Les 6

Fouriertransformatie Joseph Fourier (1768-1830) Fourier analyse, spectrale analyse, spectrale decompositie, Fouriertransformatie Fourier synthese, spectrale synthese, spectrale compositie, inverse Fouriertrasformatie, additieve synthese

Basisidee: Periodieke signalen bestaan uit een superpositie van sinusoïdale signalen Transformatie van tijdsdomein naar frequentiedomein, en omgekeerd (analyse-synthese, decompositie-compositie, transformatie-inverse transformatie) Discrete Fourier Transformatie: DFT (FFT)

Toepassingen: Phase-vocoder  voorbeeld van real-time vocoder

Amplitudespectrum en fasespectrum Geluidsprisma http://www.jhu.edu/~signals/index.html

Voorbeeld additieve synthese Genereer bovenstaande figuren in Matlab w = 2p, t=(0:99)/100

Voorbeeld spectraal analyse Genereer dit in Matlab = 2p, t=0:T, T=99/100, k=-10:10 S(k)

Signalen vermenigvuldigen Als het productsignaal overal positief is, dan zijn de vermenigvuldigde signalen identiek (de som geeft hoge waarde) Gemixt positief en negatief: signalen zijn niet identiek (som geeft lage waarde, of nul)

Matlab voorbeelden Synthese Analyse: Amplitude en fase zijn nodig voor een volledige analyse Negatieve frequenties worden in rekening gebracht

Fouriertransformatie als (de)compositie Voorstelling vanuit vector(de)compositie Werken met fasers

Decompositie als projectie 1 2 3 Decompositie van een vector

Basis is orthogonaal

Fasers als basis Wat we willen is:

Spectraal-analyse

Merk op

Matlab - decompositie Complex signaal a1 = exp(-j*3*2*pi*(0:19)/20) .* exp(-j*1*2*pi*(0:19)/20); sum(a1)  0; a2 = exp(-j*3*2*pi*(0:19)/20) .* exp(-j*2*2*pi*(0:19)/20); sum(a1) 0; a3 = exp(-j*3*2*pi*(0:19)/20) .* exp(-j*3*2*pi*(0:19)/20); sum(a3)  20 a17 = exp(-j*3*2*pi*(0:19)/20) .* exp(-j*17*2*pi*(0:19)/20); sum(a17)  0 Reëel signaal: a3 = cos(3*2*pi*(0:19)/20) .* exp(-j*3*2*pi*(0:19)/20); sum(a3)  10 a17 = cos(3*2*pi*(0:19)/20) .* exp(-j*17*2*pi*(0:19)/20); sum(a)  10

Gebruik van FFT in Matlab

Tijdsdomein - Frequentiedomein Amplitudespectrum en fasespectrum

Voorstelling in TD en FD 1kHz Beats Amplitudemodulatie Frequentiemodulatie Harmonisch tooncomplex

Toepassingen: Muziekanalyse op basis van klanken  voorbeeld: audacity

Toepassing: verandering van toonhoogte fft van reëel signaal Alle frequenties verschuiven Via ifft naar complex tijdsignaal

Toepassing: demodulator Signaal opnemen fft van reëel signaal Analytisch signaal maken helft van fft op nul te zetten Via ifft naar complex tijdsignaal Amplitude van complex tijdsignaal

Fourier Synthese Demo: Fourier Series