Systeemanalyse in 8 domeinen Dr. ir. Mark Van Paemel

Vragen Wat is een impulsresponsie? Hoe berekent men de frequentieresponsie? Wat is een transferfunctie? Wat is een frequentiespectrum? Wat is Laplace- en z-transformatie? Wat is de Fast Fourier Transform? Hoe moet een signaal worden bemonsterd? … 2

Systeemanalyse gaat over systemen signalen

Wat is een systeem? een verzameling van systeem-componenten, die een bepaalde samenhang vertonen voorbeelden: elektrisch, elektronisch, mechanisch, hydraulisch, pneumatisch, optisch, thermisch, chemisch, biologisch, ekonomisch, sociaal, financieel, politiek en ekologisch

Mathematisch model De samenhang tussen de systeem-componenten kan worden uitgedrukt door exakte wiskundige relaties Er zijn 2 soorten modellen: Fysische modellen (gebaseerd op wetten uit de fysika) Empirische modellen (gebaseerd op waarnemingen)

Wat is een signaal? een signaal geeft de toestand weer van een systeem voorbeelden: spanning, stroom, lading, verplaatsing, snelheid, versnelling, kracht, druk, debiet, hoogte, temperatuur, concentratie, geld, grondstoffen, populatie

Classificatie van signalen Tijd: kan continu of discreet zijn Amplitude: kan continu of discreet zijn

TIJD continu continu → ANALOOG AMPLITUDE discreet → DIGITAAL discreet x[n] x(t) t n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 discreet → DIGITAAL xD(t) xD[n] t n 1 2 3 4 5 6 7 8 9

De 8 domeinen Een tijdcontinu en een tijddiscreet signaal kan worden voorgesteld in Het tijddomein Het discreet frequentiedomein Het continu frequentiedomein Het complex frequentiedomein

t n w q s z kw1 kq1 tijdcontinu tijddiscreet tijddomein bemonstering t n tijddomein F.R. reconstructie FFT discreet frequentie-domein kw1 kq1 T→∞ N →∞ F.T. continu frequentie-domein w q x et z = ejq L.T. Z.T. complex frequentie-domein s esTs = z z

Tijdcontinue Signalen reële signalen: sinus, driehoek, blokgolf niet-reële, maar wiskundig interessante signalen: sinor, eenheidsstap, diracimpuls

Reële Signalen Periodische signalen die worden gegenereerd door een functiegenerator Zeer nuttig als testsignalen

Sinus: x(t) = A sin wt A = amplitude w = 2p f f = frequentie T = periode A T = 1/ f

Driehoeksgolf

Pulstrein

Niet-reële signalen Het zijn imaginaire signalen → we moeten onze verbeelding gebruiken! Ook mathematisch imaginair: j = √-1

Sinor: x(t) = A e jwt A e jwt = a + jb e jj = cos j + j sin j Uit de wiskunde(formule van Euler): e jj = cos j + j sin j Dus a = A cos wt en b = A sin wt t

Reëel signaal = som van 2 sinoren ejwt w We introduceren het concept van een negatieve frequentie 2 cos wt -w e-jwt Een negatieve frequentie is de hoeksnelheid van een sinor die draait in uurwerkwijzerzin

Toevoegen van een dempingfactor est x(t) = A est ejwt = A e (s+jw) t = A e s t s = s + j w We noemen s de complexe frequentie

Sinor met dempingfactor jw s s < 0 jw s jw s = 0

Eenheidstalud x(t) t x(t) = 0 if t < 0 x(t) = t if t ≥ 0

Eenheidsstap u(t) = 0 als t < 0 u(t) = 1 als t ≥ 0 reëel niet reëel, maar wiskundig zeer practisch u(t) 1 u(t) = 0 als t < 0 u(t) = 1 als t ≥ 0 t

Diracimpuls of delta functie f(t) f(t) u(t) 1 1 1 t t t -e e -e e f’(t) d(t) f’(t) 1/2e opp = 1 1/2e 1 t t t -e e -e e

Eigenschappen van de delta functie d(t) = 0 als t ≠ 0 d(t) = ∞ als t = 0 (het oppervlak is gelijk aan 1)

Iets over dimensies v(t) = 5 d(t - to) d(t-t0) = 0 als t ≠ t0 5 Vs t to [s] Als v(t) een spanning voorstelt met de dimensie van volt, dan heeft het getal 5 de dimensie van volt x sekonde

Voorstellingswijze v(t) t t1 t2 t3 8 Vs 5 Vs 3 Vs t t1 t2 t3 [s] De lengte van de pijl is een maat voor het oppervlak van de diracimpuls

Fysische betekenis van de Diracimpuls i(t) = ? + t = 0 V C vOUT(t) _ Als de schakelaar sluit op t = 0, wat is dan het verloop van de stroom i(t) ?

Berekening vOUT(t) = V u(t) i(t) = C V d(t) = Q d(t) [ampère] [ampère x sekonde] = [coulomb] Een lading Q wordt ogenblikkelijk getransferreerd naar de condensator C

Bemonsteren m.b.v. Diracimpuls x(t) x(to) t to

De rechthoekpuls PD(t) = u(t) – u(t – D) PD(t) 1 t D u(t) 1 t D u(t) 1 t -u(t – D) t -1

Discrete signalen Het signaal x(t) is bemonsterd met een vast tijdsinterval TS x(t) x(3TS) x[n] x[3] x(TS) x[1] x(4TS) x[4] x(2TS) x[2] x(0) x[0] t n 0 TS 2TS 3TS 4TS 0 1 2 3 4 n is de dimensieloze variable van het discrete tijddomein

Discrete Diracimpuls d[n] = 0 als n ≠ 0 d[n] = 1 als n = 0 Amplitude is gelijk aan een, en niet oneindig zoals bij de tijdcontinue diracimpuls d(t) n -2 -1 0 1 2 d[n-n0] 1 d[n-n0] = 0 als n ≠ n0 d[n-n0] = 1 als n = n0 n 0 n0

Discrete eenheidsstap u[n] 1 1 1 n -2 -1 0 1 2 u[n] = 0 als n < 0 u[n] = 1 als n ≥ 0

Discrete eenheidstalud x[n] 3 2 1 n -1 0 1 2 3 x[n] = 0 als n < 0 x[n] = n als n ≥ 0

Discrete exponentiële functie an a = 0,5 1 0,5 0,25 n 1 2 3 4 5

Discrete sinus x[n] = A sin q n De discrete sinus is periodisch alleen als sin q(n+N) = sin qn A 9 12 n 3 6 15 18 Dit is alleen geldig als q = 2p / N x[n] = A sin q n q = p/6 A met N een geheel getal 9 n 3 6 12 15 18 N = 12