College Atmosferische fysica maart 2007

Planetaire golven Algemene circulatie Dynamica tropen

Planetaire golven, Golven met horizontale schalen> 1000 km die zich om de aarde voortplanten Hoogte, geopotentiaal van 50 kPa drukvlak, dalen en heuvels

Mechanisme Rossby golven Zonale stroming verplaatsing luchtpakketje in y-richting afstandje y' v‘ = dy'/dt d/dt dy'/dt +  f/  y u 0 y' = 0  =  f/  y, terugdrijvende kracht -  u 0 y‘ d 2 y'/dt 2 = -  u 0 y‘, y' = Ae i  t + Be -i  t  = (  u 0 ) 1/2 Oscillatie met periode T ~ 4.5 dag

Rossby golven Atmosfeer met constante dichtheid en geen verticale bewegingen du/dt + 1/   p/  x - fv = 0 (1) dv/dt + 1/   p/  y + fu = 0 (2)  u/  x +  v/  y = 0, w = 0 x noord-zuid coördinaat y oost-west coördinaat  /  x (1) -  /  y (2)

Rossby golven d/dt(  v/  x -  u/  y) + f(  v/  y +  u/  x) + v(  f/  y)=0  =  v/  x -  u/  y vorticiteit aanname f varieert niet in tijd en alleen in noord-zuid richting d/dt (  + f) = 0 behoud absolute vorticiteit, zeer belangrijk absolute vorticiteit = som van vorticiteit tgv rotatie van vloeistof en vorticiteit tgv rotatie aarde

f = f 0 +  y,  is constant,  -vlak benadering behoud absolute vorticiteit d/dt (  + f) = 0 storingsontwikkeling u = u 0 + u' v = v' f = f 0 +  y (  /  t + u 0  /  x) (  v'/  x -  u'/  y) +  v' = 0 stroomfunctie  u' = -  /  y, v' =  /  x

(  /  t + u 0  /  x )  2  +  /  x = 0  = Re  0 e i(  t + kx +ly) , horizontaal voortplantendfe planetaire golf c = -  /k = u 0 -  /( k 2 + l 2 )   0,  afgeleide f naar breedte, snelheid tov zonale stroming is c - u 0, c fasesnelheid in x-richting drift naar het westen relatief tov achtergrondwind, ~ meters per seconde

Planetaire golf in drie dimensies Vorticiteitsvergelijking in drie dimensies du/dt + 1/  p/  x - fv = 0 dv/dt + 1/  p/  y + fu = 0  =  v/  x -  u/  y, vorticiteit d/dt(  + f) = - (  + f)(  u/  x +  v/  y) - (  w/  x  v/  z -  w/  y  u/  z) + 1/  2 (  /  x  p/  y -  /  y  p/  x) laatste twee termen klein tov eerste term d h /dt(  + f) = - (  + f)(  u/  x +  v/  y) d h /dt =  /  t + u  /  x + v  /  y

Drie dimensionale planetaire golf d h /dt (  + f) = (  + f)  w/  z integreren linker- en rechterlid naar z over hoogte h h d h /dt (  + f) = (  + f) (w(z 1 ) - w(z 2 )) dh/dt = w(z 1 ) - w(z 2 ) d h /dt((  + f)/h) = 0 behoud potentiële vorticiteit, vorticiteit gedeeld door laagdikte belangrijke behoudswet

Drie-dimensionale Rossby golven  =  v/  x -  u/  y, f = 2  sin  0 d h /dt (  + f) = (  + f)  w/  z u = u 0 + u‘, v = v‘, w = w‘,  =  0 +  '   f (in rechterlid)  /  t  ' + u 0  /  x  ' + v‘  /  y f - f  w'/  z=0 hydrostatische vergelijking 1/  0  p'/  z +  '/  0 g=0 thermodynamische vergelijking (Boussinesq benadering) (  /  t + u 0  /  x)  '/  0 – Bw’=0, B vertikale stabiliteit, B=  ln  /  z

(  /  t + u 0  /  x)(  ' + f 0/ gB  0  2 p‘/  z 2 ) +  v’= 0  =  f/  y kleine verstoring voldoet aan geostrofe windrelatie u g '= - 1/f 0  0  p'/  y v g '= 1/f 0  0  p'/  x  = p'/f 0  0 stroomfunctie

(  /  t + u 0  /  x)(  2  + f 0 2 /gB  2  /  z 2 ) +  /  x = 0 quasi-geostrofe benadering oplossing  = Re  0 expi(  t + kx + ly + mz)  c=  /k = u 0 -  /( k 2 + l 2 + m 2 f 0 2 /gB) c = 0, orografisch opgewekte planetaire golf m 2 = gB/f 0 2  /u 0 - ( k 2 + l 2 )  m verticale golfgetal

Planetaire golf c=  /k = u 0 -  /( k 2 + l 2 + m 2 f 0 2 /gB) m = gB/f 0 2  /(u 0 -  /k)- ( k 2 + l 2 )  m verticale golfgetal Coriolis effect cruciaal,  = 0,  /k = u 0 Verstoring mee bewegend met de stroming

verticale golfvoortplanting als m 2 = gB/f 0 2  /u 0 - ( k 2 + l 2 )   0  /u 0  k 2 + l 2 0  u 0  u c =  /( k 2 + l 2 ), Charney-Drazin criterium verticale voortplanting alleen in geval van oostwaartse stroming die beneden een kritische snelheid u c blijft u c =  /( k 2 + l 2 ), lange golven kunnen zich ook bij sterkere achtergrondstromingen voortplanten

Quasi-stationaire golf in temperatuur in Z H Temperatuur 45 km Temperatuur 15 km 0.5 golflengte tussen 15 en 45 km hoogte

verticale golfvoortplanting als m 2  0  /u 0  k 2 + l 2 0  u 0   /( k 2 + l 2 ) verticale voortplanting alleen in oostelijke stroming die niet te sterk is

m 2 = o, reflectie, u c =  /( k 2 + l 2 ), reflecterend oppervlak m 2  , absorptie, kritiek oppervlak Kritieke laag Reflectie m = gB/f 0 2  /(u 0 -  /k)- ( k 2 + l 2 ) 

Equator, meridionaal transport, Hadley circulatie Opstijgende vochtige lucht in tropen en dalende lucht in subtropen Opwarming atmosfeer door zonnestraling en vrijkomen condensatie warmte, variabel met hoogte en breedte Afkoeling door infrarode uitstraling, 1/  tijdschaal equator subtropen Domein for Hadley circulation

Thermodynamische vergelijking (  /  t +  )(  /  ) - Bw + Q = 0  is dichtheidsverstoring Q opwarming B verticale stabiliteit, B =  ln  /  z Momentum vergelijking Geen drukverschil in oost-west richting (  /  t + r)u - fv = 0 (  /  t + r)v + fu = - 1/   p/  y wrijving evenredig met snelheid, Rayleigh viscositeit, tijdschaal 1/r Hydrostatische vergelijking 1/  p/  z + g  /  = 0

Stationaire toestand, evenwicht  /  t = 0  (  /  ) - Bw + Q = 0 ru - fv = 0 rv + fu = - 1/  p/  y 1/   p/  z + g  /  = 0 levert B  w/  y -  /rg(f 2 + r 2 )  v/  z -  Q/  y = 0 Continuïteitsvergelijking  v/  y +  w/  z = 0, zonaal gemiddelde stroming, geen x-afhankelijkheid

stroomfunctie   /  y = w  /  z = - v B  2  /  y 2 + (  /rg)(f 2 + r 2 )  2  /  z 2 -  Q/  y = 0 0  y  L, 0  z  D, L subtropen, D tropopauze f constant opwarming Q = Q 0 cos(ly) sin(mz), l =  /L en m =  /D, maximaal boven equator in midden troposfeer w = 0,  = 0 voor z = D, tropopauze hoogte Nabij aardoppervlak,  = w = 0 voor z = 0

B  2  /  y 2 +  /rg(f 2 + r 2 )  2  /  z 2 -  Q/  y = 0 Oplossing  =  0 sin(ly) sin(mz)  0 = lQ 0 /(Bl 2 + (  m 2 /rg)(f 2 + r 2 ))

w =  /  y = l  0 cos(ly)sin(mz) v = -  /  z = - m  0 sin(ly)cos(mz) u = f/r v = - mf/r  0 sin(ly)cos(mz) Wrijving aan de bodem oostwaarts westwaarts

karakteristieken opstijgende lucht in gebieden met maximale opwarming dalende lucht in gebieden met maximale koeling

Noordwaartse(poolwaartse) flux van warmte Hadley circulatie belangrijk voor warmte transport vanuit tropen a algemene circulatie, Hadley b eddies c totale flux Warmte transport door oceanen, zelfde orde van grootte, mondiale herverdeling van warmte

Instabiliteiten van zonale stroming inertiële instabiliteit u, geostrofe zonale snelheid alleen breedte afhankelijk en niet van hoogte luchtpakketje van y 0 naar y 0 + y, noord naar zuid, snelheid v bewegingsvergelijking (a) du/dt = fv (b) dv/dt = f(u - u’) v = dy/dt integraal van (a) u(y 0 + y) - u(y 0 ) = fy dv/dt = d 2 y/dt 2 = f(u(y 0 + y) - fy - u’) d 2 y/dt 2 = f(  u/  y - f)y

stabiele oscillatie als f(  u/  y - f)  0 instabiliteit als f(  u/  y - f)  0 belangrijk in tropen waar f klein is: Inter Tropische Convergentie Zone en meridionale circulatie cel door instabiliteit in hoge troposfeer gedurende de Zuid Amerikaanse Moesson. Paarse cirkels: zonale wind (westerly/easterly, dot/cross), equator y=0, Paramaribo Y 0. straalstroom

Dynamica tropen Kelvin golven in oost-west, verticaal Bewegingsvergelijkingen  u/  t + 1/  0  p/  x - fv = 0  v/  t + 1/  0  p/  y + fu = 0 v = 0, f =  y  u/  t + 1/  0  p/  x = 0 1/  0  p/  y +  yu = 0 eliminatie van p

 2 u/  t  y -  y  u/  x = 0 u = g(y) e i (kx-  t)  g/  y + k  /  y g = 0 g = exp(- k  /2  y 2 ) oostwaartse voortplantende golf correspondeert met afname amplitude met breedte, een fysische eis amplitude afname met 1/e als y =(2  k     = 2.29 x cm -1 s -1, typische periode en golflengte T = 15 dagen, = km Daarmee y = 1600 km, 15 graden noord en 15 graden zuid

hoogte-afhankelijkheid van Kelvin golf hydrostatische vergelijking  p/  z +  g = 0 energiebehoud 1/  0  /  t – Bw = 0 continuiteitsvergelijking  u/  x +  w/  z = 0 x, t afhankelijkheid: e i(kx -  t)  p/  z +  g = 0 -i  – N 2 /gw = 0 iku +  w/  z = 0  2 p/  z 2 + g  /  z = 0

of wel  2 p/  z 2 – i N 2 /  w/  z = 0  2 p/  z 2 + N 2 /  ku = 0 relatie tussen p en u  2 p/  z 2 + N 2 k 2 /    p = 0 p = P exp(- i mz) m =  i Nk/  groepssnelheid c g, verticale component c g =  m c g =  k  m 2 c g positief voor opwaarts energietransport daaruit volgt  = - Nk/m

oplossing p= Pexp(-k  /w y 2 )expi(wt - kx + Nk/wz) u= Uexp(-k  /w y 2 )expi(wt - kx - mz) Kelvin golven, zonale wind en druk

Kelvin golf snelheid, temperatuur, druk en ozon verstoringen

Dynamica tropen Rossby-zwaarte golven Equatoriale planetaire golven met meridionale snelheid v  0 Differentiaal vergelijking voor v d 2 v/dy 2 +  (m 2  2 /N 2 – k 2 – k  /  ) –  2 m 2 /N 2 y 2  v = 0 voorwaarde dat m 2  2 /N 2  k 2 Definieer  m  /N) 1/2 y, M = N/  m  (  2 m 2 /N 2 - k 2 - k  /  ) aanname  m   0 daarmee (d 2 /d      v  0

v = v 0 exp(- 1/2    n  M = 2n + 1, H n Hermite polynomen H 0 = 1, H 1 = 2 , H 2 = 4  2 – 2 dus v = v 0 exp( -  m  y 2 /2N) H n  (  m  /N) 1/2 y  en m 2     - k 2 -  k/  = (2n+1)  m  /N Rossby-gravity golven

Rossby-zwaarte golf als n = 0 (  m  –Nk)(  m  + Nk) =  -1 N(  m  + Nk) echter  m  + Nk  0 dat houdt in dat  m  = N/  2 (  +  k)  m   0 dus fasesnelheid c c =  /k  -  /k 2 Dispersierelatie m =  N/  2 (  +  k)

Kelvin/Rossby-zwaarte golven Karakteristieken van planetaire golven in tropische troposfeer en stratosfeer KarakteristiekKelvin golfRossby- zwaarte golf Periode(dagen)15 dagen4-5 Hor. golflengte(km) Vert. golflengte(km) Fase snelheid25 m/s oost23 m/s west Zonale wind u (m/s) Meridionale wind v03 Temperatuur 0 C31 Geopot. hoogte m30 4 Vert. snelheid(m/s)1.5x x10 -3 Hellingfasevlakoostwaartswestwaarts Golven in temperatuur, wind, ozon, geopotentiële hoogte

Samenvatting Planetaire golven door variatie Coriolis kracht met breedte graad Hadley circulatie bepaalt meridionale circulatie in tropen Inertiele instabiliteiten bij sterke windschering en zwakke Coriolis kracht (tropen) Kelvin en Rossby-zwaarte golven belangrijk voor dynamica tropen in troposfeer en stratosfeer