Hogere Wiskunde Rijen en Reeksen Sommeren College week 3 Een inleiding M.J.Roos 8 mei 2011
Rijen en Reeksen sommeren is de som van de getallen f(k) die ontstaat als k achtereenvolgens de waarden m, m + 1,….n (n ≥ m) doorloopt. In formulevorm:
Rijen en Reeksen sommeren n! is het produkt van alle getallen van alle natuurlijke getallen van n tot en met 1 (n in N+) In formulevorm luidt deze definitie: n! = n * (n – 1) * (n – 2)…..3 * 2 * 1 Voorbeelden: 3! = 3 * 2 * 1 = 6 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24, maar ook 4! = 4 * 3! (n + 1)! = (n + 1) * n * (n – 1) * (n – 2)….3 * 2 * 1 = (n + 1) * n!
Rijen en Reeksen sommeren Voorbeelden: Definitie: 0! = 1
Rijen en Reeksen sommeren Binomiaalcoeficienten Voorbeelden
Rijen en Reeksen sommeren De Driehoek van Pascal (a + b)0 = 1 (a + b)1 = a1 + b1 (a + b)2 = a2 + 2a1b1 + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b1 + 3a1b2 +b3 (a + b)4 = a4 + 4a3b1 + 6a2b2 + 4a1b3 + b4 De macht van a, van links naar rechts, neemt met 1 af en de macht van b neemt met 1 toe.
Rijen en Reeksen sommeren De Driehoek van Pascal De coefficienten van de machten a en b kunnen we als volgt rangschikken 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1
Rijen en Reeksen sommeren Nemen we bijvoorbeeld de laatste rij: 1, 5, 10, 10, 5 Dan zijn deze getallen gelijk aan de uitkomsten van: Deze getallen in de Driehoek van Pascal worden binomiaalcoefficienten genoemd
Rijen en Reeksen sommeren Het Binomium van Newton
Rijen en Reeksen sommeren Het Binomium van Newton We kunnen nu voor (a + b)n opschrijven: Met de Ʃ-notatie kunnen we dit opschrijven als: Deze reeks heet de Binomiaalontwikkeling van (a+b)n
Rijen en Reeksen sommeren Voorbeeld, bewijs dat Men kan de faktor 16-k toevoegen omdat deze altijd gelijk is aan 1.
Rijen en Reeksen sommeren Voorbeeld, bewijs dat