Download de presentatie
De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub
1
Kaleidoscoop 5-4-2004 Aad Goddijn 1 Cirkels en Hoeken Van Hoeken naar Draaien Liggende Sneeuwman Sneeuwman in de hangmat Oneindig veel stellingen in 2 regels bewijzen.
2
Kaleidoscoop 5-4-2004 Aad Goddijn 2 Bekende Stellingen Koordenvierhoek: X + Y = 180 Hoeken op vaste boog: X = Y Wat een zooitje!
3
Kaleidoscoop 5-4-2004 Aad Goddijn 3 S: snijpunt van A- en B-cirkel. A + RSP = 180 ; B + PSQ = 180 (A + B + C) + (RSP +PSQ+QSR) = 540 C + QSR = 180 Cirkel (CRQ) gaat ook door S. ………………………………Maar.. Miquellijn.figMiquellijn.fig Stelling van Miquel ABC, P, Q, R, >>> S !!
4
Kaleidoscoop 5-4-2004 Aad Goddijn 4 Op zoek naar een beter soort hoeken!! Experiment: Stelling geldt veel ruimer dan het bewijs suggereert. Gevalsonderscheiding is hopeloze zaak. Unificeer koordenvierhoek en constante hoek op constante boog.
5
Kaleidoscoop 5-4-2004 Aad Goddijn 5 A, B vast; X draait linksom AX draait half zo snel als MX AX draait dus even snel als BX draaiAMX.fig
6
Kaleidoscoop 5-4-2004 Aad Goddijn 6 Draai-achterstand AX op BX is constant
7
Kaleidoscoop 5-4-2004 Aad Goddijn 7 Georiënteerde hoeken (1) De georiënteerde hoek van lijnen l en m is: draaiingshoek (tegenkloks) die l moet maken om evenwijdig aan m te worden. Notatie: (l, m) (op deze computer) Kenmerken: 1.Rekenen module 2. (AB, CD ) = (XB, YD ) voor alle X ( B) op AB en Y ( D) op CD 3. (l, m) = - (m, l); Antisymmetrisch! 4. (l, m) + (m, n) = (l, n) (hoekensom) 5. (l, m) + (m, n) + (n, l) = 0 (driehoek!)
8
Kaleidoscoop 5-4-2004 Aad Goddijn 8 Georiënteerde hoeken (2) Hoofdstelling: Vier punten A, B, X, Y liggen d.e.s.d. op een ‘cirkel’, als (XA, XB ) = (YA, YB ) Praktisch: Vertaal bewijzen die koordenvierhoek of constante hoek gebruiken in -taal. Resultaat: Kortere bewijzen, algemenere bewijzen zonder gevalsonderscheidingen.
9
Kaleidoscoop 5-4-2004 Aad Goddijn 9 S: snijpunt van A- en B-cirkel. (CR, CQ ) = (CA, CB ) = = (CA, AB ) + (AB, CB ) = = (AR, AP ) + (BP, BQ ) = = (SR, SP ) + (SP, SQ ) = = (SR, SQ ) Cirkel (CRQ) gaat ook door S. QED. Waar P, Q, R ook liggen !! Stelling van Miquel (nieuw bewijs) ABC, P, Q, R, >>> S !!
10
Kaleidoscoop 5-4-2004 Aad Goddijn 10 Oefening!
11
Kaleidoscoop 5-4-2004 Aad Goddijn 11 Idem: Sneeuwman in hangmat
12
Kaleidoscoop 5-4-2004 Aad Goddijn 12 Idem: Sneeuwman in hangmat
13
Kaleidoscoop 5-4-2004 Aad Goddijn 13 Als in deze configuratie in 7 van de 8 punten drie cirkels elkaar ontmoeten, dan is dat ook zo bij het 8 ste punt. ‘Kubische ligging’ 4 punten op elke cirkel 6 cirkel-lemma
14
Kaleidoscoop 5-4-2004 Aad Goddijn 14 Sleep W ver weg Een oude bekende: Miquel
15
Kaleidoscoop 5-4-2004 Aad Goddijn 15 Informeel ….. Het 6 cirkellemma geldt ook als een van de acht punten oneindig ver ligt. Lijn = cirkel door oneindig ver Vier punten A, B, X, Y liggen d.e.s.d. op een ‘cirkel’ liggen, als (XA, XB ) = (YA, YB ) Werkt ook bij lijnen, eventueel Y oneindig ver.
16
Kaleidoscoop 5-4-2004 Aad Goddijn 16 AFSPRAKEN We nemen ÉÉN oneindig ver punt aan boord: W. CIRKEL = gewone cirkel of lijn + W. Hoofdstelling blijft gelden 6 cirkellemma blijft gelden en is de Stelling van Miquel Hoe zien twee CIRKELs eruit die elkaar in W raken?
17
Kaleidoscoop 5-4-2004 Aad Goddijn 17 Stereografische projectie Verband tussen vlak (kaart) en bol (globe). De afbeelding P P’ is cirkeltrouw. N correspondeert met het oneindige verre punt van het vlak. Onderbouwt de informele constructie
18
Kaleidoscoop 5-4-2004 Aad Goddijn 18 4 lijnen, 4 cirkels, 1 punt extra Miquel4lijn.fig
19
Kaleidoscoop 5-4-2004 Aad Goddijn 19 Hetzelfde met cirkels door W (dichtbij)
20
Kaleidoscoop 5-4-2004 Aad Goddijn 20 Redt ons, Notatie! Start met één punt W (eventueel oneindig) Vier cirkels C 1, C 2, C 3, C 4 door W. Nieuwe snijpunten S 12, S 13, S 14, S 23, S 24, S 34. C 123 is de cirkel door S 12, S 23, S 31. Evenzo C 124, C 134, C 234. Stelling (4): Deze vier cirkels gaan door één punt: S 1234.
21
Kaleidoscoop 5-4-2004 Aad Goddijn 21 Stelling 5 Start met één punt W (eventueel oneindig) Vijf cirkels C 1, C 2, C 3, C 4, C 5 door W. …….. Vijf punten S 1234, S 1235, S 1245, S 1345, S 2345 Stelling (5): Deze vijf punten liggen op een cirkel: C 12345.
22
Kaleidoscoop 5-4-2004 Aad Goddijn 22
23
Kaleidoscoop 5-4-2004 Aad Goddijn 23 Stelling 6 Start met één punt W (eventueel oneindig) Zes cirkels C 1, C 2, C 3, C 4, C 5, C 5 door W. …….. Zes cirkels C 12345, C 12346, C 12356, C 12456, C 13456, C 23456. Stelling (6): Deze zes cirkels gaan door een punt S 123456.
24
Kaleidoscoop 5-4-2004 Aad Goddijn 24 Stelling 7 Stelling 8 Stelling 9 …….. …….. …….. ……..
25
Kaleidoscoop 5-4-2004 Aad Goddijn 25 Notatieregel S ligt op C desd als het index rijtje precies een element meer of minder heeft als het indexrijtje . Volgorde van indices is irrelevant.
26
Kaleidoscoop 5-4-2004 Aad Goddijn 26 Bewijs van stelling 5: 6 cirkel lemma, schematisch, om S 1234, S 1235, S 1245, S 1345 op één cirkel te krijgen Verwissel 1 en 2. Nu ligt S 2345 op de zelfde cirkel!
27
Kaleidoscoop 5-4-2004 Aad Goddijn 27 Bewijs van stelling 6: 6 cirkel lemma, schematisch, om C 12456, C 23456, C 13456, door één punt te krijgen Verwissel 3 en 4. Nu gaat C 12356 door het zelfde punt. Enzovoort
28
Kaleidoscoop 5-4-2004 Aad Goddijn 28 Bewijs van stelling 7 tot Voeg steeds overal twee nieuwe indices in de bewijzen van 5 en 6 etc. in. Permuteer wat meer. Aldus: Oneindig veel stellingen in 2 regels bewezen !
29
Kaleidoscoop 5-4-2004 Aad Goddijn 29 Informatie De stellingserie is afkomstig van William Clifford, 1845- 1879. Clifford stelde ook dat energie en materie verschillende vormen van kromming van de ruimte zijn. 48 jaar voor de algemene relativiteitstheorie. Andere bewijzen (zelfde notatie!) : Yaglom, I.M.: Complex numbers in geometry. (Vertaling uit het Russisch van E.J.F. Primrose). Academic Press, Nw York and London (1968) Coxeter, H. S. M.: Introduction to geometry. New York (1961).
Verwante presentaties
