Periodieke verbanden.

Presentatie over: "Periodieke verbanden."— Transcript van de presentatie:

1 Periodieke verbanden

2 Hoogte bij cirkelbeweging Goniometrie Hulpmiddel: eenheidscirkel
Radialen Goniometrie uitbreiden naar driehoeken zonder rechte hoek Hulpmiddel: eenheidscirkel

3 Wat is een hoek?

4 Hoe groot is een hoek? Radialen 0,3 rad = 135 ° = 0,3 π ⋅180°≈17,2°
⋅π= 3 4 π ≈2,36 𝑟𝑎𝑑

5 Driehoeken

6 Goniometrie sin ∠𝐴 = 𝐵𝐶 𝐴𝐶 cos ∠𝐴 = 𝐴𝐵 𝐴𝐶 tan ∠𝐴 = 𝐵𝐶 𝐴𝐵

7 Eenheidscirkel Cirkel met straal 1 en middelpunt (0, 0)
Draai tegen de klok in vanaf (1, 0) Hoek met positieve x-as Radialen Hoogte: 𝑦 𝑃 =sin⁡(𝑡) Breedte: 𝑥 𝑃 =cos⁡(𝑡) Eerste kwadrant

8 Hoek > 90⁰ Hoogte: 𝑦 𝑃 =sin⁡(𝑡) Ook: 𝑦 𝑃 =sin⁡(π−𝑡)

9 Negatieve hoeken Met de klok mee 𝑦 𝑄 =− 𝑦 𝑃 𝑥 𝑄 = 𝑥 𝑃 cos⁡(−𝑡)=cos⁡(𝑡)

10 Bereken ∠𝑃𝑂𝑄 𝑦 𝑝 =0,41 𝑥 𝑝 =−0,65 sin −1 (0,41) ≈24,20° 𝛼≈180°−24,2°≈155,8° cos −1 (−0,65) ≈130,5° 𝛽≈360°−130,5° ≈229,5° ∠𝑃𝑂𝑄=𝛽−𝛼≈229,5°−155,8°≈73,7° ∠𝑃𝑂𝑄=360°−155,8°−130,5°≈73,7°

11 Exacte waarden sin(0°) sin (30⁰) sin(60⁰) sin(90⁰) sin(45°)

12 Exacte waarden sin: 1 2 0 1 2 1 1 2 2 1 2 3 1 2 4 graden 0° 30° 45°
60° 90° rad 1 6 π 1 4 π 1 3 π 1 2 π sin 1 2 1 cos tan 3 X

13 Andere hoeken

14 Periodieke verbanden Uitgerekt en verplaatst in 𝑥- en 𝑦-richting
Vier transformaties = vier parameters

15 Sinusoïde Evenwichtsstand = 𝑚𝑎𝑥+𝑚𝑖𝑛 2 Amplitude = 𝑚𝑎𝑥−𝑚𝑖𝑛 2
=max⁡ – evenwichtsstand Periode = tijd (afstand op de 𝑥-as) waarna de grafiek zich herhaalt Zoek twee punten met dezelfde y-coördinaat en helling Beginpunt: 𝑥-coördinaat van snijpunt waar je stijgt door de evenwichtsstand meerdere mogelijkheden

16 Periode Halve periode tussen minimum en maximum
Kwart periode tussen toppen en beginpunt Snelste stijging en daling bij evenwichtsstand

17 𝑦=𝑎+𝑏 sin⁡(𝑐(𝑥−𝑑)) 𝑐 = 2π 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑒 Kenmerken Waarde Transformatie
Eigenschappen amplitude 𝑏 Vermenigvuldiging met 𝑏 t.o.v. 𝑥-as Buiten formule Langs de y-as Voorrangregels volgen evenwichts-stand 𝑎 𝑎 omhoog periode 2π 𝑐 Vermenigvuldiging met 1 𝑐 t.o.v. 𝑦-as Binnen formule Langs de x-as Voorrangsregels omkeren beginpunt 𝑑 𝑑 naar rechts 𝑐 = 2π 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑒

18 𝑦=𝑝+𝑞 sin⁡(𝑟𝑥+𝑠) Vermenigvuldiging met 𝑞 t.o.v. 𝑥-as 𝑝 omhoog
𝑠 naar links Vermenigvuldiging met 1 𝑟 t.o.v. 𝑦-as I II of I II of I 1 II 2 of … Eerst I dan II, eerst 1 dan 2

19 𝑦=𝑎+𝑏 sin⁡(𝑐(𝑥−𝑑)) Stel de formule op Bereken 𝑎, 𝑏, 𝑐 en 𝑑
Geef aan hoe de formule ontstaat uit de standaardformule 𝑦=sin⁡(𝑥)

20 Cosinus Beginpunt: 𝑥-coördinaat van het maximum
Overige parameters zijn gelijk aan die bij sinus

21 Exacte waarden sin(0°) sin (30⁰) sin(60⁰) sin(90⁰) sin(45°)

22 Exacte waarden sin: 1 2 0 1 2 1 1 2 2 1 2 3 1 2 4 graden 0° 30° 45°
60° 90° rad 1 6 π 1 4 π 1 3 π 1 2 π sin 1 2 1 cos tan 3 X

23 Andere hoeken

24 sin(x) = getal 𝑦= sin 𝑥 Twee oplossingen Reeksen Oplossing
𝑏=π−𝑎 Reeksen 𝑎+2π,𝑎+4π,𝑎+6π… 𝑎−2π,𝑎−4π,𝑎−6π, … Oplossing 𝑥=𝑎+𝑘2π 𝑥=π−𝑎+𝑘2π (𝑘 geheel: 𝑘=0, 1, −1, 2, −2, …)

25 sin(x) = 0, 1, -1 sin 𝑥 =1 → 𝑥= 1 2 π+𝑘2π sin 𝑥 =−1 → 𝑥=− 1 2 π+𝑘2π
𝑥= …,−2π, 0, 2π,4π,… 𝑥= …,−3π,−π,π,3π,5π… sin 𝑥 =0 → 𝑥=𝑘π

26 cos(x) = 0, 1, -1 cos 𝑥 =1 → 𝑥=𝑘2π cos 𝑥 =−1 → 𝑥=π+𝑘2π

27 cos(x) = getal 𝑦= cos 𝑥 Twee oplossingen Oplossing −1≤cos (𝑥) ≤1 𝑏=−𝑎
𝑥=𝑎+𝑘2π 𝑥=−𝑎+𝑘2π

28 Stappenplan Maak sin⁡(…) of cos … vrij Zoek de exacte waarde(n)
of gebruik sin −1 (…) of cos −1 (…) Voeg +𝑘2π toe Bepaal de tweede oplossing sinus: 𝐴+𝑘2π ∨ π−𝐴+𝑘2π cosinus: 𝐴+𝑘2π ∨ −𝐴+𝑘2π Speciale gevallen: sin(…) of cos(…)=0, −1, 1 Werk de oplossing(en) uit (Bepaal de oplossingen op het domein)