Analytische Meetkunde

Presentatie over: "Analytische Meetkunde"— Transcript van de presentatie:

1 Analytische Meetkunde
Wiskundedialoog Nijmegen, 12 juni 2018 Jeroen Spandaw

2 Programma Inleiding over thematiek (15’’) Aan de slag (20’’)
Afronding (10’’)

3 Samenhangende Wiskunde
Synthetische Meetkunde Vectoren Gonio Analyse Algebra Complexe Getallen Symmetrie

4 Thema’s Combinatie van analytische & synthetische methoden
Differentiaalrekening: Differentiëren Integreren

5 Inleiding op de problemen
Inhoud van een piramide Eudoxos, Euclides en Archimedes Hilbert en Dehn Ongelijkheid van Euler Minimale omcirkels Maximale incirkels

6 V(piramide) = V(G, h)  𝑉= 1 3 Gh

7 Bewijs dat V(piramide) = V(G, h)
Uitputtingsmethode van Eudoxos (Euclides boek 12)

8 Bewijs dat V(piramide) = V(G, h)
2 gelijkvormige piramidetjes En 2 prisma’s met gelijke Gh

9 Uitputtingsstap Gegeven 2 piramides I en II met dezelfde G en h.
Deel beide op in 2 prisma’s en 2 piramidetjes Itereer vorige stap: veel prisma’s, 2 piepkleine restpiramidetjes Corresponderende prisma’s zijn gelijk (= gelijke inhoud). Restpiramidetjes willekeurig klein. Dus niet V(I)  V(II). Q.E.D.

10 Eudoxos, Euclides, Archimedes, Newton, Leibniz, Hilbert en Dehn
Eudoxos ( 350 BC!), Euclides & Archimedes: uitputtingsmethode voor inhoud, oppervlak,… Newton, Leibniz ( 1700): integraalrekening Weierstrass et al: --definities van limieten Hilbert (1900): Bestaat decompositiebewijs van 𝑉= 1 3 𝐺ℎ zonder integreren (zoals in 2D)? Dehn (1900): Nee!

11 Inleiding op de problemen
Inhoud van een piramide Eudoxos, Euclides en Archimedes Hilbert en Dehn Ongelijkheid van Euler Minimale omcirkels Maximale incirkels

12 Aan de slag! Probleem 1: Inhoud van kegels en piramides door middel van integreren, met dank aan Newton en Leibniz. Probleem 2: Maximale r Probleem 3: Minimale R Probleem 4: 𝑅≥2𝑟

13 Nabespreking & Samenvatting
Inhoud kegel & piramide Max incirkels, min omcirkels Veel ruimer, overkoepelend begrip ‘kegel’ Integraalbewijs van 𝑉= 1 3 𝐺ℎ werkt voor al die kegels Wiskundigen zijn op zoek naar zulke ‘goede generalisaties’ Wiskunde: precies, maar niet dogmatisch Aardige context om analyse (differentiëren) te doen. Begint met wat synthetische meetkunde, zoals Δ=𝑟𝑠. Functies in twee variabelen: Partiële afgeleiden, Hessiaan Of y vastnemen, functie van x, maximum bepalen als functie van y, maximum daarvan Extremum = maximum: Hessiaan, tweede afgeleide of schets grafiek

14 Bonusopgaven Zijden van driehoek in 3 gelijke delen verdeeld. Bepaal de verhouding opp(totaal) : opp(wit) Kwadratuur van de parabool (Archimedes) Bepaal opp(ingesloten door parabool en BC) : opp(ΔABC)

15 Analytische Meetkunde
Wiskundedialoog Nijmegen, 12 juni 2018 Jeroen Spandaw