Algebra.

Presentatie over: "Algebra."— Transcript van de presentatie:

1 Algebra

2 Voorrangsregels Haakjes Machtsverheffen / Worteltrekken
sinus / logaritme Machtsverheffen / Worteltrekken Vermenigvuldigen / Delen Optellen / Aftrekken Meneer Van Dalen Wacht Op Antwoord Hoe Moeten Wij Van De Onvoldoendes Afkomen

3 Notaties Bij twee bewerkingen op hetzelfde niveau van links naar rechts werken. -52 = -25 en (-5)2 = 25 9+16 =√(9+16) 10+6 −2⋅3 =− (10+6) (2⋅3) =12/(6/3)

4 Machten 𝑎 𝑝 ⋅ 𝑎 𝑞 =𝑎 𝑝+𝑞 𝑎 𝑝 𝑞 = 𝑎 𝑝⋅𝑞 𝑝 𝑎 = 𝑎 1 𝑝 1 𝑎 𝑝 = 𝑎 −𝑝
𝑎 𝑝 𝑞 = 𝑎 𝑝⋅𝑞 𝑝 𝑎 = 𝑎 1 𝑝 1 𝑎 𝑝 = 𝑎 −𝑝 𝑎⋅𝑏 𝑝 = 𝑎 𝑝 ⋅ 𝑏 𝑝

5 Speciale aandacht 𝑎>0 3 8 ⋅ 3 𝑎 9 ⋅ 𝑎 0,33 =2 𝑎 3,33 𝑎 0 =1 𝑎 1 =𝑎
𝑎 = 2 𝑎 =𝑎 1 2 𝑎 𝑏 = 𝑎 𝑏 3 8𝑎⋅𝑎 8 𝑎 −0,33 = 3 8 ⋅ 3 𝑎 9 ⋅ 𝑎 0,33 =2 𝑎 3,33

6 Breuken Vereenvoudigen Gelijknamig maken Delen door breuken
4𝑏+6𝑎𝑏 2𝑏 →2+3𝑎 Gelijknamig maken 3𝑏 𝑎 + 𝑎 𝑏 2 +1 → 3𝑏( 𝑏 2 +1) 𝑎( 𝑏 2 +1) + 𝑎 2 𝑎( 𝑏 2 +1) = 3𝑏 𝑏 𝑎 2 𝑎( 𝑏 2 +1) Delen door breuken Vergelijkingen

7 Haakjes uitwerken 𝑎 𝑏+𝑐 ⟶𝑎𝑏+𝑎𝑐 𝑎+𝑏 𝑐+𝑑 ⟶𝑎 𝑐+𝑑 +𝑏 𝑐+𝑑
𝑎+𝑏 𝑐+𝑑 ⟶𝑎 𝑐+𝑑 +𝑏 𝑐+𝑑 (𝑎−𝑏) 2 ⟶ 𝑎 2 −2𝑎𝑏+ 𝑏 2 (𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)⟶ 𝑎 2 − 𝑏 2 𝑥+3 2−𝑥 4𝑥−2+ 𝑥 2 =0

8 Redeneren Geen specifieke getallenvoorbeelden
Wel (delen van) de formule gebruiken. Formule terugvinden (na aanpassing) Formule nalopen (zoals bij berekening) Begin bij een variabele en bouw stap voor stap uit

9 Redeneren Kwalitatief Uitzoomen Inzoomen
Bepaal het bereik van 𝑔 𝑥 =3 𝑥+1 −2 Uitzoomen Bepaal de asymptoten van 𝑓 𝑥 = 𝑥 Toon aan dat 𝑓 𝑥 daalt als 𝑥 toeneemt Inzoomen Bepaal het toppunt van 𝑘 𝑥 =7−3 2−𝑥 6

10 Redeneren: Structuur van de formule
Hoogte van een boom: ℎ 𝑡 =𝑎 (1− 𝑏 𝑡 ) 𝑐 Toon aan dat op tijdstip nul de hoogte nul is Decibel afhankelijk van energie van een geluid. 𝐷=10⋅ log (𝐸) Toon aan dat tweemaal zoveel energie een vaste toename van het aantal decibel inhoudt.

11 Logaritmen Wat is het: 5 𝑥 =75→𝑥= 5 log 75 ≈2,68
log 𝑥 = 10 log⁡(𝑥) log 𝑎𝑏 = log 𝑎 +log⁡(𝑏) log 𝑎 𝑛 = 𝑛⋅log 𝑎 log 𝑎 𝑏 = log 𝑎 −log⁡(𝑏) 𝑔 log⁡(𝑎) = 𝑝 log⁡(𝑎) 𝑝 log⁡(𝑔)

12 Exponentiële groei Per tijdseenheid af/toename met hetzelfde percentage Per tijdseenheid vermenigvuldigen met 𝑔 𝑔>1 toename 0<𝑔<1 afname Formule: 𝑁=𝑏 𝑔 𝑡 Groeifactor – Percentages

13 Exponentiële groei 19% afname per jaar
Hoeveel % per week? (1 decimaal) Halveringstijd? (in maanden)

14 𝑁=4500⋅ e 0,0463𝑡

15 𝐷=3,65⋅ e 0,533𝑡

16 𝐶=21−21⋅ 0,5 0,25𝑡

17 Differentiëren Werk van buiten naar binnen 𝑓 𝑥 =3𝑥+𝑥 1− 𝑥 2
Basisregel Combinatieregels 𝑥 𝑛 𝑛 𝑥 𝑛−1 𝑐⋅𝑓(𝑥) 𝑐⋅𝑓′(𝑥) e 𝑥 𝑓 𝑥 +𝑔(𝑥) 𝑓 ′ 𝑥 +𝑔′(𝑥) 𝑔 𝑥 𝑔 𝑥 ⋅ ln (𝑔) 𝑓 𝑔(𝑥) 𝑓′(𝑔 𝑥 )⋅𝑔′(𝑥) ln 𝑥 1 𝑥 𝑓 𝑥 ⋅𝑔(𝑥) 𝑓 ′ 𝑥 ⋅𝑔(𝑥)+𝑓(𝑥)⋅𝑔′(𝑥) 𝑎 log 𝑥 1 𝑥 ln 𝑎 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) 𝑓 ′ 𝑥 ⋅𝑔 𝑥 −𝑓(𝑥)⋅𝑔′(𝑥) 𝑔 2 (𝑥) Werk van buiten naar binnen 𝑓 𝑥 =3𝑥+𝑥 1− 𝑥 2 somregel/productregel/kettingregel

18 Afgeleide Extreme waarden Stijgen / dalen afgeleide is nul
minimum of maximum nog niet duidelijk Stijgen / dalen f’(x) > 0 : f(x) stijgt f’(x) < 0 : f(x) daalt Plot f’(x) of beredeneer Afhankelijk van vraagstelling

19 𝐷=3,65⋅ e 0,533𝑡

20 Afgeleide Toenemen afnemend stijgen / dalen
Eerst stijgen of dalen aantonen Dan toenemend/afnemend

21 Optimaliseren Maak een formule met de gegevens Zoek maximum of minimum
Kies handige variabelen Gebruik alle informatie Maak een formule met 1 variabele Zoek maximum of minimum afgeleide = 0 Schets de formule: max of min. niet duidelijk Beantwoord de vraag

22 Optimaliseren Langs een sloot wordt een rechthoekig stuk land afgezet met een hek van 100 m lang. Hoe groot is het stuk land maximaal? Noem de breedte B en de lengte L 2B+L=100 en Opp = L·B L = 100 – 2B geeft Opp. = (100 – 2B)B = 100B – 2B2 [Opp.]’ = 100 – 4B = 0 B =25 geeft max. opp. 50·25 = 1250 m2 Bergparabool, dus maximum