Relativiteitstheorie (4) MASTERLAB LECTURE 4/26/2017 Relativiteitstheorie (4) Tweeling paradox heeft te maken met relativiteit van ruimte en tijd. Het hangt samen met de tijddilatatie van bewegende zaken of personen. We gebruiken de tweeling paradox om dit te illustreren. Ruimte en Tijd/De tweeling paradox

MASTERLAB LECTURE p.j. mulders t.d. visser 4/26/2017 De tweelingparadox p.j. mulders t.d. visser Tweeling paradox heeft te maken met relativiteit van ruimte en tijd. Het hangt samen met de tijddilatatie van bewegende zaken of personen. We gebruiken de tweeling paradox om dit te illustreren. Ruimte en Tijd/De tweeling paradox

Ruimte-tijd diagrammen MASTERLAB LECTURE 4/26/2017 Ruimte-tijd diagrammen Om de relativiteit van ruimte en tijd goed te beschrijven maken we gebruik van ruimte-tijd diagrammen. Hierin wordt de positie horizontaal uitgezet en de tijd vertikaal. Probeer dit zelf maar eens voor enkele voorbeelden op ruitjespapier. Hier geven we het voorbeeld van een fietstocht met 12 km/u van de VU naar CS in Amsterdam. Een stationaire waarnemer die op de VU blijft zal R’s reis naar het CS anders beschrijven dan R zelf. Ruimte en Tijd/De tweeling paradox

Ruimte en Tijd Experimenteel blijkt dat de lichtsnelheid voor iedereen dezelfde waarde heeft, ongeacht zijn snelheid t.o.v. de lichtbron: c = 299 792 458 m/s Einsteins speciale relativiteitstheorie neemt dit gegeven als uitgangspunt. De Lorentz transformatie vertelt hoe je de metingen (x,y,z,t) van waarnemer S kunt omzetten in de metingen (x’,y’,z’,t’) van waarnemer S’.

Een consequentie is: Lorentz-Fitzgerald contractie Een bewegend voorwerp is korter dan hetzelfde voorwerp dat stil staat! Dit effect treedt alleen op bij zeer grote snelheden: v ≈ c

Tweede consequentie: Tijdsdilatatie Voor een bewegend iets/iemand loopt de klok langzamer Kosmische muonen bereiken de aarde! leeftijd muon = 2.2 x 10-6 s (d.i. maximaal circa 660 m) Maar met v = 0.99995 c leeft het muon 100 x zo lang en legt dan circa 66 km af

Gamma factor voor tijdsdilatatie Stel v = 0.99995 c Dan v2/c2 = 0.9999, en 1-v2/c2 = 1 10-4 en (1-v2/c2)1/2 = 1 10-2 -> g = 100

Tijdsdilatatie en Lorentzcontractie v = 0.6 c g = 1.25 Tijdsdilatatie en Lorentzcontractie Tijdsdilatatie: de klok van een deeltje of reiziger die met 0.6 c beweegt loopt een factor g = 1.25 langzamer Lorentzcontractie: de afstand die door een bewegend deeltje of reiziger wordt afgelegd is een factor g korter (3 lj : 1.25 = 2.4 lj)

De tweeling paradox Epimenides, zelf op Kreta wonend, sprak: `Alle Kretenzers zijn leugenaars.’ Alle mannelijke inwoners van Sevilla die zich zelf niet scheren, worden geschoren door de barbier die zelf ook in de stad woont. Wie scheert de barbier van Sevilla?

Logboek van een waarnemer We zetten plaats en tijd tegen elkaar uit in een x-t diagram R is het pad van raket met v = 0.6 c Maximale snelheid is c. Pad van R valt binnen lichtkegel Punten met dezelfde (eigen) tijd liggen op een hyperbool! We zetten plaats en tijd tegen elkaar uit in een x-t diagram R geeft pad van raket met v = 0.6 c Maximale snelheid is c. Pad van R valt binnen lichtkegel We zetten plaats en tijd tegen elkaar uit in een x-t diagram R geeft pad van raket met v = 0.6 c We zetten plaats en tijd tegen elkaar uit in een x-t diagram

De lichtkegel De voorwaartse lichtkegel wordt gevormd door alle punten waar je naar toe kan reizen of signalen naar toe kunt sturen De achterwaartse lichtkegel zijn die punten waar je vandaan had kunnen komen, of waarvan je signalen van hebt kunnen ontvangen. De lichtkegel beweegt met iedere waarnemer mee door het tijd-ruimte diagram

Een reis naar de sterren Tweeling A en R A blijft thuis R reist met v = 0.6 c ster S op 3 lj afstand Voor R duurt de reis 4 jaar nl. 5/1,25 vanwege de tijdsdilatatie A concludeert dat R bij S aankomt na 5 jaar. Een door R vanaf S verzonden bericht komt inderdaad 5+3=8 jaar na R’s vertrek bij A aan! Maar R schrijft pas 4 jaar onderweg te zijn…

Een reis naar de sterren (nogmaals) A verdwijnt met v = -0,6 c S nadert met v = 0,6 c Lichtsignalen blijven lijnen onder 45 graden! R arriveert bij S na 4 jaar! Op klok van A is maar 3,2 jaar (4/1,25) verstreken! Voor reiziger R is de afstand tot S maar 2,4 lichtjaar (3/1,25) (Lorentzcontractie)

Een reis naar de sterren

De hele reis naar S A concludeert dat terugreis voor R weer 5 jaar duurt Voor R duurt de reis weer 4 jaar A is 10 jaar ouder, maar R is 8 jaar ouder. R is dus naar de toekomst gereisd! SMS’jes van R naar A: aantal = 8, de tussenduur ervan vermindert volgens A na 8 jaar.

Hoe kan dat nu? Wat is hier aan de hand ? Als we nu vanuit R’s standpunt de zaak bekijken verstrijkt er tijdens de heenreis voor A maar 3,2 jaar. Vanuit R gezien zou A dus al met al maar 6,4 jaar ouder worden Wat is hier aan de hand ?

De hele reis naar S (variant 1) Nu gezien door iemand die op de heenreis met R is meegereist en daarna gewoon verder is gegaan Voor R is de terugreis een kwestie van A inhalen Snelheid van terugkerende R is v = 0.88 c (0.6 +0.6=0.88! ) en zijn tijd loopt nu nog langzamer (g = 2.105) De jaarlijkse berichten van R gaan elkaar nog sneller opvolgen!

De hele reis naar S (variant 2) Heenreis voor reiziger R Terugreis voor reiziger R Wereldbeeld verandert Bij het omdraaien verzet R z’n klok niet, maar de klok van A gaat wel opeens nog langzamer lopen volgen R. Maar ook vindt R dat de positie van de aarde opeens veranderd is! Plaats en tijd zijn relatief!

Paradox = schijnbare tegenstelling Het is gek Maar waar!

De oplossing Heenreis van reiziger R vindt plaats met snelheid +v. Terugreis voor reiziger R gaat met snelheid –v. R moet afremmen om terug te keren (bijv. de raket stoppen etc.). Zijn rol en die van A zijn dus niet symmetrisch! R is dus strikt genomen geen ‘goede’ waarnemer, want de theorie beschrijft alleen waarnemers met constante snelheid t.o.v. elkaar. De ‘doorgaande’ compagnon van R en A zien het beiden juist: R is minder oud geworden dan z’n tweelingbroer.

Einde There once was a girl named Ms. Bright, who could travel much faster than light. She departed one day, the Einsteinian way, and returned on the previous night… Einde