De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

Kansdefinitie van Laplace P(gebeurtenis) = je mag deze regel alleen gebruiken als alle uitkomsten even waarschijnlijk zijn bij een verkeerslicht zijn de.

Verwante presentaties


Presentatie over: "Kansdefinitie van Laplace P(gebeurtenis) = je mag deze regel alleen gebruiken als alle uitkomsten even waarschijnlijk zijn bij een verkeerslicht zijn de."— Transcript van de presentatie:

1 Kansdefinitie van Laplace P(gebeurtenis) = je mag deze regel alleen gebruiken als alle uitkomsten even waarschijnlijk zijn bij een verkeerslicht zijn de uitkomsten rood, oranje en groen niet even waarschijnlijk, want het verkeerslicht staat langer op rood dan op oranje dus P(oranje) is niet gelijk aan ⅓ bij het gooien met een dobbelsteen is elk van de 6 uitkomsten even waarschijnlijk dus P(meer dan 4 ogen) = 2 / 6 = ⅓ hierbij zijn 5 en 6 ogen gunstig rond kansen af op 3 decimalen, tenzij anders wordt gevraagd aantal gunstige uitkomsten aantal mogelijke uitkomsten

2 De complementregel P(gebeurtenis + P(complement-gebeurtenis) = 1 P(gebeurtenis) = 1 – P(complement-gebeurtenis) P(minder dan 8 witte) = P(0 w) + P(1 w) + P(2 w) + P(3 w) + P(4 w) + P(5 w) + P(6 w) + P(7 w) = 1 – P(8 witte) 11.1

3 Het vaasmodel bij veel kansberekeningen kan het handig zijn het kansexperiment om te zetten in het pakken van knikkers uit een geschikt samengestelde vaas  vaasmodel 11.1

4 aP(geen wagens met dezelfde lampen) = bP(minstens twee met defecte lampen) = 1 – (P(geen) + P(één)) = = 1 – cP(meer dan drie met goede lampen) = P(4) + P(5) = = ≈ 0, ≈ 0, ≈ 0,746

5 aP(niets wint) = bP(100 euro) = P(1 x € 100) + P(2 x € 50) = cP(20 euro) = P(2 x € 10) = dP(minstens 30 euro) = 1 – P(minder dan 30 euro) = 1 – P(niets) – P(10 euro) – P(20 euro) = = ≈ 0, ≈ 0, ≈ 0, ≈ 0,173

6 Kansbomen Bij het uitvoeren van 2 of meer kansexperimenten kun je een kansboom gebruiken. Je gaat als volgt te werk: –Zet de uitkomsten bij de kansboom. –Bereken de kansen van de uitkomsten die je nodig hebt. –Vermenigvuldig daartoe de kansen die je tegenkomt als je de kansboom doorloopt van START naar de betreffende uitkomst. 11.2

7 opgave 19 aVul in. bP (Sander wint in 3 beurten) = P (r s w r r s ) = cVul in.

8 opgave 24 aVul in. bP(Anton pakt zwarte knikker) = P(mz) = = 0,2 cP(Anton pakt rode knikker) = P(kr I ) + P(mr II ) = ≈ 0,586 dP(Anton pakt twee keer wit) = P(kwkw) = ≈ 0,036 e)P(Anton pakt twee keer rood) = P(kr I kr II ) + P(kr I mr II ) + P(mr II kr I ) + P(mr II mr II ) = ≈ 0,

9 P SS P S S 0,010,99 0,700,300,200,80 0,0070,003 0,792 0,198 opgave 26

10 10000 P S S P S S 0,01 0,99 0,700,30 0,20 0, opgave 26

11 In een vaas zitten 50 knikkers, waarvan er p rood zijn. aP(rr) = bP(rode en witte) = 2 · P(rw) = De tweede rode knikker pak je uit een vaas met 50 – 1 = 49 knikkers, waarvan er p – 1 rood zijn. Er zijn 50 – p witte knikkers

12 Toevalsvariabelen Bij het kansexperiment uit opgave 31 wordt aselect (= willekeurig) een leerling uit de klas gekozen. X = de leeftijd van de leerling. Omdat de waarde van X afhangt van het toeval heet X een toevalsvariabele. complementregel  P(Y ≥ 1) = 1 – P(Y = 0) somregel  P(Y < 2) = P(Y = 0) + P(Y = 1) 11.3

13 In een grabbelton zitten 20 doosjes. In 8 van deze doosjes zit een briefje van 10 euro, de overige 12 doosjes zijn leeg. Arjan pakt 2 doosjes uit de grabbelton. X = het totale bedrag in de 2 doosjes. aP(X = 20) = P(2 doosjes met 10 euro) = ≈ 0,147 bP(X > 0) = 1 – P(X = 0) = 1 – P(2 lege doosjes) = 1 - ≈ 0, voorbeeld

14 Kansverdelingen De kansverdeling van X is een tabel waarin bij elke waarde van X de bijbehorende kans is vermeld. De som van de kansen in een kansverdeling is altijd 1. kanshistogram 11.3

15 opgave 38 aP(X = 0) = P(X = 1) = P(X = 2) = P(X = 3) = P(X = 4) = ≈ 0,141 ≈ 0,453 ≈ 0,339 ≈ 0,065 ≈ 0,002 · · · x01234 kans0,1410,4530,3390,0650,002 x kans O b) P(Y = 3) = P(rrr) = --

16 De verwachtingswaarde Werkschema : het berekenen van de verwachtingswaarde E(X) 1Stel de kansverdeling van X op. 2Vermenigvuldig elke waarde van X met de bijbehorende kans. 3Tel de uitkomsten op.

17 aU = uitbetaling per lot E(U) = 0 · 0, · 0, · 0,01 = 0,80 De verwachtingswaarde van de uitbetaling per lot is € 0,80. bW = winst = uitbetaling - 2 E(W) = E(U) – 2 = 0,80 – 2 = -1,20 Dus de verwachtingswaarde van de winst is - € 1,20 per lot. cW = winst = uitbetaling - 0 E(W) = E(U) – 0 = 0,80 – 0 = 0,80 Een lot moet dan € 0,80 kosten. u01050 kans0,960,030,01

18 W = winst = 0,50 – uitbetaling P(W = -0,50) = P(2 bellen) = = 0,1875 P(W = -1) = P(2 bananen) = = 0, P(W = -2) = P(2 appels) = = 0,03125 P(W = 0,50) = 1 – 0,1875 – 0, – 0,03125 = 0, E(W) = -2 · 0, · 0, ,50 · 0, ,50 · 0, = -0,02 De verwachtingswaarde van de winst per spel voor de eigenaar is € 0,02. w-2-0,500,50 kans0,031250, ,18750, totaal88

19 Succes en mislukking De complement-gebeurtenis van succes. De kans op succes geven we aan met p. 11.4

20 Binomiaal kansexperiment Bij een binomiaal kansexperiment is : n het aantal keer dat het experiment wordt uitgevoerd X het aantal keer succes p de kans op succes per keer De kans op k keer succes is gelijk aan P(X = k) = · p k · (1 – p) n – k. nknk 11.4

21 ap = P(2 rode en 1 witte) = = 0,5 bp = P(3 rode) + P(3 witte) = = 0, ·

22 Binomiaal kansexperiment Bij een binomiaal kansexperiment is : n het aantal keer dat het experiment wordt uitgevoerd X het aantal keer succes p de kans op succes per keer De kans op k keer succes is gelijk aan P(X = k) = · p k · (1 – p) n – k. nknk

23 an = 6 en p = = 0,4 P(X = 4) = · 0,4 4 · 0,6 2 ≈ 0,138 bn = 12 en p = = 0,9 P(Y = 10) = · 0,9 10 · 0,1 2 ≈ 0,

24 Toevalswandelingen opgave 58 aX = aantal keer in de richting ‘links’. X is binomiaal verdeeld met n = 9 en p = ½. P(X = 4) = ≈ 0,246 bP(X = 6) = ≈ 0,164 cP(via postk. bij museum) = ≈ 0,117 dP(via postk. bij kerk) = ≈ 0, _ _ _ _ _ 1212 _ _ _ 2 · · ·· _ 1212 _ _ 4 · ··· · · · · __ ·

25 De notaties binompdf(n, p, k) en binomcdf(n, p, k) 11.4

26

27 opgave 60 aX = het aantal keer banaan. P(X = 5) = binompdf(10, 0.4, 5) ≈ 0,201 bX = het aantal keer appel. P(X = 3) = binompdf(18, 0.2, 3) ≈ 0,230 cX = het aantal keer appel. P(X ≤ 2) = binomcdf(20, 0.2, 2) ≈ 0,206 dX = het aantal keer banaan P(X = 4) = binompdf(5, 0.4, 4) ≈ 0,077 0,4 0,2

28 Binomiale kansen berekenen Werkschema : het maken van opgaven over binomiale kansexperimenten 1Omschrijf de betekenis van de toevalsvariabele X. 2Noteer de gevraagde kans met X en herleid deze kans tot een vorm met binompdf of binomcdf. 3Bereken de gevraagde kans met de GR. P(X minder dan 4) = P(X < 4) = P(X ≤ 3) P(X tussen 5 en 8) = P(X ≤ 7) – P(X ≤ 5) = P(X = 6) + P(X = 7) 11.5

29 opgave 74 aOm in A uit te komen moet je 3 keer rechts. X = het aantal keer rechts. P(X = 3) = binompdf(9, ¼, 3) ≈ 0,234 bOm via C in B uit te komen moet je eerst 2 van de 4 keer naar rechts en dan nog eens 4 van de 6 keer naar rechts. X = het aantal keer rechts. P(X = 2) · P(X = 4) = binompdf(4, ¼, 2) · binompdf(6, ¼, 4) ≈ 0,

30 opgave 77 aX = het aantal personen uit de klasse ’65 plus’. P(X > 20) = 1 – P(X ≤ 20) = 1 – binomcdf(80, 0.13, 20) ≈ 0,001 bX = het aantal personen uit de klasse jaar. P(X ≤ 15) = binomcdf(80, 0.31, 15) ≈ 0,010 c0,20 · 80 = 16 0,40 · 80 = 32 X = aantal personen uit de klasse jaar. P(X tussen 16 en 32) = P(X ≤ 31) – P(X ≤ 16) = binomcdf(80, 0.31, 31) – binomcdf(80, 0.31, 16) ≈ 0,926 p = 0,13 p = 0,31

31 De binomiale en de normale verdeling combineren opgave 88 aX = het aantal handelingen dat langer dan 3 minuten duurt. X is binomiaal verdeeld met n = 80 en p = normalcdf(180, 10 99, 160, 15) ≈ 0,091 … P(X ≥ 10) = 1 – P(X ≤ 9) = 1 – binomcdf(80, …, 9) ≈ 0,192 b2 en een halve minuut is 150 seconden opp = normalcdf(-10 99, 150, 160, 15) ≈ 0,2525 De kans dat een handeling korter duurt dan 2½ minuut is 0, · 0,2525 ≈ 45 handelingen minder dan 2½ minuut. cX = het aantal handelingen dat langer dan 2 min. en 45 sec. duurt. Voor welke n is P(X ≥ 5) > 0,99 met p = normalcdf(165, 10 99, 160, 15) ≈ 0,369 … ? TI 1 – binomcdf(n, …, 4) > 0,99 Voer in y 1 = 1 – binomcdf(x, …, 4). Maak een tabel en lees af voor n = 27 is y 1 ≈ 0,989 voor n = 28 is y 1 ≈ 0,992. Dus minstens 28 remmen. Casio 1 – P(X ≤ 4) > 0,99 Voor welke n is P(X ≤ 4) < 0,01 Proberen geeft voor n = 27 is P(X ≤ 4) ≈ 0,011 voor n = 28 is P(X ≤ 4) ≈ 0,008. Dus minstens 28 remmen

32 Kansschaal 6.1

33 opgave 3 1,11,11,21,21,31,31,41,41,51,51,61,6 2,12,12,22,22,32,32,42,42,52,52,62,6 3,13,13,23,23,33,33,43,43,53,53,63,6 4,14,14,24,24,34,34,44,44,54,54,64,6 5,15,15,25,25,35,35,45,45,55,55,65,6 6,16,16,26,26,36,36,46,46,56,56,66,6 ade som van de ogen 10 is 3 gunstige uitkomsten 36 mogelijke uitkomsten P(som is 10) = 3/36 ≈ 0,083 bsom is minstens 8 15 gunstige uitkomsten P(som minst. 8) = 15/36 ≈ 0,417 crood meer dan geel 15 gunstige uitkomsten P(rood meer dan geel) = 15/36 ≈ 0,417

34 Samengestelde kansexperimenten het gooien met een dobbelsteen is een voorbeeld van een kansexperiment kenmerkend voor een kansexperiment is dat de uitkomst niet van te voren vastligt voorbeelden zijn: het gooien met een dobbelsteen en een geldstuk het gooien met 2 dobbelstenen het gooien met 3 geldstukken het kopen van 3 loten in een loterij het aantal gunstige uitkomsten bij een samengesteld kansexperiment met dobbelstenen of geldstukken krijg je bij: 2 kansexperimenten met een rooster 3 of meer experimenten met systematisch noteren en/of handig tellen 6.1

35 Samengestelde kansexperimenten heb je met meer dan 2 experimenten te maken, dan bereken je kansen als volgt : bereken het aantal mogelijke uitkomsten tel het aantal gunstige uitkomsten door deze systematisch te noteren en/of handig te tellen deel het aantal gunstige door het aantal mogelijke uitkomsten zo krijg je bij een worp met 3 dobbelstenen en de gebeurtenis ‘som van de ogen is 15’ aantal mogelijke uitkomsten is 6 x 6 x 6 = 216 aantal gunstige uitkomsten is 10, namelijk , 636, , 645, 546, 564, 456, 465 dus P(som is 15) = ≈ 0, = 6.1

36 opgave 12 v dc dcdc dcdc v ade vliegreis wint P(vliegreis) = 1/36 = 0,028 bde troostprijs wint P(troostprijs) = 12/36 = 0,333 cprijswaarde minstens 550 euro P(minstens 550 euro) = 5/36 = 0,139 dniets wint P(niets) = 13/36 = 0,361

37 Empirische en theoretische kansen wet van de grote aantallen door een kansexperiment heel vaak uit te voeren, komt de relatieve frequentie van een gebeurtenis steeds dichter bij de kans op die gebeurtenis te liggen 1empirische kansen v.b. : P(meisje bij geboorte) en P(punaise met punt omhoog) empirisch betekent ‘op ervaring gegrond’ empirische kansen krijg je door een groot aantal waarnemingen te gebruiken empirische kansen bereken je door relatieve frequenties te gebruiken 2theoretische kansen bij veel kansexperimenten kun je van te voren zeggen wat de kans op een gebeurtenis is v.b. : P(6 ogen) bij een worp van een dobbelsteen is 1/6 je gebruikt de kansdefinitie van Laplace 3subjectieve kans hoe groot is de kans dat voor 2010 je sneller loopt dan 9 seconden over de 100m.?  onmogelijk 6.2

38 opgave 18 aantal fietsers per minuut frequentie ade telling duurde = 60 minuten btotaal = 5×15 + 6×20 + 7×8 + 8×10 + 9×4 + 10×3 = 397 fietsers cP(er passeren 5 per minuut)  empirische kans schatting = 15/60 = 0,25

39 opgave 18 aantal per minuut kans0,250,3330,1330,1670,0670,05 d 20/60 = aantal per minuut frequentie /60 =10/60 =4/60 = 3/60 = ,10 0,20 0,30 0,40 5 kans aantal fietsers per minuut ede som van alle kansen is 1 je hebt alle mogelijke uitkomsten

40 opgave 19 bP(meer dan 3 minuten te laat) ≈ 0,2 + 0,2 = 0,4 cP(minstens 2 minuten, niet meer dan 4 minuten) ≈ 0,15 + 0,25 + 0,2 = 0,6 a ,10 0,20 0,30 0,40 0 kans 3/20 = 0,15 1/20 = 0,05 2/20 = 0,15 0,25 0,20 0,15 0,05 0,15 aantal minuten te laat

41 Simuleren door een kansexperiment voortdurend te herhalen kun je kansen schatten dat is echter een tijdrovend karwei b.v. : de kans dat bij een vliegtuig de automatische piloot uitvalt dit soort kansexperimenten gaat men simuleren (nabootsen) met de computer door vervolgens relatieve frequenties te berekenen, schat je kansen de grafische rekenmachine heeft opties om toevalsgetallen te genereren 6.2

42 Simuleren met de GR TI MATH-PRB-menu  randInt met randInt(1,6,10) krijg je 10 gehele toevalsgetallen van 1 t/m 6 Casio OPTN-NUM-menu  Intg en OPTN-PROB-menu  Ran# met Intg(4Ran# + 1) krijg je 1 van de getallen van 1, 2, 3 of 4 6.2

43 opgave 26 Bij een spel kan Rob per keer € 2 winnen, € 1 winnen, quitte spelen, € 1 verliezen en € 2 verliezen elke mogelijkheid heeft dezelfde kans Rob begint met € 20 Schat m.b.v. een simulatie de kans dat Rob na 10 spelletjes minstens € 25 bezit selecteer de Random generator en kies bij instellingen van -2 tot 2 aantal getallen per experiment 10 vink gemiddelde aan voer het experiment een aantal keren uit en tel hoeveel keer het gemiddelde minstens gelijk is aan 0,5 de relatieve frequentie van deze gebeurtenis geeft een schatting van de gevraagde kans

44 voorbeeld 1 kruistabel geen 14716overige supermarkt krantenwijk leeftijd aP(geen bijbaantje) = ≈ 0,402 bP(ouder dan 15) = ≈ 0,402 cP(krantwijk+16) = ≈ 0,037 dP(Een 16 jarige heeft krant) = ≈ 0,167 eP(Een supermarktwerker is 15) = ≈ 0,625 fP(jonger dan 17 en geen krantenw.) = ≈ 0,731 gP(Een 16 jarige met bijbaan, werkt in supermarkt) = ≈ 0,

45 er geldt P(Rh + onder de voorwaarden A) = P(Rh + ) dus x = x 60 voorbeeld 2 kruistabel Aniet Atotaal Rh + x170 Rh - 30 totaal bloedgroep a = 60 · = bP(bloedgroep A en Rh - ) = ≈ 0,045 cP(met Rh + heeft A) = ≈ 0,

46 Kansbomen bij het uitvoeren van 2 of meer kansexperimenten kun je een kansboom gebruiken je gaat als volgt te werk : –zet de uitkomsten bij de kansboom –bereken de kansen van de uitkomsten die je nodig hebt –vermenigvuldig daartoe de kansen die je tegenkomt als je de kansboom doorloopt van START naar de betreffende uitkomst 6.3

47 Draaiende schijven Bij het draaien van de schijven hoort de volgende kansboom 6.3

48 Onafhankelijke kansexperimenten we gaan er bij het draaien van de schijven vanuit dat de kansexperimenten onafhankelijk zijn dat betekent dat ze elkaar niet beïnvloeden alleen dan mag je de kansen in de kansboom vermenigvuldigen als de kansen afhankelijk zijn (elkaar beïnvloeden) mag je de kansen in de kansboom niet vermenigvuldigen afhankelijke experimenten komen in dit boek niet voor 6.3

49 opgave 39 aP(ba,ba,ba)= 2/4 × 1/3 × 1/4 = 2/24 ≈ 0,083 bP(ke,ke,ke)= 1/4 × 1/3 × 1/2 = 1/24 ≈ 0,042 cP(ci,ci,ba)= 1/4 × 1/3 × 1/2 = 1/24 ≈ 0,042 dP(ci,ci,ci)= 1/4 × 1/3 × 0 = 0

50 opgave 40 aempirische kans bP(soep,vlees,ijs) = 0,6 × 0,5 × 0,8 = 0,24 cP(salade,vegetarisch,pudding) = 0,4 × 0,2 × 0,2 = 0,016 dP(soep,vis,ijs) = 0,6 × 0,3 × 0,8 = 0,144 dus naar verwachting 500 × 0,144 = 72

51 De somregel als de gebeurtenissen geen gemeenschappelijke uitkomsten hebben dus als de gebeurtenissen elkaar uitsluiten hebben twee gebeurtenissen wel gemeenschappelijke uitkomsten, dan geldt de somregel niet zo is P(som is 4 of product is 4) niet gelijk aan P(som is 4) + P(product is 4) want de gebeurtenissen ‘som is 4’ en ‘product is 4’ hebben de uitkomst  gemeenschappelijk voor elkaar uitsluitende gebeurtenissen G 1 en G 2 geldt de somregel: P(G 1 of G 2 ) = P(G 1 ) + P(G 2 ) 6.4

52 opgave 46 aP(geen banaan) = P(bbb) = 2/4 × 2/3 × 3/5 = 12/60 = 0,2 bP(2 citroenen en 1 banaan) = P(ccb) + P(cbc) + P(bcc) = 1/4 × 1/3 × 2/5 + 1/4 × 1/3 × 2/5 + 2/4 × 1/3 × 2/5 = 8/60 ≈ 0,133 cP(3 dezelfde) = P(bbb) + P(ccc) + P(kkk) = 2/4 × 1/3 × 2/5 + 1/4 × 1/3 × 2/5 + 1/4 × 1/3 × 1/5 = 7/60 ≈ 0,117 dP(2 keer kersen) = P(kkk) + P(kkk) + P(kkk) = 1/4 × 1/3 × 4/5 + 1/4 × 2/3 × 1/5 + 3/4 × 1/3 × 1/5 = 9/60 = 0,15 eP(1 banaan) = P(bbb) + P(bbb) + P(bbb) = 2/4 × 2/3 × 3/5 + 2/4 × 1/3 × 3/5 + 2/4 × 2/3 × 2/5 = 26/60 ≈ 0,433

53 opgave 49 aP(3 rode) = P(r r r) = 2/5 × 2/5 × 2/5 = 0,064 bP(geen rode) = P(r r r) = 3/5 × 3/5 × 3/5 = 0,216 cP(2 rood en 1 blauw) = P(r r b) + P(r b r) + P(b r r) = 3 × 2/5 × 2/5 × 1/5 = 0,096 dP(2 rood) = P(r r r) + P(r r r) + P(r r r) = 3 × 2/5 × 2/5 × 3/5 = 0,288 2 rood van de 5 3 niet rood van de 5 2 rood van de 5 1 blauw van de 5 2 rood van de 5 3 niet rood van de 5

54 opgave 55 jaarlijks 15% van de Nederlanders op vakantie naar Spanje voor een onderzoek worden willekeurig 10 Nederlanders gevraagd aP(niemand) = 0,85 10 ≈ 0,197 bP(precies 2) = × 0,15 2 × 0,85 8 ≈ 0,276 In een klas krijgen alle 23 leerlingen de opdracht om willekeurig 10 Nederlanders te ondervragen. cP(precies 2) = 0,276 Dus de verwachting is dat het bij 0,276 × 23 ≈ 6 leerlingen is. 10 2


Download ppt "Kansdefinitie van Laplace P(gebeurtenis) = je mag deze regel alleen gebruiken als alle uitkomsten even waarschijnlijk zijn bij een verkeerslicht zijn de."

Verwante presentaties


Ads door Google