Periode verdubbeling...en chaos
Laag dimensionale modellen Dynamica en bifurcaties kunnen vaak met laag dimensionale modellen verklaard worden. Het ontstaan van chaos door een cascade van periode verdubbelingen kan met één dimensionale afbeeldingen verklaard worden
Cascade van periode verdubbelingen
Periode verdubbeling
Renormalisatie
Sharkovskii Een continue afbeelding op een interval met een periodiek punt van periode drie, heeft periodieke punten van elke periode Deze stelling werd in 1964 bewezen door Sharkovskii En in 1975 herontdekt door Yorke, die er de naam chaos aan verbond
We gaan de stelling bewijzen in drie slides Het bewijs maakt gebruik van de tussenwaardestelling in deze vorm: We gaan de stelling bewijzen in drie slides Het bewijs maakt gebruik van de tussenwaardestelling in deze vorm:
Een afbeelding met een punt van periode drie
f(I) overdekt J I → J f(J) overdekt I en J J → I en J → J Nog een afbeelding met een punt van periode drie
De rest van het bewijs: de periodieke punten J → J f(J) overdekt J: er is een dekpunt f(x) = x in J I → J → I er is een interval Î in I met f(Î)=J en f(f(Î)) overdekt Î, dus er is een punt x in Î met f(x) in J en f(f(x)) = x I → J → J → I dit levert een punt van periode 3 I → J → J → J → I dit levert een punt van periode 4 I → J → J → J → J → I periode 5, etcetera
Met grafentheorie Elk gesloten pad correspondeert met een periodieke baan. Dit geeft een codering met symbolen I,J. Voorbeelden: IJJIJIJJ, IJIJJ, IJIJJIJJJ.
Waarneembare chaos Chaos in een attractor kan ook. Links is een histogram van een tijdreeks voor de logistische afbeelding m x (1-x) met m=3.95