Elektromagnetisme  Licht Elektrostatica Magnetostatica Elektromagnetisme  Licht

Inhoud Magnetostatica Magnetostatica (5 colleges) I. Lorentz kracht en magnetisch veld (Biot-Savart) II. Wet van Ampere III. Veldvergelijkingen nader bekeken: IV. Magnetische velden in materie: magnetisatie V. Toepassingen: Hall effect, Toroide met spleet. Griffiths: Lorentz Foce Law: §5.1 t/m §5.2 (Niet stroomdichtheden K, J)

Fmagnetisch >> Fgravitatie Magneet: experiment noord/zuid N Z F geen monopolen! N Z N Z nieuwe kracht: Fmagnetisch >> Fgravitatie noord: “N” & zuid: “Z” NN & ZZ: afstotend NZ & ZN: aantrekkend N Z N Z geen monopolen! dipolen: “kleinste” Anders dan elektrostatica: 1. beweging lading q in B-veld 2. B-veld als gevolg van stroom I Eenheden: - Stroom [I]: Ampère A=C/s - Magneetveld [B]: Tesla T=N/Am=Ns/Cm=kg/Cs

Constant B-veld  Lorentzkracht  bewegingsvergelijking voor q De Lorentzkracht Voorbeelden Het Hall effect Kracht op stroomdraad Moment op stroomlus

Lorentzkracht  Fv  Fsin B q F v F  v q>0 y Experiment F  veld B F  lading q F  snelheid v F  sinus ( v , B ) F  v en F  B http://lectureonline.cl.msu.edu/~mmp/kap21/cd533capp.htm http://www.phy.ntnu.edu.tw/java/emField/emField.html

Ontdekking elektron (1897 J.J. Thomson) a L v0 v X Y t=0 t=a/v0 t=(a+L)/v0 B E E F=ma =mdv/dt Combinatie levert e/m voor het elektron!

V.b. kracht op een stroomdraad I B z y x L Situatie: uniform B-veld draadstuk L stroom I Gevraagd: kracht F op draadstuk

V.b. draaimoment stroomlus  z y x B Situatie: uniform B-veld draadlus LL stroom I Gevraagd: moment  op draadlus FL FR  Galvano (stroom) meter

De elektrische stroom I Het verband tussen stroom I en veld B I=constant gegeven  B-veld Wet van Biot-Savart De elektrische stroom I Het verband tussen stroom I en veld B Voorbeelden

V.b. kracht tussen stroomdraden Experiment A Experiment B I Observatie: afstoting Uitleg: elektrisch? F I Observatie: aantrekking! Uitleg: niet elektrisch! Magnetisch? Ja! F

Wet van Biot-Savart: experiment Elektrische stroom  magnetisch veld! I P dl permeabiliteit: Samenhang: elektrostatica: ladingen magnetostatica: stromen 1/00=c2 [m2/s2] permittiviteit:

V.b. B-veld  lange draad  I  z BP P r Berekening B-veld: z O z x y Berekening B-veld: Nadenken: Cilindersymmetrie: (rz) z r P  BP B in azimuthale () richting Rekenen:  http://home.a-city.de/walter.fendt/phe/mfwire.htm

V.b. kracht tussen stroomdraden z x y I2 Situatie: stroomdraden met I1 en I2 afstand R12, draadlengten L>>R12 Gevraagd: kracht op draad 2 Slim/snel antwoord: B-veld draad 1 op draad 2: B1=0I1/2R12 kracht op draad 2 door B1 F2= B1I2L=0I1I2L/2R12 B1 I1 R12 F2 F1 B2

V.b. B-veld 1 stroomkring B  I R  z P I x z y Bz =Bcos d Rd B // as stroomkring Bz =Bcos  B 90o 90o-  I Berekening B-veld: Nadenken: Cilindersymmetrie z d Rd Rekenen: Rd = dl cos

I Wat heb ik geleerd? N Z I I B B Magneet N of Z Kracht, B-veld Lorentzkracht I B stroomdraad stroomkring I B z-as

Inhoud Magnetostatica Magnetostatica (5 colleges) I. Lorentz kracht en magnetisch veld (Biot-Savart) II. Wet van Ampere III. Veldvergelijkingen nader bekeken: IV. Magnetische velden in materie: magnetisatie V. Toepassingen: Hall effect, Toroide met spleet. Griffiths: Currents: §5.1.3 (stroomdichtheden K, J) Divergence of B: §5.3.1, §5.3.3

Stroomelementen: I,K en J IC/sA (Ampère) Lijn: Oppervlak: KA/m Volume: JA/m2

De wet van Ampère Voorbeelden

Wet van Ampère I +Q E B r B-veld: wet van Ampère z y x stroomdraad Vergelijk E-veld: wet van Gauss puntlading E +Q I B stroomdraad z y x r

V.b. Ampère dunne draad (flauw) I Dunne draad: stroom: I [AC/s] symmetrie: B //  “Ampère lus”: cirkeltje z  r r B

V.b. Ampère dikke draad I R r B r R B z  r Dikke draad, =2R stroomdichtheid: J=I/R2 [A/m2=C/sm2] symmetrie: B //  “Ampère lus”: cirkeltjes z  r r B R

We beschouwen een holle metalen buis met straal R We beschouwen een holle metalen buis met straal R. In de wand loopt een stroom. Welke figuur geeft het magnetisch veld als functie van de afstand tot de as van de buis? R B r A C D

V.b. Ampère vlakke plaat x B K B a Vlakke plaat: stroomdichtheid: K [A/m=C/sm] symmetrie: B // vlak, B  K “Ampère lus”: rechthoekje z x a x B X=0

Overzicht toepassingen wet van Ampère Essentie: Symmetrie! Draad I B Plaat K B Toroïde I Solenoïde Komen nog!

Wat heb ik geleerd? Volume: JA/m2

Inhoud Magnetostatica Magnetostatica (5 colleges) I. Lorentz kracht en magnetisch veld (Biot-Savart) II. Wet van Ampere III. Veldvergelijkingen nader bekeken: IV. Magnetische velden in materie: magnetisatie V. Toepassingen: Hall effect, Toroide met spleet. Griffiths: Vektor: §1.2.5 en §1.3.5 Divergence of B: §5.3.2 tot vergelijking 5.48 doorlezen Comparison E, B: §5.3.4

Stelling van Stokes (wiskunde) De rotatie De stelling van Stokes Voorbeeld

Beschouw lokaal de uitdrukking: Rotatie: XY dx dy E(x+dx,y,z) E(x,y,z) x y Beschouw lokaal de uitdrukking: “rotatie”: Dus:

Stelling van Stokes (wiskunde) Er volgt meer! dx dy A(x+dx,y,z) A(x,y,z) do Opmerking: consistentie keuze oriëntaties vereist! Willekeurige kromme: rand i globaal lokaal n n+1 n+2

V.b. rotatie en Stokes expliciet voorbeeld: y A(x,y,z) x z y rekenen: Stokes: x y z A(x,y,z)

Veldvergelijkingen voor B De rotatie van B De divergentie van B Voorbeeld: solenoïde

B=0J via: stelling van Stokes & wet van Ampere Wet van Ampère Stelling van Stokes: Dus: Wiskunde: Stokes Natuurkunde: Ampère

B=0J als: voorbeeld bij een dikke stroomdraad z y x I B

B=0 als: voorbeeld bij een dikke stroomdraad z y x Antwoord: Omdat B-veld voor dunne stroomdraad in r=0 singulier is! Vraag: Waarom dikke stroomdraad? Maar: ook in r=0 geldt .B=0

B=0 via: stelling van Gauss & magnetische flux B Gebruik nu: stelling van Gauss:

I Figuur I is mogelijk patroon van magnetische veldlijnen II Figuur II is mogelijk patroon van elektrische veldlijnen A I en II zijn juist B alleen I is juist C alleen II is juist D I en II zijn onjuist I II

B-veld solenoïde l 3. I R 1. 2. L r= r=r Solenoïde - diameter: 2R - lengte: L>>R - stroom: I - windingen/m: N R L I z x y 1. 2.

Detector voor deeltjesfysica

Moderne spoordetectie

Wat heb ik geleerd? Rotatie Wiskunde: Stokes Natuurkunde: Ampère

Inhoud Magnetostatica Magnetostatica (5 colleges) I. Lorentz kracht en magnetisch veld (Biot-Savart) II. Wet van Ampere III. Veldvergelijkingen nader bekeken: IV. Magnetische velden in materie: magnetisatie V. Toepassingen: Hall effect, Toroide met spleet. Griffiths: Magnetization: §6.1 Bound currents: §6.2.2, §6.2.3 Auxiliary Field H: §6.3 Linear and NonLinear Media: § 6.4

Magnetisatie microscopisch bekeken Magnetisatie en “gebonden” stroom Het veld “H” Lineaire materialen Voorbeelden

Elektron tolt=spint om zijn as! Dit leer je later! e- m Elektron: - lading qe=-1.610-19 C - spint om zijn as  magnetisch dipoolmoment: Voor B=0: oriëntatie m willekeurig Voor B0: oriëntatie m // B B

Elektron draait rond kern (I) m e- kern R ve Elektron: - lading qe = -1.610-19 C - draait rond kern; R  10-10 m - snelheid ve  107 m/s  magnetisch dipoolmoment: Voor B=0: oriëntatie m random Voor B0: oriëntatie m // B B

Elektron draait rond kern (II) m e- Maar, er gebeurt meer! B=0: FC houdt elektron in baan FC ve B0: FC+FL houdt elektron in baan B FL B FL FC m e- ve Elektron snelheid neemt af  magnetisch moment kleiner (kwalitatieve redenering; berekening zeer lastig) Elektron snelheid neemt toe  magnetisch moment groter m t.g.v. ve > m t.g.v. mxB

Dia- & para-magnetisme Elektron baan beweging: Elektron spin beweging: Wie wint: baan of spin? Afhankelijk van # elektronen! e- mspin Waterstof Para-magnetisch:  # elektronen oneven  spin component wint  m // +B mbaan Dia-magnetisch:  # elektronen even  baan component wint   m // -B Helium mspin e- mbaan

Dia- & para-magnetisme Hoef je niet numeriek te weten; slechts als illustratie dat er twee soorten magnetisme bestaan

Macroscopisch: magnetisatie Karakteristieken in B-veld: Bextern Brok materie (para-magnetisch) - deze stroom genereert B-veld: tegengesteld externe B-veld Bmagnetisatie - magnetiseert d.w.z. atomaire dipooltjes m m - magnetisatie op te vatten als: oppervlakte stroom K Originele B-veld verandert!

MicroscopischMacroscopisch (analoog elektrische polarisatie) dipoolmoment/volume  Magnetisatie M M [M] = Ampère/meter m [m] = Ampèremeter2 Zometeen komt er wel een eenvoudige “Eenvoudige” lineaire relatie tussen: magnetisatie M en resulterend veld B

(I) Magnetisatie M “gebonden” stroom Dipoolmoment/“plakje”: Iplak M d M n Kmag=Mxn M n Imag=0 d

Magnetisatie: “gebonden” stroom x z y Een gemagnetiseerde cilinder van lineair materiaal

Het B-veld van een gemagnetiseerd materiaal (lange spoel) Een gemagnetiseerde cilinder van lineair materiaal

Het veld H  0 Kmag (Jmag) Ivrij R Para Veld H=B/0 - M (sorry …) dia B-veld wordt bepaald door totale stroomverdeling. Gebruik daarom i.p.v. magnetisatie equivalente oppervlakte Kmag en volume Jmag dichtheden!  0 Voor B-veld (via rotatie): Kmag (Jmag) Ivrij R Veld H=B/0 - M (sorry …) Para dia Voor H-veld: H=I/2r B=0H B0H

Lineaire materialen Lineaire relatie tussen M en H: para m M Opmerking: in analogie met elektrostatica zou je lineaire relatie tussen M en B i.p.v. tussen M en H verwachten. In elektrostatica controleer je als experimentator V en daarmee E. Vandaar dat je D bijna nooit tegenkomt! In magnetostatica controleer je als experimentator I en daarmee H. Vandaar dat je B bijna nooit tegenkomt! Lineaire relatie tussen M en H: para m M Nu volgt overal B uit H: J=I/R2 I R H=I/2r H=Ir/2R2

Para- en diamagnetische materialen PARA-MAGNETISCH m > 0 Element Z m ------------------------- Helium 2 ? Zuurstof 8 +2x10-6 Neon 10 ? Aluminium 13 +21x10-6 Argon 18 ? DIA-MAGNETISCH m < 0 Element Z m ------------------------- Waterstof 1 0 Koper 29 -10x10-6 Zilver 47 -25x10-6 Goud 79 -30x10-6 Terminologie:

In de (oneindig doorlopende) rechterplaat loopt een oppervlaktestroom in de aangegeven richting. De (oneindig doorlopende) linkerplaat is van paramagnetisch materiaal. In punt P geldt voor het magnetisch veld: A dat is groter dan in Q B dat is kleiner dan in Q C dat is even groot als in Q D dat is gelijk aan nul Q P

Ferromagnetisme Principe & hysterese

Permanente magneet? Ferro-magnetisme Para-magnetisme dia-magnetisme I Voor ferro-magneet: spontane alignering atomaire dipool momenten! Ferro-magnetisme (temperatuur afhankelijk!) Para-magnetisme dia-magnetisme T<TCurie: orde T>TCurie: chaos “Weiss” gebiedjes Hysterese: 0H0NI 0MB-0HB 10-3 T 1 T maximaal gealigneerd ijzer I I N Z

Spontane alignering

Spoel met ijzeren kern

Curie punt Nikkel

Hysterese

VI Wat heb ik geleerd? Materialen Magnetisatie Mogelijkheden: m Dia-magnetisme M // -H Para-magnetisme M // +H Ferro-magnetisme M permanent (hysterese) Nu volgt overal B uit H:

Inhoud Magnetostatica Magnetostatica (5 colleges) I. Lorentz kracht en magnetisch veld (Biot-Savart) II. Wet van Ampere III. Veldvergelijkingen nader bekeken: IV. Magnetische velden in materie: magnetisatie V. V. Toepassingen: Hall effect, Toroide met spleet.

Hall effect (ter voorbereiding practikum) VHall d a - pool + pool + B v+ - B v-  afbuiging q=+/-  E-veld: EHall Voor q=+/-: - dichtheid: N - lading: q - snelheid: v  I=Nqadv [C/s]

Waarom beweegt stroomdraad? Niet FLorentz: elektronen zwemmen vrijelijk door draad! I I B e- FL Hall effect: Elektronen naar onderkant draad!  E-veld: E-veld trekt rooster ionen (+) en daarmee de draad naar beneden! I FE E

met materiaal:  0( 1+m) & spleet s V.b.: Toroïde met spleet I * stroom I * N windingen * straal R zonder materiaal: B met materiaal:  0( 1+m) & spleet s s H Hs 

Inhoud Magnetostatica Magnetostatica (5 colleges) I. Lorentz kracht en magnetisch veld (Biot-Savart) II. Wet van Ampere III. Veldvergelijkingen nader bekeken: IV. Magnetische velden in materie: magnetisatie V. V. Toepassingen: Hall effect, Toroide met spleet. Einde

Electro- & magnetostatica in vacuüm Electrostatica: Coulomb P r’ r-r’ r (r’) Gevraagd: E(r) O x y z Magnetostatica: Biot-Savart P r’ r-r’ r J(r’) Gevraagd: B(r) O x y z

Electro- & magnetostatica in vacuüm Electrostatica: Coulomb Magnetostatica: Biot-Savart    

Electro- & magnetostatica met materie Polarisatie: P Magnetisatie: M

Inhoud Elektrostatica Magnetostatica Elektromagnetisme I. Elektrische kracht, - veld en - potentiaal II. Veldvergelijkingen nader bekeken: III. Elektrische velden in materie: polarisatie Magnetostatica IV. Lorentz kracht en magnetisch veld V. Veldvergelijkingen nader bekeken: VI. Magnetische velden in materie: magnetisatie Elektromagnetisme VII. Parallel Elektrostatica & Magnetostatica VIII. Inductie IX. Maxwell vergelijkingen X. Elektromagnetische golven

Grafisch: rotatie en divergentie Elektrisch veld Q Magnetisch veld I E: rotatie vrij B: divergentie vrij

De velden B & H De velden E & D Grensvlakken De velden B & H De velden E & D

B- and H-fields at interface Given: B1 ; 1 ; 2 Question: Calculate B2 B1 B2 1 2 1 2 Needed: “Interface-crossing relations”: Relation H and B: B = 0 r H Gauss box : B1.Acos 1 - B2.Acos 2 =0  B1 = B2 Circuit: : no I : H1.Lsin 1 - H2.Lsin 2 =0  H1// = H2//

E-field at interface E1 E2 Given: E1 ; 1 ; 2  1 1 2 1 2 Question: Calculate E2 Needed: “Interface-crossing relations”: Relation D and E: D = 0 r E Gauss box (empty!): D1.Acos 1 - D2.Acos 2 =0  D1 = D2 Circuit: E1.Lsin 1 - E2.Lsin 2 =0  E1// = E2//

Electret and Magnet - - - E D Electret P +++ E = (D-P)/0 D = 0 E + P Magnet M H = B / 0 -M B = 0 H + M H B

De rotatie van E Voorbeeld: uniform geladen bol Voorbeeld: puntlading

E=0 via stelling van Stokes

Q r P Puntlading:

Q r P Uniform geladen bol: