ribwis1 Toegepaste wiskunde, ribPWI Lesweek 01 IBB ribwis1 Toegepaste wiskunde, ribPWI Lesweek 01 Opleiding: Bouwkunde / Civiele techniek Propadeuse, kernprogramma 2e kwartaal

Merkwaardige produkten Haakjes verdrijven Het wegwerken van haakjes bij vermenigvuldigingen. Term: Een element van een optelling of aftrekking Factor: Een element van een vermenigvuldiging.

Merkwaardige produkten Haakjes verdrijven M(eneer) V(an) D(alen) W(acht) O(p) A(ntwoord). Machtsverheffen gaat voor op Vermenigvuldigen Vermenigvuldigen gaat voor op Delen Delen gaat voor op Worteltrekken Worteltrekken gaat voor op Optellen Optellen gaat voor op Aftrekken

Merkwaardige produkten Haakjes verdrijven Rekenregel 01 a x (b + c) = a x b + a x c = a a axb axc b + c b c

Merkwaardige produkten Haakjes verdrijven Rekenregel 02 (a + b) x (c + d) = a x c + a x d + b x c + b x d a a x c a x d = a + b b x c b x d b c d c + d

Merkwaardige produkten Haakjes verdrijven Rekenregel 03 a(b + c + d) = ab + ac + ad = a a ab ac ad b + c + d b c d

Merkwaardige produkten Haakjes verdrijven Rekenregel 04 (a + p)(a + q) = a2 + (p + q)a + pq a*a + a*q + a*p + p*q a*a a*q a = a + p a*p p*q p a + q a q

Merkwaardige produkten Haakjes verdrijven Rekenregel 05 (a + b)(a – b) = a2 – b2 a*a – a*b + a*b – b*b a a x a - a x b = a + b a x b - b x b b a b a - b

Merkwaardige produkten Haakjes verdrijven Rekenregel 06 (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2 a*a + a*b + a*b + b*b a a*a a*b = a + b a*b b*b b a + b a b

Merkwaardige produkten Haakjes verdrijven Rekenregel 07 (a – b)2 = (a - b)(a - b) = a2 – 2ab + b2 a*a – a*b – a*b -b*-b a a*a - a*b = a - b -b - a*b -b*- b a - b a -b

Voorbeeld – Haakjes wegwerken

Uitwerking – Haakjes wegwerken

Merkwaardige produkten Ontbinden in factoren Het omgekeerde van haakjes verdrijven Wordt toegepast bij het oplossen van vergelijkingen en vereenvoudigen van breuken De rekenregels 3 tot en met 8 maar nu van links naar rechts gelegen. Bij ontbinden in factoren dienen de termen een dalende reeks van de machten te vormen.

Merkwaardige produkten Ontbinden in factoren Rekenregel 08 ab + ac + ad = a(b + c + d) Rekenregel 09 ac + bc + ad + bd = (a + b) x (c + d) Rekenregel 10 a2 + (p + q)a + pq = (a + p) x (a + q) Rekenregel 11 a2 – b2 = (a + b) x (a – b)

Merkwaardige produkten Ontbinden in factoren Rekenregel 12 a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 Rekenregel 13 a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 Rekenregel 14 x2p – y2q = (xp)2 – (yq)2 = (xp – yq)(xp+yq)

Merkwaardige produkten Ontbinden in factoren Rekenregel 15 x2p ± 2xpyq + y2q = (xp)2 ± 2xpyq + (yq)2 = (xp ± yq)2 Rekenregel 16 ax2 + bx + c = (rx + p)(sx + q), met r en s gegeven; voor p en q geldt pq = c en (rq + ps) = b

Voorbeeld Merkwaardige produkten

Uitwerking Merkwaardige produkten

Oplossen van vergelijkingen Linkerlid en rechterlid mogen; met hetzelfde getal vermenigvuldigd worden met hetzelfde getal vermeerderd worden met hetzelfde getal verminderd worden door hetzelfde getal gedeeld worden.

Oplossen van vergelijkingen Het ontbinden in factoren wordt toegepast bij het oplossen van vierkantsvergelijkingen Een tweede manier om de kwadratische vergelijking op te lossen is de ABC-formule

Definitie Definitie vierkants- of tweedegraadsvergelijking: ax2 + bx + c = 0 (a, b en c zijn constanten en a ≠ 0)

Oplossen van vergelijkingen Theorie om vierkantsvergelijking met ontbinden in factoren op te lossen Herleid de vergelijking op nul Bepaal welke rekenregels de vergelijking te ontbinden is en voer deze uit. Stel beide factoren gelijk aan nul en los de zo verkregen vergelijkingen op.

Voorbeeld 2e graadsvergelijking

Grafiek: y = x2 + 5x + 6

Voorbeeld 2e graadsvergelijking

Uitwerking 2e graadsvergelijking

Grafiek: y = x2 + 5x + 4

ABC-formule Vierkantsvergelijking oplossen met de ABC-formule Indien de vierkantsvergelijkin ax2 + bx + c = 0 niet zomaar met het ontbinden in factoren is op te lossen gebruikt men de ABC-formule. Voor x1 en x2 geldt dan;

Discriminant D = Discriminant = b2 – 4ac Als de uitkomst van b2 – 4ac onder het wortelteken negatief is zijn er geen reële oplossingen D < 0, geen oplossing voor de vierkantsvergelijking D = 0, dan 1 oplossing D > 0, dan 2 oplossingen.

Voorbeeld ABC-formule 8x2 + 20x -28 = 0

Uitwerking ABC-formule

Uitwerking ABC-formule

Uitwerking ABC-formule x = - 3 ½ of x = 1

Grafiek: y = 8x2 + 20x - 28

EINDE Docent: M.J.Roos WWW.HRO.MROOS.COM