Niet iedereen houdt van rozijnen Willem van der Vegt

Presentatie over: "Niet iedereen houdt van rozijnen Willem van der Vegt"— Transcript van de presentatie:

1 Niet iedereen houdt van rozijnen Willem van der Vegt
Eerlijk delen Niet iedereen houdt van rozijnen Willem van der Vegt

2 Twee benaderingen In gelijke stukken delen
Zo delen dat iedereen tevreden is

3 Gelijke stukken met passer en liniaal

4 Gelijke stukken met passer en liniaal

5 Gelijke stukken met passer en liniaal

6 Gelijke stukken met passer en liniaal

7 Dürer: Zevendeling

8 Is dit exact? Nee, je kunt geen regelmatige zevenhoek construeren.
Wantzel: Noodzakelijke en voldoende voorwaarde voor een construeerbare regelmatige n-hoek is dat n = 2 𝑚 𝑝 𝑘 met achter het product uitsluitend Fermat-priemgetallen van de vorm 𝑡 +1. Fermatpriemgetallen 3, 5, 17, 257,

9 Is het nauwkeurig? Voor Dürer was het nauwkeurig genoeg!
2𝜋 7 =51° 25 ′ 42,85714 ′′ Met de cosinusregel volgt dat de tophoek van iedere driehoek met een top in het midden gelijk is aan 51° 19 ′ 4,12517 ′′ Als je de zeven afgepaste driehoeken neemt is de totale grootte van de hoek 359° 13 ′ 28,87 ′′

10 Er is wel een exacte constructie!
Gegeven een willekeurige cirkel Die is altijd met passer en liniaal op te delen in n stukken met gelijke oppervlakte Het zijn alleen geen gelijkvormige stukken!

11 Er is wel een exacte constructie!
Gegeven een willekeurige cirkel Die is altijd met passer en liniaal op te delen in n stukken met gelijke oppervlakte Het zijn alleen geen gelijkvormige stukken! Gevonden op de website van Herman Hofstede

12 Kiezen of delen Als je iets in twee porties wilt verdelen: De ene deelnemer verdeelt het eerlijk De andere mag als eerste kiezen Is dit wiskundig gezien eerlijk?

13 Een abstracte cake Interval [0, 1] Eenheidscirkel Eenheidsvierkant
Voor nu: Het interval [0, 1] Een verdeling is een partitie van dat interval

14 Hoe meet je tevredenheid?
Cakewaarderingsfunctie Idee: Het oppervlak onder de grafiek geeft aan hoe tevreden je bent Als je niets (van waarde) krijgt is je tevredenheid 0 Als je alles krijgt wat er is, is je tevredenheid 1 Anders is je tevredenheid dus een waarde tussen 0 en 1

15 A: Alles is even lekker

16 Alles is even lekker - Halveren

17 B: Allergisch voor chocola

18 Allergisch voor chocola - Halveren

19 C: Rechts steeds lekkerder

20 Rechts steeds lekkerder - halveren

21 Wat betekent eerlijk? Een verdeling heet proportioneel als elk van de n deelnemers een portie krijgt die hij tenminste waard 1/n vindt. Een verdeling heet afgunstvrij als iedere deelnemer een stuk krijgt dat voor hem meer waard is dan (of even veel waard is als) de stukken die andere deelnemers krijgen. Een verdeling heet billijk als alle n deelnemers hun eigen aandeel eenzelfde waarde toekennen.

22 Is kiezen of delen eerlijk?
Proportioneel? Iedereen krijgt wat hij ziet als de helft of meer Afgunstvrij? De kiezer kan meer dan de helft krijgen, de deler niet

23 Hoe kun je billijk verdelen?
A vindt alles even lekker B wil niets van het chocoladedeel C vindt hoe meer naar rechts, hoe lekkerder Hoe moet je snijden zodat A en B op dezelfde waardering uitkomen? En voor andere combinaties?

24 Een vis in drieën delen

25 Een vis in drieën delen

26 In drie stukken

27 Eén kiest alleen Ze loten wie er eerst even moet wachten.
De andere twee drie personen delen de cake met kiezen of delen in twee naar hun oordeel gelijke stukken. Daarna delen ze hun deel ook weer elk in volgens hen drie gelijke stukken. Persoon drie, die het tot nu toe heeft aangezien, mag nu van beide personen één van de drie stukken pakken.

28 Opdracht: Verdeel in vieren

29 Mogelijke oplossing: Verdeel de groep in tweeën
Laat één groepje delen, het andere kiezen Doe nu per groepje kiezen of delen Is dit proportioneel? Is dit afgunstvrij?

30 Eerlijk delen en wiskunde
Wiskunde gaat over algemeen toepasbare voorschriften (algoritmen) Bij het nadenken over zulke voorschriften maak je een abstractiestap Waardering van een portie kun je vertalen in een wiskundig begrip (functie met eigenschappen)