Eekhoutcentrum – oktober 2005 Johan Deprez – Hilde Eggermont De normale verdeling Eekhoutcentrum – oktober 2005 Johan Deprez – Hilde Eggermont

Overzicht Sessie 1 Inleiding De start: histogrammen beschrijven met een dichtheidsfunctie Oppervlakte onder de normale dichtheidsfunctie, vuistregels Sessie 2 Even opfrissen Terugrekenen Niet alle gegevens zijn normaal verdeeld Grafische betekenis van gemiddelde en standaardafwijking Enkele meer uitgebreide toepassingen

Normale verdeling als wiskundig model Tweede graad: beschrijvende statistiek = grafisch en numeriek gereedschap om gegevens te beschrijven Derde graad: algemeen patroon van een groot aantal waarnemingen beschrijven d.m.v. een gladde kromme

Even opfrissen Een histogram benaderen met een functie

Even opfrissen Relatieve frequentie van een klasse = oppervlakte onder de normale dichtheidsfunctie van een gepast gebied relatieve frequentie = oppervlakte

Even opfrissen Relatieve frequentie m.b.v. een normale dichtheidsfunctie en met het rekentoestel: of

Eindtermen derde graad ASO (1/2) De leerlingen kunnen … … in betekenisvolle situaties, gebruik maken van een normale verdeling als continu model bij data met een klokvormige frequentieverdeling en het gemiddelde en de standaardafwijking van de gegeven data gebruiken als schatting voor het gemiddelde en de standaardafwijking van deze normale verdeling. … het gemiddelde en de standaardafwijking van een normale verdeling grafisch interpreteren.  dit is van toepassing voor ALLE leerlingen ASO (3u/4u/6u)

Eindtermen derde graad ASO (2/2) … grafisch het verband leggen tussen een normale verdeling en de standaardnormale verdeling. … bij een normale verdeling de relatieve frequentie van een verzameling gegevens met waarden tussen twee gegeven grenzen, met waarden groter dan een gegeven grens of met waarden kleiner dan een gegeven grens interpreteren als de oppervlakte van een gepast gebied. 

werkbladen 3: Terugrekenen Werksessie: werkbladen 3 15 minuten Maak zeker het eerste deel ‘Terugzoeken’. Eventueel ook ‘Komkommertijd’

werkbladen 3: Terugrekenen Grafisch: 75% ?

werkbladen 3: Terugrekenen Een gokje: Dus: een vrouw op het derde kwartiel moest ongeveer 166,5 cm lang zijn.

werkbladen 3: Terugrekenen Met de grafische rekenmachine: oppervlakte gemiddelde inverse functie standaard-afwijking bovengrens

werkbladen 3: Terugrekenen invNorm(oppervlakte, gemiddelde, standaardafwijking) niet zomaar de inverse van normalcdf (slechts één grenswaarde) zoekt de grenswaarde zo dat de oppervlakte links van die waarde gelijk is aan de gegeven oppervlakte (ondergrens = )

werkbladen 3: Terugrekenen Gezocht: de grenzen waarvoor 95%

werkbladen 3: Terugrekenen = 95% 2,5% 97,5% –

werkbladen 3: Terugrekenen Bijgevolg: de middelste 95% begint bij 149,31 cm en eindigt bij 174,79 cm.

werkbladen 3: Komkommertijd (1/4) Laat je rekenmachine de grafiek tekenen van de normale dichtheidsfunctie die de lengte van de komkommers beschrijft.

werkbladen 3: Komkommertijd (2/4) Welk percentage van de komkommers zal langer zijn dan 50 cm? Duid de overeenkomstige oppervlakte aan op je grafiek.

werkbladen 3: Komkommertijd (3/4) De 25% kleinste komkommers zullen niet geveild worden. Hoelang moet een komkommer dan minstens zijn om op de markt te komen? De komkommers moeten minstens 36 cm lang zijn.

werkbladen 3: Komkommertijd (4/4) De 10% langste komkommers krijgen het etiket “jumbo-komkommer”. Vanaf welke lengte is een komkommer een jumbo? Vanaf 47,7 cm is de komkommer een jumbo-komkommer.

Niet alle gegevens zijn normaal verdeeld! Leeftijd van Belgische mannen bij overlijden Gemiddelde: 73,80 Standaardafwijking: 15,69

Niet alle gegevens zijn normaal verdeeld! De normale dichtheidsfunctie is geen goed model!

Niet alle gegevens zijn normaal verdeeld! Kiama Blowhole: de oceaan spuit water door een gat in de grond wachttijden tussen twee ‘uitbarstingen’ is wisselend

Niet alle gegevens zijn normaal verdeeld! Kiama Blowhole: histogram van 64 wachttijden niet normaal verdeeld!

Niet alle gegevens zijn normaal verdeeld! wachttijden Kiama Blowhole: exponentieel verdeeld te weinig korte wachttijden? waarschijnlijk omdat een aantal van die korte wachttijden niet herkend worden zodat twee uitbarstingen als 1 geteld worden.

Niet alle gegevens zijn normaal verdeeld! Wel normaal verdeeld: Lengte van volwassen mannen Meetfouten IQ Niet normaal verdeeld: Inkomens Zwangerschapsduur Gewicht Aantal tweelingen dat geboren wordt Wachttijden

Normale dichtheidsfuncties en de standaardnormale dichtheidsfunctie Werksessie 30 minuten Keuze tussen werkblad 4a en 4b werkblad 4a: voor leerlingen met minimum aantal uren wiskunde (opdracht 9: facultatief) werkblad 4b: voor leerlingen uit richtingen met 6 of meer uur wiskunde (kans!)

werkblad 4a: Normale dichtheidsfuncties en ... gemiddelde veranderen = grafiek verschuiven gemiddelde = x-coördinaat van het maximum

werkblad 4a: Normale dichtheidsfuncties en ... standaardafwijking variëren = breedte en hoogte van de grafiek veranderen

Normale dichtheidsfuncties normalpdf(x,,) is een hele klasse van normale dichtheidsfuncties grafiek is klokvormig maximum wordt bereikt bij x =  buigpunten bij x =    en x =  +  hoe kleiner , hoe hoger en smaller de grafiek

Normale dichtheidsfuncties x =  s De normale dichtheidsfunctie met gemiddelde m en standaardafwijking s.

werkblad 4a: Normale dichtheidsfuncties en ... Eén heel bijzondere normale dichtheidsfunctie: m = 0 en s = 1 Deze functie noemen we de standaardnormale dichtheidsfunctie. Vroeger heel belangrijk omwille van de berekeningen met tabellen.

Normale dichtheidsfuncties 1 De standaardnormale dichtheidsfunctie

werkblad 4a: Normale dichtheidsfuncties en ... normalpdf(x,0,1) normalpdf(x,0,5) normalpdf(x,10,5)

werkblad 4a: Normale dichtheidsfuncties en ...

werkblad 4a: Normale dichtheidsfuncties en ... 9e. relatieve frequentie van pakken van 6 flessen met een gemiddelde inhoud per fles van minder dan 495 ml = 0,72 %

Besluit uit werkblad 4a    (cfr. eindtermen) … het gemiddelde en de standaardafwijking van een normale verdeling grafisch interpreteren. … grafisch het verband leggen tussen een normale verdeling en de standaardnormale verdeling. … bij een normale verdeling de relatieve frequentie van een verzameling gegevens met waarden tussen twee gegeven grenzen, met waarden groter dan een gegeven grens of met waarden kleiner dan een gegeven grens interpreteren als de oppervlakte van een gepast gebied.   

werkblad 4b: het steekproefgemiddelde oplossingen: zie bundeltje met werkbladen

werkbladen 5 en 6: Ben ik groter dan mijn grootvader werkbladen 5 en 6: Ben ik groter dan mijn grootvader? Dozen erwten vullen werksessie 20 minuten werkblad 5: voor alle leerlingen werkblad 6: niet voor alle leerlingen

werkblad 5: Ben ik groter dan mijn grootvader? (1/10) Schets beide normale verdelingen en duid er de lengte van de kleinzoon en van de grootvader op aan.

werkblad 5: Ben ik groter dan mijn grootvader? (2/10) afwijking van het gemiddelde Jeroen: 189  176,1 = 12,9 (cm) opa: 180  170,0 = 10 (cm) Dus: Jeroen het grootst?

werkblad 5: Ben ik groter dan mijn grootvader? (3/10) Is dit een goede manier van vergelijken? Waar hou je geen rekening mee? Je houdt geen rekening met de spreiding.

werkblad 5: Ben ik groter dan mijn grootvader? (4/10) afwijking van het gemiddelde vergelijken met de standaard-afwijking Jeroen: opa: Dus: opa is het grootst!

werkblad 5: Ben ik groter dan mijn grootvader? (5/10) plaats in de totale populatie procent van de 18-jarigen kleiner dan Jeroen procent van de 18-jarigen kleiner dan de opa

werkblad 5: Ben ik groter dan mijn grootvader? (6/10) Op een figuur:

werkblad 5: Ben ik groter dan mijn grootvader? (7/10) Berekening: 95,3 % van de leeftijdsgenoten van Jeroen is kleiner dan Jeroen 96,3 % van de toenmalige leeftijdsgenoten van de grootvader waren kleiner dan de grootvader

werkblad 5: Ben ik groter dan mijn grootvader? (8/10) Besluit: de grootvader is groter dan zijn kleinzoon.

werkblad 5: Ben ik groter dan mijn grootvader? (9/10) De verhouding van de afwijking van het gemiddelde tot de standaardafwijking = de z-score Formule:

werkblad 5: Ben ik groter dan mijn grootvader? (10/10) 168,4 176,1 183,8 189 z-score:  1 0 1 1,675

werkblad 6: Dozen erwten vullen relatieve frequentie van het deel minder dan 500 gram: 40% weegt minder dan 500 gram!

werkblad 6: Dozen erwten vullen De grafiek moet worden: 1% 40%

werkblad 6: Dozen erwten vullen vergelijking: normalcdf(-1099, 500, x, 8) = 0.01 oplossing: x = 518.61

werkblad 6: Dozen erwten vullen controle van de oplossing: met de gevonden waarde voor x:

werkblad 6: Dozen erwten vullen Traditionele manier van werken bij dergelijke opgave: Transformeren naar de standaardnormale verdeling Hier: gebruik maken van de mogelijkheden van het grafisch rekentoestel

werkblad 6: Dozen erwten vullen Voordeel van het grafisch rekentoestel: aandacht gaat naar de essentie (het interpreteren van het statistisch probleem) Nadeel: Sommige leerlingen hebben “ICT-angst”

werkblad 6: Dozen erwten vullen Opmerking: voor problemen waarbij gemiddelde gekend is maar de s.a. niet, kan op dezelfde manier gewerkt worden