Tellen van Stemmen … FEB, Studiedag Leraren Wiskunde, 6 mei 2010 Luc Lauwers

Notatie Kiezers : N = {1, 2, …, n} Alternatieven : A = {a, b, …} (eindig) Elke kiezer ordent de alternatieven. – Is beter dan : a > b, – Is even goed : a ~ b, – Volledig en transitief.

Profielen Zij P de verzameling van alle volledige en transitieve relaties in A. Profiel : p = (> 1, > 2, …, > n ). P n is de verzameling van alle profielen.

Stemprocedure F : P n A (> 1, …, > n ) | F(> 1, …, > n ) Meerderheidsregel : – noteer voor elke kiezer het unieke alternatief dat bovenaan staat, – het alternatief dat het meest voorkomt, wordt sociaal gekozen.

Twee alternatieven A = {a, b} P : a > b of b > a of a ~ b Profiel : p = (+1, 0, +1, -1, 0).

Wenselijke eigenschappen Zij F een stemprocedure. Anonimiteit, Neutraliteit, Monotoniciteit, …

Anonimiteit De naam van de kiezer is niet relevant. Voor alle profielen p en q in P n, Indien p en q aan elkaar gelijk zijn op de volgorde na, dan F(p) = F(q).

Neutraliteit De naam van het alternatief is niet relevant. Voor elke p in P n, voor alle a en b in A Zij F(p) = a. Wissel overal in het profiel a en b om en bekom profiel p’. Dan F(p’) = b.

Monotoniciteit Zij p een profiel, zij F(p) = a. Bekom een profiel p’ vanuit p door meer steun te geven aan a. – bij elke kiezer stijgt (zwak) alternatief a in de ranking. D an F(p’) = a.

Meerderheidsregel, A = {a, b} en P = { +1, -1, 0 }. Zij F : P n  P een stemprocedure. Sterke monotoniciteit – Zij p een profiel met F(p) in {0, +1}. – Zij p’ > p (ongelijkheid in R n ). – Dan F(p’) = +1. Alternatief a krijgt meer steun. De sociale “ordening” beweegt van {0,+1} naar +1.

Meerderheidsregel, A = {a, b} en P = { +1, -1, 0 }. Stelling. Zij F : P n  P een anonieme, neutrale, en sterk monotone stemprocedure. Dan F(p) = +1 zodra het profiel p méér +eentjes bevat dan –eentjes.

Bewijs F is anoniem. Zij p een profiel. De uitkomst F(p) wordt volledig bepaald door – p + = aantal keer +1 in p, – p - = aantal keer -1 in p, – p 0 = aantal keer 0 in p. F is neutraal. F(-p) = - F(p). – herinner +1: a > b, -1: b > a, 0: a ~ b.

Neem een profiel p waarvoor p + = p -. De profielen p en -p zijn op de volgorde na aan elkaar gelijk. Anonimiteit: F(p) = F(-p). Neutraliteit: F(-p) = - F(p). Dus F(p) = 0.

Neem een profiel q met q + > q -. Zij p een gepast profiel met p + = p - = q -. Uit de vorige stap: F(p) = 0. Vermits q > p (in R n ) geldt F(q) = +1. – Gebruik sterke monotoniciteit. Een profiel q met q + < q -. Op dezelfde wijze. □

Referendum? Europese grondwet : vóór of tegen. Lange Wapper : vóór of tegen. Complexe dossiers herleiden tot vóór of tegen. Niet zinvol.

Drie alternatieven, A = {a,b,c} Meerderheidsregel ? Voorbeeld : 21 kiezers Alternatief: a a b c Aantal kiezers : Meerderheidsregel: a heeft 8 kiezers.

Volledige informatie # Kiezers : , totaal 21. Alternatief : a a b c b c c b c b a a a versus b : 8 tegen 13, dus b > sociaal a. a versus c : 8 tegen 13, dus c > sociaal a. b versus c : 10 tegen 11, dus c > sociaal b. c > sociaal b > sociaal a.

Condorcet-regel Paarsgewijs aftoetsen van alternatieven. Meerderheidsregel : a. Condorcet : c > sociaal b > sociaal a, Condorcetverliezer : a. Meerderheidsregel (3 of meer alternatieven) zet soms een Condorcetverliezer bovenaan.

Condorcet lukt niet altijd # Kiezers : , totaal 17. Alternatief : a c b b b a c a c b a c a versus b : 11 tegen 6, dus a > sociaal b. a versus c : 8 tegen 9, dus c > sociaal a. b versus c : 12 tegen 5, dus b > sociaal c. a > sociaal b > sociaal c > sociaal a.

Condorcet consistentie Vorig voorbeeld : Condorcet paradox. Arrow’s theorema. F is Condorcet consistent : Voor elk profiel p met een Condorcet winnaar, geldt F(p) = Condorcet winnaar. Meerderheidsregel {a, b} is Condorcet consistent.

Meerderheid met runoff # Kiezers : , totaal 17. Alternatief : a c b b b a c a c b a c Eerste ronde : c niet weerhouden.

Meerderheid met runoff # Kiezers : , totaal 17. Alternatief : a □ b b b a □ a □ b a □ Tweede ronde : a wint (11 tegen 6).

Meerderheid met runoff ?? # Kiezers : , totaal 17. Alternatief : a c b a (ipv b) b a c b (ipv a) c b a c Eerste ronde : b niet weerhouden. Tweede ronde : c wint (9 tegen 8). (ipv a).

Meerderheid met runoff ?? Is niet monotoon. F(p) = a. Alternatief a krijgt meer steun (profiel p’ ). F(p’) = c.

Borda regel # Kiezers : 7 7 1, totaal 15. Alternatief : a b c Borda-score 2, b a a Borda-score 1, c c b Borda-score 0. Score a : = 22. Score c : 2. Score b : 7+14 = 21. Borda-winnaar: a.

Borda regel # Kiezers : 7 7 1, totaal 15. Alternatief : a b c Borda-score 2, b c a Borda-score 1, c a b Borda-score 0. Score a : 14+1 = 15. Score c : 9. Score b : 7+14 = 21. Borda-winnaar: b.

Manipuleerbaarheid Groepje van 7 “liegt”. In plaats van b > a > c (ware voorkeur), reveleren ze b > c > a. De Borda-winnaar beweegt van a naar b. Incentief om te liegen. Meerderheidsregel {a, b} niet manipuleerbaar.

Simpson-regel monotoon én Condorcet-consistent # Kiezers : , totaal 15. Alternatief : a a d b d d b c c b c a b c a d Paarsgewijs aftasten: a a > b: 6, a > c: 6, a > d: 10.

# Kiezers : , totaal 15. Alternatief : a a d b d d b c c b c a b c a d a > b: 6, a > c: 6, a > d: 10.  b > a: 9, b > c: 12, b > d: 4. c > a: 9, c > b: 3, c > d: 4. d > a: 5, d > b: 11, d > c: 11. Hoogste “laagste score”: alternatief a.

# Kiezers : totaal 19. Alternatief : a a d b c d d b c a c b c a b b c a d d a > b: 10, a > c: 6, a > d: 14. b > a: 9, b > c: 12, b > d: 8.  c > a: 13, c > b: 7, c > d: 8. d > a: 5, d > b: 11, d > c: 11. Hoogste “laagste score”: alternatief b. Oorspronkelijk profiel: alternatief a.

The no show paradox Oorspronkelijk profiel: alternatief a. Indien deze vier kiezers komen opdagen, dan alternatief b. Deze vier kiezers: c > a > b > d. Door weg te blijven, steun geven aan a. … Kiezen en Verliezen.

Stelling Joaquin Pérez (2001) “The strong no show paradoxes are a common flaw in Condorcet voting correspondences” Social choice and welfare 18: Verdere literatuur: Donald Saari.