Module ribBMC1 Beginnen met construeren Week 05 Studiejaar 2007 - 2008 Studiepunten 3 ECTS Bouwkunde / Civiele techniek

Week 05 Theorie: Momentstelling & Evenwichtsvoorwaarden Spanningsleer Horizontale en verticale schuifkrachten. Onderwerp: D-lijnen, dwarskracht, schuifkracht Opdracht: Bereken de dwarskrachten en teken de D-lijnen van de liggers. Bereken en controleer de schuifspanningen Boek: F.Vink, hst. 8 + 9 + 17 + opgaven

TOETS Gevraagd Reaktiekrachten D -lijn Dwarskracht in P Vanaf welke afstand van punt A is het moment maximaal q = 4 kN/m q = 2 kN/m A P B 2.5 5

TOETS - oplossing Q1 = 2 * 2.5 = 5 kN Q2 = 4 * 2.5 = 10 kN ΣM t.o.v. A = 0 -5 * 1.25 – 10 * 3.75 + 5Fb = 0 Fb = 8.75 kN ΣFv = 0 5 + 10 - 8.75 – FA = 0 FA = 6.25 kN Dwarskrachten V1 = 6.25 V2 = 6.25 – 5 = 1.25 V3 = 1.25 – 10 = - 8.75 V4 = -8.75 + 8.75 = 0 q = 4 kN/m q = 2 kN/m A B 2.5 FB = 8.75 FA = 6.25 kN 5 6.25 1.25 D - lijn P 8.75

TOETS - oplossing Dwarskracht in punt P Vp = 6.25 – (2 * 2.5) = 1.25 kN Dwarskracht = 0 x = 1.25 / 4 = 0,3125 Afstand vanaf A 2.5 + 0,3125 = 2,8 Snijpunt D-lijn Dwarskracht = 0 Moment = Maximaal 6.25 1.25 D - lijn A P x 2,8

Dwarskracht en schuifspanninen Schuifspanningen zijn voor de meeste materialen moeilijker te verwerken dan normaalspanning. De materiaalschuifspanning (fv) is meestal aanzienlijker lager dan de trekspanning (ft) Schuifspanningen komen altijd in onderlinge loodrechte paren voor. Langsschuifkrachten (denk aan losse stapel planken) worden in een massieve balk tegengewerkt door de materiaalschuifspanningen.

Dwarskracht en schuifspanninen Als in een vlak langsschuifspaningen werken , dan zullen in het vlak loodrecht hierop ook schuifspanningen werken. De schuifspanning (τdwars) in de dwarsdoorsnede (verticale vlakken) kunnen alleen optreden als er ook schuifspanningen (τlangs) optreden in de horizontale vlakken. Op de plaats van de neutrale laag is de schuifspanning maximaal.

Dwarskracht en schuifspanninen Verduidelijking Dus door een dwarskracht wordt er een gemiddelde schuifspanning τ opgewekt. τgemid = Fd/A Bij en rechthoekige doorsnede is de schuifspanning niet gelijkmatig over de doorsnede verdeeld. De schuifspanning is namelijk maximaal in het neutrale vlak en nul in de bovenste en de onderste balkvezels. τmax = 1,5 * Fd/b*h (in N/mm2) Voor I-profielen en kokerliggers, waarvan het lijf relatief dun is t.o.v de flenzen, mag worden aangenomen dat de schuifspanning wel gelijkmatig verdeeld is over de doorsnede. Unity Check; U.C. = τmax/fv < 1 (in N/mm2)

Dwarskracht en schuifspanninen

Schuifspannning I - profiel

Schuifspannning I - profiel

Schuifspannning I - profiel IPE120 fy = 235 N/mm2 Vmax = 7,86 kN 8 5 114 8 120

Schuifspannning I - profiel Vz;u;d=0,58 * hd * tw * fy;d Vz;u;d=0,58 * (114 –(2*8) * 5 * 235 Vz;u;d= 66787 N = 67 kN U.C. = 7,86 / 67 ≤ 1 Sterkte op afschuiving is akkoord

Schuifspanning samengesteld profiel

Schuifspanning samengesteld profiel Controleer de schuifspanning in de lijfplaten van het boven weergegeven samengesteld profiel. τ = Fd / 2h * d = 2500 / 2 * 320 * 10 τ = 0,39 N/mm2 < 1 N/mm2, dus goed De dwarskracht wordt nagenoeg geheel door de lijfplaten opgenomen.

Schuifspanning samengesteld profiel Het aantal draadnagels nodig voor de verbinding lijf – flens, als per nagel 0,2 kN toelaatbaar is . Fschuif = 0,39 * 10 * 5000 = 19,5 kN De nagels geven een verzwakking van 20%, dus Fpraktisch = 24 kN Het aantal nagels over de halve lengte is dan: 24 / 0,2 = 120 nagels. (gelijkmatig verdelen)

Tekenafspraak We rekenen een buigend moment positief als de onderste vezels van de balk op trek worden belast. We rekenen een buigend moment negatief als de onderste vezels van de balk op druk worden belast.

Ligger met verdeelde belasting en puntlasten F1 = 4kN Q1 = 3 * 1 = 3 kN Q2 = 10 * 2 = 20 kN Q3 = 4 * 1 = 4 kN Q1 Q2 F1 = 2kN Q3 q2 = 10 kN/m q1 = 4 kN/m q1 = 3 kN/m A B FAv = 11,17 kN FBv = 21,83 kN 1 1/2 1/2 2 1/2 1/2 1 ΣM t.o.v. A = 0 +3 * ½ - 4 * ½ - 20 * 2 – 2 * 3 ½ - 4 * 4 ½ + 3FB = 0 FB = 21,83 kN ΣFv = 0 -FA + 3 + 4 + 20 – 21,83 + 2 + 4 = 0 FA = 11,17 kN

Voorbeeld D - lijn Q1 = 3 * 1 = 3 kN Q2 = 10 * 2 = 20 kN F1 = 4kN Q1 = 3 * 1 = 3 kN Q2 = 10 * 2 = 20 kN Q3 = 4 * 1 = 4 kN Q1 Q2 F1 = 2kN Q3 q2 = 10 kN/m q3 = 4 kN/m q1 = 3 kN/m A B FAv = 11,17 kN FBv = 21,83 kN 1 1/2 1/2 2 1/2 1/2 1 - 15,83 + 21,83 = 6 -3 + 11,17 = 8,17 8,17 - 4 = 4,17 6 – 2 = 4 D - lijn 4 – 4 = 0 0 – 3 = - 3 Vmax = 15,83 kN 4,17 - 20 = - 15,83

Voorbeeld M - lijn MOMENTEN - (3 * 1) * ½ = - 1 ½ 8,17 6 MOMENTEN 4,17 4 - (3 * 1) * ½ = - 1 ½ -1 ½ + (8,17 * ½) = 2,585 D - lijn 1 1/2 1/2 2 1/2 1/2 1 2,585 + (4,17 * ½ ) = 4,67 4,67 + ((4,17 * 0,417)* ½) = 5,539 - 3 5,539 -((1,538 * 15,83) * ½ = - 7 -7 + (6 * ½ ) = - 4 - 15,83 Mmax = -7 kNm - 4 + (4 * ½ ) = - 2 - 7 - 2 +(4 * ½ ) = 0 - 4 -1 ½ - 2 m - lijn + 2,585 4,67 5,539

Opdracht 1 Gevraagd: Reaktiekrachten in A en B D – lijn M – lijn 10 10 10 10 10 Gevraagd: Reaktiekrachten in A en B D – lijn M – lijn Resultante Aangrijpingspunt resultante Vmax Mmax A B 1 1,5 1,5 1

Opdracht 1 - oplossing 10 10 10 10 10 ΣM t.o.v. A = 0 10 * 1 -10 * 1.5 – 10 * 3 – 10 * 4 * 3FB = 0 FB = 75 / 3 = 25 kN ΣFv = 0 (5 * 10) – 25 – FB = 0 FB = 25 kN Dwarskrachten V1 = 10 kN, V2 = 10 + 10 - 25 = - 5 kN, V3 = -5 + 10 = 5, V4 = 5 + 10 – 25 = -10 kN, V5 = -10 + 10 = 0 A B 25 kN 25 kN 1 1,5 1,5 1 -10 + 5 D-lijn 5 10 -

Opdracht 1 - oplossing Vmax = 10 kN Mmax = 10 kNm Momenten 5 Momenten M1 = 10 * 1 = 10 kNm, M2 = 10 – (5 * 1,5) = 2.5 kN, M3 = 2.5 + (5 * 1.5) = 10 kN, M4 = 10 – (10 * 1) = 0 kN - D-lijn + 5 10 1 1,5 1,5 1 - M-lijn + 2.5 Vmax = 10 kN 10 10 Mmax = 10 kNm

Opdracht 1 - oplossing = Resultante Fr = 5 * 10 = 50 kN Aangrijpingspunt resultante ΣM t.o.v. A = 0 10 * 1 -10 * 1.5 – 10 * 3 – 10 * 4 = 50 * x x = 1.5 10 10 10 10 10 F= 50 = A B A B 1 1,5 1,5 1 1 1,5 1,5 1

Opdracht 2 Gevraagd: Reaktiekrachten in A en B D – lijn M – lijn F = 3 kN Gevraagd: Reaktiekrachten in A en B D – lijn M – lijn d. Vmax e. Mmax q = 2 kn/m A B F = 3 kN 3 5

Opdracht 2 - oplossing ΣFh = 0 -3 + 3 = 0 M = 15 kNm F = 3 kN ΣM t.o.v. A = 0 - (2 * 3) * 1.5 – (3 * 1) + (3 * 1) + M1 = 0 M = 9 kNm Koppel (3 * 2) + M2 = 6 kNm Mmax 9 + 6 = 15 kNm ΣFv = 0 (2 * 3) – FA = 0 FA = 6 kN ΣFh = 0 -3 + 3 = 0 Vmax = 6 kN Mmax = 15 kNm q = 2 kn/m FA = 6 kN 3 5 F = 3 kN 6 D-lijn 15 6 M-lijn

Opdracht 3 Gevraagd: Reaktiekrachten in A en B D – lijn M – lijn F = 2.8 kN Gevraagd: Reaktiekrachten in A en B D – lijn M – lijn d. Vmax e. Mmax q = 2 kn/m q = 0.7 kn/m A B 1 1/2 2 1 1

Opdracht 3 - oplossing F = 2.8 kN q = 2 kn/m q = 0.7 kn/m A B 1 1/2 2 ΣM t.o.v. A = 0 0.7 * 1.5 * .25 – 2 * 2 * 3.5 – 2.8 * 3.5 + 3.5FB = 0 FB = 7.525 kN ΣFv = 0 0.7 * 1.5 + 4 + 2.8 – 7.525 – FA = 0 FA = 0.325 kN Dwarskrachten V1 = 0 - 0.7 * 1 = - 0.7 kN, V2 = - 0.7 + 0.325 = - 0.375 kN, V3 = - 0.375 – 0.7 * 0.5 = - 0.725, V4 = - 0.725 V5 = - 0.725 – 2 * 1 = - 2.725, V6= -2.725 + 7.525 = 4.8, V7 = 4.8 – 2 * 1 = 2.8, V8 = 2.8 – 2.8 = 0 q = 2 kn/m q = 0.7 kn/m FA = 0.325 kN FB = 7.525 kN A B 1 1/2 2 1 1 4.8 2.8 -0.375 -0.7 -0.725 -2.725

Opdracht 3 - oplossing Momenten M1 = -0.7 * 1 * ½ = - 0.35, -3.8 -2.075 -0.625 -0.35

Opdracht 4 Gevraagd: Reaktiekrachten in A en B D – lijn M – lijn A F = 1 kN Gevraagd: Reaktiekrachten in A en B D – lijn M – lijn d. Vmax e. Mmax q = 2 kN/m1 A 1.5 1.5

Opdracht 4 - oplossing A B - + F = 1 kN 5.25 kNm q = 2 kN/m1 1.5 1.5 De vezels onder in de balk worden op druk belast, dus buiging is negatief. ΣFv = 0 -FA + (2 * 1.5) + 1 = 0 FA = 4 kN Inklemming -3 * 0.75 – 1 * 3 + MA = 0 MA = 5.25 kNm Dwarskrachten V1 = 4 kN V2 = 4 – (2 * 1.5) = 1 kN V3 = 1 kN V4 = 1 – 1 = 0 kN Momenten M1 = 5.25 kN M2 = 5.25 – 3.75 = 1.5 kN M3 = 1.5 – (1 * 1.5) = 0 kN F = 1 kN 5.25 kNm q = 2 kN/m1 A B 1.5 1.5 4 kN 4 1 D-lijn 5.25 1.5 - M-lijn +

Opdracht 5 Gevraagd: Reaktiekrachten in A en B D – lijn M – lijn A d. Vmax e. Mmax q = 2 kN/m1 A 1.5 1.5

Opdracht 5 - oplossing A 5.25 kNm q = 2 kN/m1 1.5 1.5 4 kN D-lijn -1 De vezels onder in de balk worden op druk belast, dus buiging is negatief. ΣFv = 0 -FA + (2 * 1.5) + 1 = 0 FA = 4 kN Inklemming 3 * 0.75 + 1 * 3 - MA = 0 MA = - 5.25 kNm Dwarskrachten V1 = -1 kN V2 = -1 kN V3 = -1 – (2 * 1.5) = -4 kN V4 = -4 + 4 = 0 kN Momenten M1 = -1 * 1.5 = - 1.5 kNm M2 = -1.5 – 3.75 = - 5.25 kNm M4 = - 5.25 + 5.25 = 0 kNm q = 2 kN/m1 A 1.5 1.5 4 kN D-lijn -1 -1 -4 5.25 1.5 M-lijn

Voorbeeld#1

Voorbeeld#1

Voorbeeld#1 - Dwarskrachtenlijn

Voorbeeld#1 - Momentenlijn

Voorbeeld#2

Voorbeeld#2

Voorbeeld#2 - Dwarskrachtenlijn

Voorbeeld#2 - Momentenlijn

Voorbeeld#3

Voorbeeld#3

Voorbeeld#3 - Dwarskrachtenlijn

Voorbeeld#3 - Momentenlijn

Voorbeeld#4 F1=4√2

Voorbeeld#4 ΣFv = 0

Voorbeeld#4 - Dwarskrachtenlijn

Voorbeeld#4 - Momentenlijn

Voorbeeld#4 - Normaalkrachtenlijn

EINDE Docent: M.J.Roos