III. Quantum Electro Dynamics: QED Particle Physics I Introduction, history & overview (2) Concepts (3): Units (h=c=1) Relativistic kinematics Cross section, lifetime, decay width, … Symmetries (quark model, …) Quantum Electro Dynamics: QED (6-7) Spin 0 electrodynamics (Klein-Gordon) Spin ½ electrodynamics (Dirac) Experimental highlights: “g-2”, ee, … Quantum Chromo Dynamics: QCD (3-4) Colour concept and partons High q2 strong interaction Structure functions Experimental highlights: s, ep, … Particle Physics II Quantum Flavour Dynamics: QFD (5) Low q2 weak interaction High q2 weak interaction Electro-weak interaction Experimental highlights: LEP Origin of mass? (2) Symmetry breaking Higgs particle: in ee and in pp Origin of matter? (5) K0-K0, oscillations B0-B0 oscillations Neutrino oscillations Fantasy land (2) JvdB SB File on “paling”: z66/PowerPoint/ED_Master/QED.ppt III. Quantum Electro Dynamics: QED Particle Physics 2003/2004 Part of the “Particle and Astroparticle Physics” Master’s Curriculum

Spin-0 Elektrodynamika Electromagnetische wisselwerking voor deeltjes die aan de Klein-Gordon vergelijking voldoen “spinloze” electronen of “spinloze” muonen geladen  & K (zonder sterke wisselwerking)

Klein-Gordon vergelijking “Vertaling” van p2=m2 naar Q.M. (p  i(it,i) dan E=p2/2m  Schrödinger vgl.): Problemen: Historisch: drop Klein-Gordon t.g.v. Dirac vgl. Beter: her-interpretatie van j: D.w.z.: Dit is de interpretatie van: Pauli & Weisskopf Stückelberg & Feynman

Deeltje  anti-deeltje (+E,+p) emissie tijd +e (E,p) absorptie Dus voor een systeem geen verschil tussen: Emissie: e met p =(+E,+p) Absorptie: e+ met p =(E, p) e e+ In termen van de ladingsstroom(dichtheid): Oftewel: volgende scenario's identiek! (factor 2)

Storingsrekening 1e orde: 2e orde: e tijd e e Intermediair: ee+e Pair annihilation Pair creation D.m.v. anti-deeltjes wordt het vacuüm een complexe omgeving: e+e paren kunnen uit het vacuüm komen of erin opgaan e 2e orde: Intermediair: e

Maxwell vgl. en Lorentz invariantie Stel h/2=c=1 en introduceer potentiaal A=(V,A) en de stroom j=(,j): Dus: Nog kompakter met FAA:

IJk invariantie Vrijheid keuze A Want: Gebruik deze vrijheid om vgl. A te vereenvoudigen (covariant): Lorentz konditie: A nog steeds niet uniek; want: En dus b.v. mogelijk om te voldoen aan (niet covariant): Coulomb konditie

Foton golffunktie In vacuüm geldt j=0 en dus: Met als oplossingen (vlakke golven): IJk keuze: Lorentz konditie: Coulomb konditie: I.p.v. 4 vrijheidsgraden () dus nog maar 2: transversaal circulair Onder rotatie over  rond z-as:

Impuls en energie behoud  Impuls en energie behoud tijd pi pf pi pf k pi pf k p+ p+ p p+ k p p+ k

Interakties: Klein-Gordon veld en A “minimale substitutie” (of via lokale ijkinvariantie) Dus:  Hogere orde (wel essentieel voor ijk-invariantie!) Tfi: partieel integreren gebruikt: =Neipx

Intermezzo: Klassieke benadering pf pi V(x) Interactie van geladen deeltje met statisch elektrisch veld: pf V(x) pi

Coulomb-verstrooiing pf V(x) pi

K  K verstrooiing  (A) (B) (C) (D) K  K verstrooiing Veronderstel:  verstrooit aan A t.g.v. de K. Hoe vind je A? Ansatz: Vindt een oplossing van de Maxwell vgl. Met als stroom term de “overgangsstroom” die hoort bij K! eiqx=q2eiqx De overgansamplitude Tfi wordt dus: vgl. college “concepts” Overgangswaarschijnlijkheid per tijds- en volume eenheid:

K  K verstrooiing  (A) (B) (C) (D) K  K verstrooiing De amplitude M wordt (qpD-pB=pA-pC): Plug in standaard uitdrukking voor dA+BC+D/d: A B Notatie: verwaarloos massa’s

‘Feynman regels’ Vertexfactor: voor elke vertex introduceer een factor -ie(4)p . e : koppeling van deeltje aan het e.m. veld, p: som van 4-impulsen voor en na de vertex Propagator: voor elke interne lijn introduceer een factor –ig/q2 q: de 4-impuls van het uitgewisselde quantum B D Houdt rekening met impulsbehoud in elke vertex (uitdrukking voor q in termen van pA, pB, pC, pD) Berekening differentiële werkzame doorsnede identiek aan die voor “ABC” model A C

Elektrodynamika (S=0): Feynman regels p 1 Externe lijnen k in:  out:  p p’ k p p’ k k’ Vertices: q q Propagatoren:

   verstrooiing pB q=pA-pC =pD-pB (a) pD pA pC pB (b) pA q=pA-pD =pC-pB pD pC Gewoon regels volgen geeft: En daarmee de werkzame doorsnede: Let op: faktor ½ identieke deeltjes!

+  + verstrooiing pD pB (a) pB q=pA-pC =pD-pB pD pA pC  + (b) q=pA+pB =pC+pD Gewoon regels volgen geeft: Etcetera!

+  K+K verstrooiing pD pB 2. anti-particles  time reversed particles Follow the rules: pB q=pA+pB =pC+pD pD pA pC  + K K+ 1. Feynman diagram(s): 5. pick frame (c.m.) & make 4-vectors explicit: A B C D  3. amplitude: 4. standard d/d expression: 6. relativistic limit (set particle masses to zero):

   verstrooiing (b) (a) (c) k=k’’=0 k=k’’=0 (b) “Exchange interaktie” q=p-k’ =p’-k p k p’ k’ (b) k=k’’=0 (c) “Kontakt interaktie” p p’ k k’ (c) q=p+k =p’+k’ (a) “Direkte interaktie” p k p’ k’ (a) k=k’’=0

IJk-invariantie I Totale amplitude: Lorentz konditie: (al gebruikt) Resterende vrijheid: Uit laatste volgt o.a. invariantie M onder: Algemeen: Toepassen op    Nu k en gebruik:

IJk-invariantie II Dus met k en ’k’ wordt –iMa-iMb: Dus niet ijk-invariant! Door –iMc erbij te betrekken (“vergeten” tot nu toe) vind je ijk-invariantie terug! Dit gerealiseerd hebbende kan je ijk-invariantie gebruiken om de te berekenen amplitude te vereenvoudigen! D.w.z. iedere keer als er een A verschijnt kan je polarisatie vector  vervangen door een lineaire combinatie van  en k! Voor onze    berekening manipuleer je het zo dat: p=0 en ’p=0 Daarmee wordt Ma=Mb=0 en blijft slecht Mc over!

Vervolg    berekening Amplitude: Kies nu eens het Lab. stelsel: A+BC+D standaard: 4-vektor behoud: En dus:

Slot    berekening Daarmee wordt de werkzame doorsnede: De totale werkzame doorsnede na middelen en sommeren foton polarisaties: De essenties: Feynman: handige rekenregels in termen van diagrammen Ijkinvariantie: gebruik alle diagrammen orde n essentieel

+   verstrooiing (a) (b) (c)       ,p’ ,p’ (a) “Direkte interaktie” (a) q=p-k =k’-p’ p k’,’ -p’ k,   (b) “Exchange interaktie” (b) q=p-k’ =k-p’ p k’,’ -p’ k,   (c) “Kontakt interaktie” p -p’ k, k’,’ (c)   ,p’ ,p’ particle anti-particle

Vervolg +   verstrooiing Ijkinvariant? D.w.z. ? Dus inderdaad ijkinvariant! Standard d/d expression c.m. frame: +   Gebruik dit om: p=0 en p’=0 te krijgen Use relativistic limit (kpf=pip); identical particles; sum over foton polarisations! Let op: Polarisatie som kan je doen zoals je wilt; als je maar over alle mogelijke polarisaties sommeert! Ik kies “gewoon” z//-richting en x,y  -richting. (faktor 2) e2

Dirac vergelijking

Om aan relativistische uitdrukking E2=p2c2+m2c4 te voldoen: Golf-vergelijkingen Quantummechanica: De golffunctie wordt verkregen m.b.v. de transcriptie Schrödinger vergelijking Klassiek, E=p2/2m Klein Gordon vergelijking Relativistisch, E2=p2c2+m2c4 Vergelijking met 2e afgeleide naar de tijd  er bestaan oplossingen met negative energie Dirac vergelijking Relativistisch, lineair in /t Om aan relativistische uitdrukking E2=p2c2+m2c4 te voldoen:  en  matrices met: 1

Dirac algebra De matrices i en  moeten voldoen aan Eigenwaarden i en  zijn 1 en dimensie (d) is even Voor d=2 zijn er maximaal 3 anti-commuterende matrices Voor d=4 zijn er inderdaad 4 anti-commuterende matrices (laagste dimensie waarin Dirac algebra in kan worden gerepresenteerd)

Dirac algebra Dirac algebra: Expliciet Lorentz-invariantie notatie (x ): met: Dirac algebra: Je kunt laten zien dat: definitie: Let op:  is geen 4-vector, (zie later voor rechtvaardiging gebruik Lorentz index )

Het stroombehoud wordt verkregen via geconjugeerde Dirac vergelijking: Dirac vergelijkingen voor Optellen na multiplicatie met Dus stroom j: Vgl. Klein-Gordon:

Oplossing deeltje in rust: Dirac vgl. voor p=0 eenvoudig: Splits  in twee componenten , dan volgt (0(1/c)t) De 4 onafhankelijke oplossingen volledig uitgeschreven: e e+ Oplossingen

Oplossing bewegend deeltje: probeer “ansatz”  voor spinor u(p) splits spinor u(p) in twee componenten: Invullen: p  B.v. voor uA(p):

(niet erg verbazend: had Dirac er in gestopt!) Wat levert ? En hiermee kan expliciet aangetoond worden dat aan de relativistische vergelijking voor de energie voldaan wordt: (niet erg verbazend: had Dirac er in gestopt!)

Volledige oplossingen Dirac vgl. De 4 onafhankelijke oplossingen worden m.b.v. de Dirac spinoren: Oplossingen E>0 (1 en 2) Normalisatie: Oplossingen E<0 (3 en 4)

Dirac stroom j De stroom j voor pi=0 De stroom j voor pi0 (met standaard normalisatie) De stroom j voor pi0 (met standaard normalisatie) Waarom? Expliciet uitschrijven, b.v. voor de x-component: De waarschijnlijkheidsdichtheid j0 is altijd positief. Dit resulaat was uitgangspunt van Dirac’s werk!

Instrinsieke spin De E>0 en de E<0 oplossingen van de Dirac vergelijking zijn tweevoudig ontaard. Welke observabele kan deze toestanden onderscheiden? Gebruik de Hamiltoniaan voor de Dirac vgl.: Def.  Slim combineren:

Wat levert op ? z-component van de spin: ½ 3 voor p=0: deeltjes met spin=1/2 z-component van de spin: ½ 3 voor p0 deeltjes met spin=1/2 [H,2]=0 maar [H,]0 en dus:  i.h.a. geen eigenvector van 3 +½: positieve heliciteit ½: negatieve heliciteit Spin component  p kan altijd gebruikt worden: De operator heet heliciteit; eigenwaarden zijn 1/2 Want:

Spinors with helicity 1/2 Particle spinors: Which linear combinations are also eigenstates of the helicity: Must solve: for  and  Therefore:

Measurements of “g-2”

Magnetisch moment Dirac deeltje In volgende college zal blijken dat een Dirac deeltje wisselwerkt via: zijn elektrische lading: (net als een Klein-Gordon deeltje) zijn magnetisch moment: q  factor two! Conventies: B sub-structuur vacuüm g=2? Baryonen: p & n gp5.6 gn3.8 Leptonen: e &  (a(g-2)/2) quark sub-structuur

Classical precession: spinning top =0 Apply to an electron or muon B y z x

Principle Elektron B Muon “Penning” trap (Ne=1) Storage Ring (N104) E1 meV (T4.2 K) =(g/2)(eB/mc) B Muon Storage Ring (N104) E3 GeV (30) =((g-2)/2)(eB/mc)

Principe meting van “g-2” muon Spin precessie (klassiek) (voor kennisgeving) in rust: in orbit: B

Realiteit “g-2” muon  e    e Sterke correlatie: muon spin & elektron energie

Het resultaat! N(t)=Ne-t/(1+Acost) E3.096 GeV, 30 Spectrum qualitatief: exponentieel gedrag: muon verval oscillaties: spin precessie Reductie factor 104 over 600 s   2.2 s oscillatie period tijd (s) E3.096 GeV, 30 Bepaal de muon spin richting Als functie van de tijd uit de gemeten elektron energie Spectrum quantitatief: N(t)=Ne-t/(1+Acost)

Wat zegt de theorie? aethe  115965218801013 Bottom line elektron: uitrekenen! aethe  115965218801013 1e orde correctie: enige dimensie loze variabele:  aeexp  115965218701013 2e+3e+4e orde correcties athe  1165847061011 Bottom line muon: uitrekenen! 1e orde correctie: enige dimensie loze variabele:  2e+3e+4e orde correcties (groter dan voor electron vanwege m/me40000) aexp  1165916001011

Dirac equation: continued

Lorentz transformaties Let op: dit geldt voor alle Lorentz transformaties! Waarnemer S en S’ (x’=ax) gebruiken dezelfde Dirac vgl. Lineaire relatie tussen  en ’  S(a) hangt niet expliciet af van x: S(a)  SL Uit volgt Dus:

Infinitesimale transformaties: =  (gewoon verifiëren; sorry) Expliciete uitdrukkingen Met: volgt voor SL1 5 is een handige definitie voor de zwakke wisselwerking Specifiek geval: pariteit SP=SP†=SP1 Bedenk:

Spinoren: hoe transformeren ze? Nu kan je volgende belangrijke relatie afleiden: En daarmee: 4x4=16 mogelijkheden hiermee geordend!

Rotatie van een spinor rond z-as z-as rotaties via J3 operator: Voor Dirac spinoren:  Vgl. eerder gevonden SL

Boost van een spinor langs z-as Voor Dirac spinoren:  Dus: Met ook nog de e-macht zie je dus dat deze boost precies  geeft voor p0

Inversie van een spinor in oorsprong  Kijk wat dit doet op: fermion toestanden ((1) en (2)) anti-fermion toestanden ((3) en (4)) En hiermee zie je dus: intrinsieke pariteit fermion en anti-fermion toestanden tegengesteld

Dan vind je uit de elektron Dirac vgl. Ladingsconjugatie Dirac vgl. elektron (lading –|e|) in e.m. veld Dirac vgl. positron (lading +|e|) in e.m. veld Er moet een relatie tussen  en C bestaan omdat we de “gewone” Dirac vgl. zullen gebruiken voor zowel elektronen als positronen. Deze relatie vind je zo: Vind C die voldoet aan: Dan vind je uit de elektron Dirac vgl. de positron Dirac vgl. Relatie tussen elektron en positron oplossingen:

Elektron & Positron oplossingen Expliciete uitdrukking C0 Dit voor mijn keuze van de  matrixes! Relaties elektron-positron oplossingen: Gebruiken: “u” spinoren “v” spinoren: v(1)

Normalisatie, orthogonaliteit en completeness

Spin ½ Electrodynamica

Dirac vergelijking en A Vrije Dirac-veld (electronen) Minimale substitutie (qe=-e): pp+eA S=0 1 S=1/2 ui uf vergelijk nu de vertex factoren: f i V De overgangs amplitude wordt dus (vgl. Klein-Gordon voor spin S=0)

QED: Lading & magnetisch moment M.b.v. de Gordon decompositie wordt de S=1/2 vertex herschreven: Gewoon: stug door rekenen! q De eerste term is identiek aan het Klein-Gordon resultaat; ladings-interactie De tweede term is de magnetische moment interactie, d.w.z.  De overgangswaarschijnlijkheid:

Waarom magnetisch moment? In de niet-relativistische limiet geeft deze term, A=(0,A) partieel integreren y z x

ee verstrooiing B A pA pB  e C D pC pD Analoog aan K K verstrooiing voor s=0 En de overgangsamplitude wordt dus (q=pA-pC=pD-pB)

Feynman regels voor QED (S=1/2) Externe lijnen Vertices Propagatoren

QED e+  e- Fundamentele interacties: t Bhabha verstrooiing paar annihilatie/creatie Möller verstrooiing Compton verstrooiing

Analyse voorbeeld: normalisatie identifikatie detector

Bhabha verstrooiing: kleine hoeken Voor elk process:  = Nevents/Normalisatie Karakteristieken: “back-to-back” energie = Ebeam kleine hoeken Luminositeits detector huiswerk, bereken: eeee e e+

Resultaat  = Konstante  Nevents/Nluminosity voor ieder ander process:  = Konstante  Nevents/Nluminosity

Hogere orde correcties A B C D e e+

beschouw dit eens voor een concreet voorbeeld: Werkzame doorsneden Experiment (vaak): spin toestanden van in- en uit-komende deeltjes onbekend Uitgaande deeltjes: spins sommeren Inkomende deeltjes: spins middelen beschouw dit eens voor een concreet voorbeeld: eeee A B C D

Niet relativistische limiet  e En de amplitude na sommatie en middelen middelen! sommeren! identieke deeltjes! Niet relativistische limiet Niet relativistische limiet: lim|p|0 De vectoren worden d.w.z. de spins verandert niet. Dus de termen met matrix-element  : vgl. weer met Rutherford!

Relativistische spin  Relativistische spin is ook niet moeilijk e B C D Relativistische spin is ook niet moeilijk e  Relativistische spin Voor |M|2 volgt dus: lepton tensor:

De lepton tensor “Casimir’s trick” k k’ 2 A C Hoewel de uitdrukking op het eerste gezicht verschrikkelijk lijkt, geldt wel: Geen spinoren meer: via completeness relaties De spoorberekening is rechtoe-rechtaan: m.b.v. enkele regels “Casimir’s trick”

Sporen met -matrices Gebruik altijd: producten van  matrices sporen van producten van  matrices Zwakke wisselwerking

Voorbeeld  Toepassen spoor identiteiten geeft: e k p e  k’ p’ Voorbeeld Toepassen spoor identiteiten geeft: Voor de muon tensor geldt hetzelfde: relativistische limiet: M2,m2 Zodat: Merk op dat in de extreem relativistische limiet geldt:

 1/s Hiermee wordt het matrix element uiteindelijk: En de werkzame doorsnede:  Ecm [GeV]  totaal 1000 totale werkzame doorsnede 100 10  1/s  cos  d/dcos 1 +1 hoekverdeling

Voorbeeld (“crossing”) er is een relatie tussen de amplituden voor: e- - q=k’-k =p-p’ k k’ p p’ “t” e- - q=k-k’ =p-p’ k p k’ p’ + q=k+p =k’+p’ k’ e- e+ - k p p’ “s” p-k’ st e+e+ amplitude en daarmee de werkzame doorsnede: gebruik:

Directe berekening Je kunt het proces ook direct uitrekenen: De spin algebra geeft weer een spoor En dit wordt in de extreem relativistische limiet: (gelijk eerdere resultaat)

Werkzame doorsnede ee

Hoekverdelingen: ee and 

En nu heb je ook: eeqq gedaan! With three colours u, c, t d, s, b udsc uds udsc no color s

Compton verstrooiing: k k’ p p’ q=p+k q=p-k’ ijk-invariantie geeft: relativistische limiet, d.w.z. verwaarloos rustmassas relabel:  kwadraat:

Compton verstrooiing…

Compton verstrooiing……… Converteren naar traces: De trace theorema’s geven je voor |a|2 en |b|2:

Compton verstrooiing…………… En idem voor de twee kruis termen: Hierbij gebruik gemaakt van: De totale amplitude wordt dus:

Compton verstrooiing………………… We hebben voor het matrix element dus: De differentiele werkzame doorsnede is dan: Voor berekening van totale werkzame doorsnede is alleen bijdrage van term –s/u van belang. Om een eindig antwoord te krijgen is het noodzakelijk m2 van electron propagator te behouden:  In lab-stelsel (electron in rust, foton energie E, en dus s~2mE)

Amplitude volgt uit de amplitude voor ee via “crossing”: k k’ p’ e+ e  Paar annihilatie Amplitude volgt uit de amplitude voor ee via “crossing”: k k’ p p’ q=p+k e b.v. “s” k k’ p p’ e q=p+k p’k st q=pp’ p’ k’ k e+ e p “t” Dus:   cos  s

After all this: computer program FORM  order 2 e+e   e+ e  e+e   3 1 2 order 3 2 3 1 1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2

Coming soon!