd signaal f 20 fS 2fS 3fS [kHz] |X(j2pf)| van de ZOH 1 f 20 fS 2fS 3fS 4fS [kHz] na rekonstruktie |X(j2pf)| van het gereconstrueerd signaal f 20 fS 2fS 3fS 4fS [kHz]

Voor- en nadelen van ZOH Voordelen eenvoudig te realiseren verzwakking van de kopies rond nfS Nadelen kleine sinx/x verzwakking toenemende fazenaijling voor de hogere frequenties in de basisband

Voorbeeld: fS = 10 Hz |X(j2pf)| van het bemonsterd signaal f 2 10 20 30 40 [Hz] |X(j2pf)| van het gereconstrueerd signaal 1 f 20 fS 2fS 3fS 4fS [Hz]

Besluit bemonsteringsfrequentie fS ≥ 2 fMAX alias-frequenties fALIAS = k fS ± f1 vóór bemonstering de frequenties groter dan fS/2 eerst wegfilteren (anti-alias filter), zoniet ‘terugplooiing’ in de primaire strook (folding back) reconstructie met ZOH (mits kleine amplitude- en fasecorrectie)