23/11/2005 De Mets Armand

De bepaalde integraal -Miniles Mediakunde -3ASO 2de jaar Presentatie gebaseerd op wat ik hier vond: www.pedrotytgat.be/wiskunde/analyse/integralen 20/09/2005 De Mets Armand

Info WISKUNDE – LEERPLAN A DERDE GRAAD ASO STUDIERICHTINGEN MET COMPONENT WISKUNDE LEERPLAN SECUNDAIR ONDERWIJS LICAP – BRUSSEL D/2004/0279/019 September 2004 (vervangt D/1992/0279/022) ISBN-nummer: 90-6858-380-8 Vlaams Verbond van het Katholiek Secundair Onderwijs Guimardstraat 1, 1040 Brussel Voor studierichtingen met zes wekelijkse lestijden wiskunde. Economie-wiskunde Grieks-wiskunde Latijn-wiskunde Moderne talen-wiskunde Wetenschappen-wiskunde AN38: Het verband leggen tussen het begrip bepaalde integraal en de oppervlakte tussen de grafiek van een functie en de horizontale as. 23/11/2005 De Mets Armand

Inhoud van de les Eenvoudige oppervlakten Belang van oppervlakten Eigenlijke vraagstelling (toegepast op y=x2 en [0,3]) Een eerste benadering voor bepalen van oppervlakte Principe berekenen van bovensom en ondersom Een betere benadering voor bepalen van oppervlakte De beste benadering, oneindig veel deelintervallen Toegepast op y=x2 en [0,4] Notie van bepaalde integraal Oppervlakte voor y=x2 over willekeurig interval [a,b] Veralgemening voor willekeurige continue functie Berekeningen met willekeurig punt in een deelinterval (zonder boven en ondersom) Georiënteerde oppervlakten 23/11/2005 De Mets Armand

Invuloef. eenvoudige oppervlakten Cirkel Ruit Trapezium Driehoek Parallellogram Rechthoek Vierkant z b l h b h b b1 h b2 d1 d2 r 23/11/2005 De Mets Armand

Eenvoudige oppervlakten Vierkant Rechthoek Parallellogram Driehoek Trapezium Ruit Cirkel z b l h b h b b1 h b2 d1 d2 r 23/11/2005 De Mets Armand

Belang van oppervlakten 1 X Y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Gegeven: Wandelaar wandelt 5 uur aan wandelsnelheid 5 km/h Y (=v , km/h) X (=t , aantal h) V Gevraagd: Welke afstand heeft de wandelaar afgelegd aan het einde van de voettocht ? Oplossing: S=v.t = 25 km 23/11/2005 De Mets Armand

Belang van oppervlakten 2 X Y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Gegeven: Wandelaar wandelt t uur aan wandelsnelheid v(t) km/h Y (=v , km/h) X (=t , aantal h) v(t) Gevraagd: Welke afstand heeft de wandelaar afgelegd aan het einde van de voettocht ? t is hier dus ook 5 uur. Opp = S Oplossing: S=????? 23/11/2005 De Mets Armand

Eigenlijke vraagstelling Bepalen van oppervlakte onder de parabool y=x² Geen formule Benadering door som van oppervlakten Oi van rechthoeken Oi=f(xi). x X Y x1 x2 x3 x4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x5 x x1 bevindt zich dus één intervalbreedte ver (1.x), x2 twee intervalbreedtes (2. x) etc  is de Griekse hoofdletter S en wordt het sommatieteken genoemd. Het staat voor een gedurige som van termen; de algemene vorm van elke term staat achter het sommatieteken. Bij ons is dat f(xi). x. Het sommatieteken geeft bovendien aan dat i begint met waarde 1 (de ondergrens) en dan stijgt tot en met 3 (de bovengrens). Dus staat de sommatie hierboven voor f(x1). x + f(x2). x + f(x3). x. Hierbij is xi gelijk aan i keer de intervalbreedte (hierboven is die 1): x1 = 1, x2 = 2 en x3 = 3 f(x0) f(x1) f(x2) f(x3) 23/11/2005 De Mets Armand

Eerste benadering over [0,3] Ondersom s3 Bovensom S3 3 van 3 intervallen X Y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Berekenen van de bovensom S3 (Oefenblad) x1 = 1 = 1. x  f(x1) = 1 x2 = 2 = 2. x  f(x2) = 4 x3 = 3 = 3. x  f(x3) = 9 f(x1)  x = 1  1 = 1 f(x2)  x = 4  1 = 4 f(x3)  x = 9  1 = 9 S3 = 14 Berekenen van de ondersom (s3) analoog x0 = 0 = 0. x  f(x0) = 0 f(x0)  x = 0  1 = 0 s3 = 5 23/11/2005 De Mets Armand

Intermezzo oefening 2 23/11/2005 De Mets Armand

Eerste benadering over [0,3] X Y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Berekenen van de ondersom (s3) x0 = 0 = 0. x  f(x0) = 0 x1 = 1 = 1. x  f(x1) = 1 x2 = 2 = 2. x  f(x2) = 4 f(x0)  x = 0  1 = 0 f(x1)  x = 1  1 = 1 f(x2)  x = 4  1 = 4 s3 = 5 Berekenen van de bovensom S3 (Oefenblad) x1 = 1 = 1. x  f(x1) = 1 x2 = 2 = 2. x  f(x2) = 4 x3 = 3 = 3. x  f(x3) = 9 f(x1)  x = 1  1 = 1 f(x2)  x = 4  1 = 4 f(x3)  x = 9  1 = 9 S3 = 14 Berekenen van de ondersom (s3) analoog x0 = 0 = 0. x  f(x0) = 0 f(x0)  x = 0  1 = 0 s3 = 5 23/11/2005 De Mets Armand

Eerste benadering over [0,3] X Y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Berekenen van de bovensom S3 x1 = 1 = 1. x  f(x1) = 1 x2 = 2 = 2. x  f(x2) = 4 x3 = 3 = 3. x  f(x3) = 9 f(x1)  x = 1  1 = 1 f(x2)  x = 4  1 = 4 f(x3)  x = 9  1 = 9 S3 = 14 Berekenen van de bovensom S3 (Oefenblad) x1 = 1 = 1. x  f(x1) = 1 x2 = 2 = 2. x  f(x2) = 4 x3 = 3 = 3. x  f(x3) = 9 f(x1)  x = 1  1 = 1 f(x2)  x = 4  1 = 4 f(x3)  x = 9  1 = 9 S3 = 14 Berekenen van de ondersom (s3) analoog x0 = 0 = 0. x  f(x0) = 0 f(x0)  x = 0  1 = 0 s3 = 5 s3 = 5 23/11/2005 De Mets Armand

Betere benadering over [0,3] X Y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Bovensom S6 Ondersom s6 Beperken momenteel tot bovensommen 23/11/2005 De Mets Armand

Vergelijking van de benaderingen X Y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X Y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 23/11/2005 De Mets Armand

Berekenen van bovensom S6 [0,3] X Y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 De totale benaderde S6. is nu: f(x1)  x = 0,25  0,5 = 0,125 f(x2)  x = 1  0,5 = 0,5 f(x3)  x = 2,25  0,5 = 1,125 f(x4)  x = 4  0,5 = 2 f(x5)  x = 6,25  0,5 = 3,125 f(x6)  x = 9  0,5 = 4,5 S3=14 S6 = 11,375 S12 = 10,15625 Zoals we konden verwachten is de gebonden waarde met 6 deelintervallen KLEINER dan deze met 3 deelintervallen: het stuk dat we teveel rekenen (de stukken die boven de grafiek uitsteken) is nu heel wat kleiner geworden. De waarde 11,375 is dus nog zeker groter dan de gezochte oppervlakte, maar niet meer zoveel als daarnet. Nemen we 12 deelintervallen, dan is x = 0,25 en moeten we 12 hoogtes f(xi) berekenen, waarbij i = 1, 2, 3, ..., 12. We krijgen nu een som met 12 termen van de vorm: f(xi)  x. Waarde: opp(12) = 10,15625 23/11/2005 De Mets Armand

Oneindig deelintervallen in [0,3] X Y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Hoe groter n, hoe beter de benadering. Als n nadert tot +, nadert Sn tot de exacte oppervlakte S. Vertalen we deze laatste zin in het ‘wiskundigs’, dan krijgen we: Je herinnert je nog: bij limieten waarbij x naar oneindig gaat, neem je in teller en noemer de hoogste graadstermen. We werken nu niet met x maar met n, wat echter niets verandert aan de algemene regel. Als je de teller uitwerkt, krijg je 18n² + 27n + 9. De hoogste graadsterm is dus 18n². Als je dat deelt door de noemer, krijg je die uitkomst 9. (Je hoéft de teller echter niet uit te rekenen: als je van elke factor de hoogste graadsterm neemt, kom je hetzelfde uit: 9 . n . 2n) Raar maar waar: alhoewel de ‘figuur’ kromme randen heeft, is de gearceerde oppervlakte tóch een mooi, natuurlijk getal. 23/11/2005 De Mets Armand

Berekenen Sn en sn voor y=x2,[0,3] 23/11/2005 De Mets Armand

Oneindig deelintervallen in [0,4] Y 10 9 8 7 6 5 In de formule voor S(n) valt op dat er in de teller telkens (n+1)(2n+1) staat en in de noemer telkens n². Enkel de coëfficiënten van de teller en noemer veranderen. Dat brengt ons op een gedachte: voor andere intervallen, zoals bijvoorbeeld [0, 5] of [0, 13], zullen die ‘vaste’ factoren misschien ook terugkomen en zullen enkel die coëfficiënten veranderen. Zou er geen formule zijn voor die coëfficiënten?  Daarmee bedoelen we, zou er voor een willekeurig interval [0, b] (met b een strikt positief getal) geen uitdrukking bestaan voor S(n), waarbij de de vaste factoren (n+1)(2n+1)/n² staan, voorafgegaan door coëfficiënten die rechtstreeks uit b berekend kunnen worden? 4 3 2 1 1 2 3 4 5 X 23/11/2005 De Mets Armand

Notie bepaalde integraal Strikt genomen zou je kunnen zeggen dat de exacte oppervlakte S op het interval [0, b] te schrijven is als: Men noemt een aldus verkregen oppervlak de bepaalde integraal van de functie f(x) van 0 tot b en noteert dit verkort als: X Y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Die ‘krul’, die men het integraalteken noemt, is historisch afkomstig van de ‘S’ van ‘summa’. Integralen zijn immers (oneindige) sommen. Onderaan staat de ‘ondergrens’ (beginpunt) en bovenaan de ‘bovengrens’ (of het eindpunt voor de oppervlakteberekening). De dx achteraan herinnert je aan de x van onze oorspronkelijke som. f(x) dx herinnert ons dus aan het oorspronkelijke hoogte  breedte. x=b 23/11/2005 De Mets Armand

Berekenen Sn en sn voor y=x2,[0,b] 23/11/2005 De Mets Armand

Oppervlakte voor y=x2 over [a,b] Uit de basisformule op het interval [0, b], kunnen we nu de oppervlakte afleiden voor alle andere intervallen. Beschouw het interval [a, b], waarbij 0 < a < b: X Y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 S= x=a x=b 23/11/2005 De Mets Armand

Algemene uitdrukking Meer algemeen kan men gemakkelijk aantonen dat deze formule ook geldt voor intervallen [a, b] met a < b < 0 (het interval ligt volledig links van de y-as) of a < 0 < b (het interval begint links en eindigt rechts van de y -as). Besluit: Het goede nieuws: we kunnen nu alle mogelijk oppervlakken tussen de x-as en de grafiek van y = x² berekenen. Het slechte nieuws: we moeten van vooraf aan (nou ja: we kunnen instappen bij de algemene formule van slide 14) beginnen voor elke nieuwe functie. Het zware rekenwerk zullen we aan computers overlaten; we zullen onze intelligentie inzetten om na te gaan of er misschien geen algemene formules te vinden zijn, die makkelijk vanbuiten te leren zijn. 23/11/2005 De Mets Armand

Veralgemening voor continue f Y X y=f(x) a b x Y X y=f(x) a b x M1 m1 M2 m2 M3 m3 Mn mn Mn-1 OPGELET: de waarden m (rechts) geven aanleiding tot GROTERE opervlakten dan deze overeenstemmend met M, dit komt doordat het TEKEN hier een rol speelt! Mn-2 mn-1 mn-2 23/11/2005 De Mets Armand

Algemene methode y=f(x) a b Verdeel [a,b] in n gelijke  interval min mi en max Mi  integreerbare functies is Via insluitstelling van de limieten: Y X y=f(x) a b x 23/11/2005 De Mets Armand

Insluitstelling van limieten y=f(x)   Mi  f(xi) mi  Insluitstelling van limieten i-de interval 23/11/2005 De Mets Armand

Georiënteerde oppervlakken y I III + + x a b c d IV e II - - 23/11/2005 De Mets Armand