College Fysica van de atmosfeer 2007 9 maart 2007

Atmosfeer dynamica Golven in de atmosfeer Geluidsgolven, Zwaartegolven

Golven in de atmosfeer Geluidsgolven, oscillatie mechanisme: samendrukbaarheid lucht Zwaartegolven, oscillatie mechanisme: stabiele verticale gelaagdheid lucht Planetaire golven, oscillatie mechanisme: stabiele balans tussen drukgradienten en Coriolis kracht

Atmosfeer dynamica, korte tijdsschalen Bewegingsvergelijking zonder rotatie dv/dt = gk - 1/p + /2v d/dt = /t + v. zwaartekrachtveld gk, drukgradientkracht p wrijvingskracht /2v, viscositeit, wrijving met bodem Navier-Stokes vergelijking

Continuïteitsvergelijking /t + v. + .v = 0 onsamendrukbare vloeistof, grootschalige bewegingen div v= 0 /t + v. = 0

Energiebehoud Thermodynamische vergelijking cvdT/dt + p.v = - .F + .(kT) + q q inwendige warmte toename F stralingsflux kT thermische geleiding in potentiële temperatuur  cpT/ d/dt = - .F + .(kT) + q potentiële temperatuur  = T(p0/p)

Geluidsgolven samendrukbaarheid lucht, voortplanting door adiabatische compressie en expansie van atmosfeer longitudinale golven, deeltjesbeweging parallel richting golfvoortplanting

Geluidsgolven dv/dt = gk - 1/p + /2v /t + v. + .v = 0 cpT/ d/dt = - .F + .(kT) + q  = T(p0/p) adiabatisch, geen wrijving, rotatie aarde verwaarloosbaar, zwaartekracht speelt verwaarloosbare rol

geluidsgolven, eendimensionaal beschouwd behoudswetten momentum du/dt + 1/p/x = 0 continuïteit d/dt + u/x = 0 adiabatisch d/dt(p-) = 0 herschrijven continuïteitsvergelijking 1/pdp/dt + u/x = 0 d/dt = /t + u/x Storingsontwikkeling, achtergrond + kleine verstoring, lineariseren u = u0 + u´ p = p0 + p´  = 0 + ´ p´ p0 ´ 0

geluidsgolven golfvergelijking (/t + u0 /x)u´ + 1/0p´/x = 0 (/t + u0 /x)p´ + p0 u´/x = 0 u´ elimineren (/t + u0 /x)2 p´ - (p0/0) 2p´/x2 = 0 Tweede orde lineaire partiële differentiaalvergelijking

Geluidsgolven (/t + u0 /x)2 p´ - (p0/0) 2p´/x2 = 0 p´= Re A e ( ik(x-ct)) fasesnelheid c c0= (p0/0)1/2= (RT0)1/2 c0= adiabatische geluidsnelheid c0 = 330 m/s, Periode geluidsgolven 4 minuten of korter

Geluidsgolven met achtergrondwind u0 (/t + u0 /x)2 p´ - (p0/0) 2p´/x2 = 0 p´= Re  A e ( ik(x-ct)) fasesnelheid c= ± (p0/0)1/2 = u0 ± c0 c0 = 330 m/s,u0 ~ 10 m/s fasesnelheid c afhankelijk u0  = kc = k(u0 ± c0) Doppler verschuiving frequentie hoger stroomafwaarts, lager stroomopwaarts Als T0 en dus c0 en u0 x-afhankelijk, Buiging, reflectie Geluidsgolven, Communicatie, geluidsoverlast

Zwaarte golven in de atmosfeer

Zwaartegolven stabiele gelaagdheid lucht, “ buoyancy”, “boeiheid ”, zwaarte van lucht troposfeer kleinschalige bewegingen, stratosfeer grotere amplitudes, belangrijk voor circulatie menging en transport sporengassen door brekende golven afkoeling en opwarming in golftoppen en – dalen(chemie atmosfeer T afhankelijk), condensatie,chemie wolk verschillend chemie droge lucht, vocht en T

Oscillatie mechanisme zwaartegolven Atmosfeer stabiel gelaagd d2/dt2 z' = - N2 z' N2 = gdln0/dz = g/0d0/dz = g/T(dT/dz + g/cp) N = Brunt-Väisälä frequentie N = 1.2 x 10-2 s-1 z'(t) = A eiNt + B e-iNt oscillatie met periode van 5 minuten

oscillatie met hoek  verplaatsing z in cilinder dichtheid 0N2 z/g groter dan omgeving kracht N2 z, langs helling met hoek , component N2z sin Versnelling d2/dt2(z/sin) d2/dt2z + N2sin2 z = 0 frequentie 2 = N2sin2, periode tussen 5 min. en “oneindig” = rotatie aarde

zwaartegolven in x,z vlak , twee dimensies momentum du/dt + 1/p/x = 0 dw/dt + 1/p/z + g = 0 continuïteit d/dt + u/x + w/z = 0 adiabatisch 1/pdp/dt - 1/d/dt = 0 storingsontwikkeling u = u´ w = w´ p = p0 + p´  = 0 + ´ p´ p0 ´ 0

Zwaartegolven, gelineariseerde vergelijkingen u´/t + gH /x (p´/p0) = 0 w´/t + g´/0 + gH /z (p´/0) - gp´/0 = 0 u´/x + w´/z - w´/H + /t(´/0) = 0 N2/g w´ + /t(´/0) - 1//t(p´/p0) = 0 H schaalhoogte N2 Brunt-Vaisala frequentie N2/g = (-1)/H = ln/z, verticale stabiliteitsparameter

Oplossing: exp(z).ei(t-kx-mz),  =1/2H Zwaartegolven Stelsel lineaire partiele differentiaal-vergelijking met constante coëfficiënten Oplossing: exp(z).ei(t-kx-mz),  =1/2H exponentiële groei amplitude met hoogte !! energie golf 1/2u2 constant,  = 0 e-z/H dan u = e+ z/2H 1/2H groter m golfvoortplanting geen golf

dispersierelatie zwaartegolven m2 = k2(B2 /2 - 1) + (2 - a2)/c2 B2 Brunt-Väisälä frequentie,T ~ 300s a = ½ ( g/H)1/2 = c/2H acoustische afsnij frequentie, Ta ~ 290 s Geluids golven Wit Evanescent, geen voortplanting Zwart voortplanting /B Zwaarte golven kH

dispersierelatie zwaartegolven m2 = k2(B2/2 -1) + (2 - a2)/c2 limietgeval, 2 » B2 , T2 << TB2 k2 + m2 + 1/4H2  2/c2 hoogfrequente geluidsgolven gemodificeerd door gelaagdheid /B

dispersierelatie zwaartegolven m2 = k2(B2 /2-1) + (2 - a2)/c2 benaderingen k2(B2 /2 - 1) » (2 - a2)/c2, als B2 » 2 dat is T2 » TB2 dan m2 = k2(N2 /2-1) B2 /2 » 1 m/k =  B/  cos = T/TB periode bepaalt richtingshoek  fasevoortplanting Hor. golflengte

Groepssnelheid zwaartegolven 2 = (Bk/m)2  =  Bk/m cg = (/k,0,/m) cg = ( B/m,0, Bk/m2) opwekking nabij aardoppervlak cgz  0  = - Bk/m cg = (- B/m, 0,  Bk/m2) fasevoortplanting k = (k, 0, m) (cg . k) = 0 fasesnelheid en groepssnelheid loodrecht

Fasesnelheid en groepssnelheid geluidsgolven en zwaartegolven golf Zwaarte golf

Boussinesq benadering: lucht onsamendrukbaar maar verticaal gelaagd m2 = k2(B2 /2-1) + 2/c2 polisarisatierelaties. p´ = pcos(kx +mz – t) u = kp/0cos(kx +mz – t) w = -k2/0mpcos(kx +mz – t) = mp/gsin(kx +mz – t) u,w,p fase verschil 0, 180, 90 met  (m negatief)

leigolven opgewekt door gebergte achtergrondwind u0 m2/k2 = B2/( - ku0) 2 orografie c = 0 m = B/u0 verticale golflengte bepaald door BV frequentie en wind op bepaalde hoogte

Vrij voortplantende golven, B > ku0 Opgesloten golven, N < ku0

Netwerk 50 ozonsonde stations ter wereld De Bilt, Paramaribo Golfstructuur ozon(blauw),temperatuur(groen)

Zwaartegolven,achtergrondwind u0(z) Taylor-Goldstein vergelijking (/z)2w(z) + m2(z)w(z) = 0 m2(z) = k2B2/(-ku0)2 - k2 + u0zz/(-ku0) m2(z) brekingsindex - ku0 Doppler verschoven frequentie wind brekingsindex (grijs, geen voortplanting) k1,k2

Brekingsindex m2(z) = k2B2/(-ku0)2 - k2 + u0zz/(-ku0) turning level, m2 = 0, m2 negatief, geen golfvoortplanting, totale reflectie

Kritieke laag, fase snelheid golf gelijk aan achtergrondwind dispersie relatie m2(z) = k2 B2/(-ku0)2 - k2 + u0zz/(-ku0)  = ku0 , m2  , verticale golflengte naar 0

Kritieke laag, fase snelheid golf gelijk wind gedrag golf afhankelijk Richardson getal, Ri getal, maat voor dynamische stabiliteit Ri = N2/(du/dz)2 absorptie golfenergie als Ri 1/4 overreflectie als Ri  ¼ interactie golf met achtergrondstroming Ri  ¼, stroming instabiel

Samenvatting Geluidsgolven door samendrukbaarheid atmosfeer Zwaartegolven door verticale gelaagdheid Voortplanting, richting en snelheid van golven afhankelijk temperatuur en wind-verdeling. Geluidsgolven, communicatie, geluidsoverlast. Zwaartegolven belangrijk voor dynamica en samenstelling van atmosfeer