Hogere wiskunde Limieten college week 4 Een inleiding. M.J.Roos 8 mei 2011

Limieten Het begrip Limiet of Grenswaarde wordt gebruikt als we een functie bestuderen in de buurt van een punt waar de functie niet gedefinieerd is. Een functie is op een bepaald interval continue als we haar grafiek in dat interval kunnen tekenen zonder onze pen van het papier te lichten. Punten waarin de functie niet continue is kunnen worden geclassificeerd met behulp van limieten. Het Limietbegrip is het fundament van de differentiaal – en integraalrekening

Limieten Voorbeeld 1 Bovenstaande functie bestaat niet in x = 2 (delen door nul!) f(2) is dus niet gedefinieerd. We laten x nu steeds dichter tot de waarde 2 naderen. Bij het substitueren van x =2 in het functievoorschrift f(2) krijgen we Om de limiet te bepalen is nader onderzoek nodig (tabel)

Limieten De functiewaarde komt steeds dichter bij 3 te liggen. Dit gebeurt als we x van bovenaf steeds dichter bij 2 kiezen maar ook als we x van onderaf tot 2 laten naderen. De Limiet van f(x): Als x nadert vanaf de bovenkant tot 2, is gelijk aan de waarde 3, we noteren: Als x nadert vanaf de onderkant tot 2, is gelijk aan de waarde 3, we noteren: De eerste limiet (bovenaf) wordt het rechterlimiet genoemd De tweede limiet wordt het linkerlimiet (onderaf) genoemd. Omdat de limieten in de eerste en tweede situatie gelijk zijn noteren we: Zegswijze: De limiet van f(x), als x nadert tot 2, is 3.

Limieten Voorbeeld 2 Bovenstaande functie bestaat niet in x = -2 De functiewaarden naderen niet tot een bepaald getal. De functiewaarden worden oneindig groot. De gevraagde Limiet van deze functie bestaat dus niet. Bij het substitueren van x =-2 in het functievoorschrift f(-2) krijgen we De Limiet bestaat dan niet.

Limieten f(x) nadert 1,5 als x steeds groter wordt gekozen. Voorbeeld 3 f(x) nadert 1,5 als x steeds groter wordt gekozen. We noteren dit als:

Limieten Wanneer x vanaf links of vanaf rechts tot a nadert en f(x) nadert daarbij tot L, dan schrijven we: Altijd geldt: Is daarentegen, door welke oorzaak dan ook, Dan zeggen we dat de Limiet niet bestaat. Ook indien, of dan zeggen we dat de limiet niet bestaat.

Limieten Rekenregels Als f(x) = c voor alle x in Df, dan geldt: Hierin stelt c een constante voor, f(x) heeft voor alle waarden van x in D, blijkbaar dezelfde waarde, het is echter wel degelijk een functie van x 2. Vermenigvuldigen we f(x) met een constante c, dan geldt: Ook deze regel ligt nogal voor de hand. Er staat: als bij het naderen van x tot a, f(x) nadert tot een limiet L, dan nadert de functie c * f(x) tot de limiet c * L 3. Tellen we de functies f(x) en g(x) bij elkaar op dan geldt: Op voorwaarde dat deze limieten bestaan. 4. Trekken we de functies f(x) en g(x) van elkaar af dan geldt:

Limieten Vervolg rekenregels Bij het vermenigvuldigen van de functies f(x) en g(x) geldt voor de limiet: Bij het delen van de functies f(x) en g(x) geldt voor de limiet: Als x willekeurig of onbegrensd groot wordt gekozen (neg. of pos.)

Limieten Voorbeeld1, rekenregel 2 Voorbeeld 2, rekenregel 4

Limieten Limieten van quotienten met veeltermen in teller en noemer waarbij x tot a nadert: Invullen van x = 2 leidt tot de onbepaalde vorm van 0 / 0, teller en noemer zijn dus ontbindbaar en bevatten de factor x - 2 Invullen van x=-1 leidt tot 0 / 0, zodat we weten dat teller als noemer de factor x + 1 bevatten.

Limieten Invullen van x = 5 leidt tot de onbepaalde vorm 0 / 0. Om via ontbinding iets te bereiken passen we de worteltruc toe. In dit voorbeeld nadert x tot oneindig hetgeen leidt tot de onbepaalde vorm We lossen dit probleem op door de teller en de noemer te delen door de hoogste macht van x, we krijgen dan:

Limieten In dit voorbeeld nadert x tot oneindig hetgeen leidt tot de onbepaalde vorm We lossen dit probleem op door de teller en de noemer te delen door de hoogste macht van x, we krijgen dan: De teller en noemer zijn door x gedeeld, onder het wortelteken moet dan door x2 worden gedeeld.

Limieten Goniometrische verhoudingen Hierbij moet de x in radialen zijn uitgedrukt. In de buurt van x=0 komen de grafieken steeds dichter bij elkaar. Ze gaan onder dezelfde hoek door de oorsprong.

Limieten Voorbeeld 1 Voorbeeld 2

Limieten Voorbeeld, onderzoek de functie in x = 0

Limieten Voorbeeld

Limieten Type Indien we steeds grotere waarden voor n invullen, dan merken we dat de limiet niet 1 wordt, maar ook niet oneindig groot. De eerste elf termen leveren als som: 2,718282…. Een niet-rationeel getal (e), veel groter zal de som niet worden

Limieten Voorbeeld

Limieten In het voorgaande zagen we dat als we n steeds groter kiezen het mogelijk is dat de uitkomst van Sn na een aantal termen al tot een bepaald getal nadert. We kunnen ons dus afvragen hoeveel groter de uitkomst wordt als we nog meer termen opnemen.

Limieten Als de limiet van Sn bestaat als n nadert tot oneindig dan heet de reeks convergent. Als de limiet van Sn niet bestaat als n nadert tot oneindig dan heet de reeks divergent. Als de Limiet van Sn bestaat dan is deze gelijk aan een zeker getal (dus niet oneindig) en heet de reeks convergent.

Limieten Hoe groot is de uitkomst bij een meetkundige reeks als c>1 of als c<-1? Als bestaat, dan moet bestaan Dit is het geval als bestaat, dus als -1<c<1 In dat geval is Er geldt: Samengevat: als -1 < c < 1

Limieten Voorbeeld: Ga na of de reeks convergent is? ( -1 < c < 1) dus convergent

Vervolgcursus: Limieten en continuiteit Einde Vervolgcursus: Limieten en continuiteit