AI101  Historisch Perspectief Weak Methods Logic Theorist General Problem Solver  Resolution Theorem Proving Leeswijzer: Hoofdstuk 13.0, 13.1, 13.2 AI Kaleidoscoop College 10: Theorem Proving

AI102 Historisch perspectief Theorem proving = automatisch stellingen bewijzen = gebruik van wiskundig preciese representaties: –ondubbelzinnigheid –preciese afleidingsregels –algemene afleidingsregels + besturings-strategie (= zoek-heuristiek) Ook wel genoemd: zwakke methodes, want: –weinig/geen domein-specifieke kennis In tegenstelling tot sterke methodes, zoals kennissystemen: veel domein-specifieke kennis Vb: –Logic Theorist (LT) –General Problem Solver (GPS) –Resolutie-bewijzers

AI103 Logic Theorist (1963) Representatie: Logica Besturing: Achterwaards (goal-driven) + breadth-first Afleidingsregels (Vb): –substitutie: vervang symbool door complexe formule: als (B  B)  B dan (  A   A)   A –replacement: vervang connectief door definitie of equivalentie: als (A  B) dan (  A  B) –detachment: modus ponens als (A  B) en A dan B

AI104 Logic Theorist (Vb) Axiom:(A  A) (1) Theorem:(p  q)  (q  p) (2)  Selecteer een axioma dat matched met theorem:  Voer substitutie uit volgens de match (1) met (2): vervang A door (p  q): (p  q)  (p  q) (3)  Replacement: vervang (q  p) door equivalente (p  q) (p  q)  (q  p) (4) Dus: (2) is verkregen uit (1) via (3) naar (4)

AI105 Probleem met LT: combinatorische explosie Breadth-first search is niet efficient Menselijk gedrag: “means-end analysis” (end = doel, means = middelen) = probeer steeds regel (“means”) te vinden die de afstand tot het doel (“end”) verkleint (= heuristische functie!)  General Problem Solver (GPS)

AI106 General Problem Solver (Vb) Start: (  r   p)  (r  q) (1) Doel: (p  q) (2) Match doel met (c):(p  X)  (X  q) (3) Subdoel: (p  X) (4) Match (b) met (4): (  p  X) (5) Equivalentie: (  p  X)  (X   p) (6)  Met X =  r is subdoel (4) bereikt Subdoel (  r  q) (7) Match (b) met (7): (r  q)  Alle doelen bereikt

AI107 Moderne stellingenbewijzers als A  B en  A  C dan B  C Resolutie-regel Plus unificatie: (Vb) als a(X,1,U)  b(X,U) en  a(2,Y,V)  c(Y,V) dan b(X,U)  c(Y,V) met X/2,Y/1,U/V = b(2,U)  c(1,U) Unificatie=vind waarden voor zo min mogelijk variabelen zodat twee formules gelijk worden

AI108 Unificatie Unificatie = vind waarden voor zo min mogelijk variabelen zodat twee formules gelijk worden Unificatie (Vb): –a(X)+ a(1)= X/1 –a(X,Y)+ a(U,1)= X/U,Y/1 –a(X,X)+ a(1,Y)= X/1,Y/X= X/1,Y/1 –a(2,X)+ a(X,1)= X/2,X/1= 

AI109 Resolutie: bewijsmethode  Vertaal probleem naar logica  Zet logica in CNF (Clausal Normal Form)  Voeg negatie toe van te bewijzen formule  Produceer een tegenspraak (= lege clause)  Concludeer de te bewijzen formule CNF-omzetten (eenvoudig) (p  q) = (  p  q) (p 1  p 2  q) = (  p 1  p 2 )  q) = (  p 1  p 2  q)

AI1010 Resolutie (Vb1): bewijs a uit Ax1-Ax6 e  f Ax4 dAx5  fAx6 a  b  cAx1 bAx2 c  d  eAx3  anegatie:7  b  c 1+ 7  8  c 2+ 8  9  d  e 3+ 9  10  e 5+10  11 f 4+11  12  6+12  13 inconsistentie 1-7, maar 1-6 zijn axioma’s  7 niet geldig  a geldt

AI1011 Resolutie, Vb1, andere notatie a  b  c (1)  a (7)  b  c (8) b (2)  c (9) c  d  e (3)  d  e (10) d (5)  e (11) e  f (4) f (12)  f (6)  (13)

AI1012 Resolutie, Vb2: “Slimme, rijke mensen zijn gelukkig. Mensen die lezen zijn slim. Lynda kan lezen en is rijk. Gelukkige mensen zijn tevreden. Vraag: Is er iemand tevreden?”  x: slim(x)  rijk(x)  gelukkig(x)  x: leest(x)  slim(x) leest(lynda) rijk(lynda)  x: gelukkig(x)  tevreden(x) Vraag:  x:  tevreden(x)  slim(x)  rijk(x)  gelukkig(x)  leest(x)  slim(x) leest(lynda) rijk(lynda)  gelukkig(x)  tevreden(x)  x:  tevreden(x) =  x:  tevreden(x) =  tevreden(x)

AI1013 Resolutie, Vb2  tevreden(w)  gelukkig(z)  tevreden(z)  gelukkig(z) w/z  slim(x)  rijk(x)  gelukkig(x)  slim(x)  rijk(x) z/x  leest(y)  slim  y)  rijk(y)  leest(y) x/y rijk(lynda) y/lynda  leest(lynda) 

AI1014 Resolutie, Vb2, andere oplossing  gelukkig(z)  tevreden(z)  slim(x)  rijk(x)  gelukkig(x) tevreden(x)  slim(x)  rijk(x)  leest(y)  slim  y) tevreden(x)  leest(x)  rijk(x) rijk(lynda) tevreden(lynda)  leest(lynda) tevreden(lynda)  tevreden(w)  w/lynda

AI1015 Resolutie is zoekproces Voorwaards Achterwaards

AI1016 Clausal Form (= conjunctie van disjuncties)  Verwijder implicaties –(p  q) = (  p  q)  Negaties “naar binnen” –  p  q) =  p   q –  p  q) =  p   q  conjunctie “naar buiten” –r   p  q) =  r  p)   r  q) (resultaat: conjunctie van clauses)  Opsplitsen van clauses: –  p 1  p 2 )   q 1  q 2 ) =  p 1  p 2 ),  q 1  q 2 )  Geef elke clause unieke variabelen: –  p 1 (x)  p 2 (x)),  q 1 (x)  q 2 (x))=  p 1 (x)  p 2 (x)),  q 1 (y)  q 2 (y))

AI1017 Clausal Form (2) Gebruik vereenvoudigingsregels: –  p  p) =  p  p) =  p = p –  p  q) =  q  p),  p  q) =  q  p) –  p  q)  r = p  (q  r),  p  q)  r = p  (q  r) Regels herhaald toepassen op resultaat: –  p  (q   r) =  p   (q   r) = p  (  q   r) = p  (  q  r) Soms meerdere mogelijkheden met zelfde resultaat ((p  q)  r)  s= ((p  r)  (q  r))  s= ((p  r  s)  (q  r  s)) ((p  q)  r)  s= ((p  q)  (r  s) = ((p  r  s)  (q  r  s))

AI1018 Zoekstrategiën voor resolutie Unit resolution strategy: Minstens één van de ouders moet een unit clause zijn (= clause van lengte 1)  Door unit-resolutie worden clauses “kleiner”  gebruik aantal literals als heuristische functie

AI1019 Unit Resolution Strategie, Vb  gelukkig(x)  tevreden(x)  tevreden(y)  gelukkig(x)  slim(z)  rijk(z)  gelukkig(z)  slim(x)  rijk(x) rijk(lynda) slim(lynda)  leest(w)  slim(w)  leest(lynda) incomplete strategie! !

AI1020 Zoekstrategieën voor resolutie (2) Linear Input Form = gebruik alleen: doel (of afstammeling) + axioma gebruik niet:twee afstammelingen of twee axioma’s Axioma Doel wel toegestaan niet toegestaan  backwards, goal-driven

AI1021 Volgende keer Machinaal leren: