Jo van den Brand 24 November, 2009 Structuur der Materie

Slides:



Advertisements
Verwante presentaties
Toepassingen met integralen
Advertisements

H3 Tweedegraads Verbanden
Jo van den Brand & Tjonnie Li 1 December, 2009 Structuur der Materie
Jo van den Brand 10 November, 2009 Structuur der Materie
Jo van den Brand 8 December, 2009 Structuur der Materie
toepassingen van integralen
FEW Cursus Gravitatie en kosmologie
Marcel Vonk Museum Boerhaave, 10 mei 2010
dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 2007
(voorbeeld vraag) Neutronen hebben geen elektrische lading:
De large hadron collider: reis naar het middelpunt van het atoom
Oppervlakten berekenen
“De maat der dingen”.
Waar is dit goed voor? doel: conceptuele grondslag voor moleculaire binding, moleculaire structuren. benadering: fundamentele, fysische wetmatigheden,
Differentiëren en integreren
Oppervlakten berekenen een mogelijke ontstaansgeschiedenis voor integralen... 6de jaar – 3 & 4u wiskunde Pedro Tytgat: Aanpassing Ronny Vrijsen.
Overzicht van de leerstof
Laplace transformatie
vwo A Samenvatting Hoofdstuk 12
Assenstelsels en het plotten van Functies in LOGO
Samenvatting Wet van Coulomb Elektrisch veld Wet van Gauss.
De Lijken van Sterren Paul Groot Afdeling Sterrenkunde, IMAPP
Neutronenstraling Hans Beijers, KVI-Groningen
Relativiteitstheorie (4)
Wie het kleine niet eert ... (quarks, leptonen,….)
dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 2007
Fundamenteel onderzoek naar elementaire deeltjes
dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 2007
Jo van den Brand 3 oktober 2013
Jo van den Brand Relativistische inflatie: 3 december 2012
Jo van den Brand 3 November, 2009 Structuur der Materie
Jo van den Brand 26 september 2013
Jo van den Brand 17 November, 2008 Structuur der Materie Elementaire Deeltjesfysica FEW Cursus.
Jo van den Brand 27 Oktober, 2009 Structuur der Materie
Verval van het Z-boson Presentatie: Els Koffeman
FEW Cursus Gravitatie en kosmologie Jo van den Brand & Jeroen Meidam
Jo van den Brand & Jeroen Meidam ART: 5 november 2012
Kernenergie FEW Cursus   Jo van den Brand 30 Maart 2010.
Annihilatie van donkere materie in het zwaartekrachtsveld
Welkom in de wereld op zijn kop Deel 2
Hogere wiskunde Limieten college week 4
H4 Differentiëren.
HISPARC NAHSA Interactie van geladen deeltjes met stoffen Inleiding Leegte GROOT en klein.
Hogeschool Rotterdam L. Gernand| ELEKTRON
Creativiteit in de kosmos: onze ultieme schatkamer
Jo van den Brand Relativistische kosmologie: 1 december 2014
Jo van den Brand HOVO: 13 november 2014
Algemene relativiteitstheorie
LHCb GROEP B-Fysica: Materie, antimaterie en Oerknal ( het mysterie van CP-schending ) Hoe komt het dat ons Heelal uit (overwegend) materie bestaat? Volgens.
Jo van den Brand HOVO: 4 december 2014
TN2811 “Inleiding Elementaire Deeltjes”
Samenvatting Conceptversie.
Jo van den Brand HOVO: 27 november 2014
III. Quantum Electro Dynamics: QED
Hoge Energie Fysica Introductie in de experimentele hoge energie fysica Stan Bentvelsen NIKHEF Kruislaan SJ Amsterdam Kamer H250 – tel
De lineaire harmonische oscillator – een beetje molecuulfysica… H(+)
Elementaire deeltjes fysica
Najaar 2008Jo van den Brand1 Feynman regels voor QED (S=1/2) Externe lijnenVerticesPropagatoren.
Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: 6 oktober 2015 Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Copyright (C) Vrije Universiteit.
Relativiteitstheorie (3) H.A. Lorentz. Tot nu toe… De lichtsnelheid c is onafhankelijk van de snelheid van de waarnemer t.o.v. de bron. Consequentie:
Wim Doekes - hoofdauteur
Stelsels van vergelijkingen H5 deel 3 Hoofdstuk 10 Opgave 61, 62, 63.
Jo van den Brand & Joris van Heijningen Sferische oplossingen: 10 November 2015 Gravitatie en kosmologie FEW cursus Copyright (C) Vrije Universiteit 2009.
Hoe klein kan het zijn 17 december 2011 Sijbrand de Jong.
Relativiteitstheorie
Stroming rond deeltjes
Stroming rond deeltjes
FEW Cursus Gravitatie en kosmologie
toepassingen van integralen
Newtoniaanse Kosmologie College 8: deeltjesfysica en het vroege heelal
Transcript van de presentatie:

Jo van den Brand 24 November, 2009 Structuur der Materie Elementaire Deeltjesfysica FEW Cursus   Jo van den Brand 24 November, 2009 Structuur der Materie

Inhoud Inleiding Relativistische kinematica Symmetrieën Deeltjes Interacties Relativistische kinematica Lorentz transformaties Viervectoren Energie en impuls Symmetrieën Behoudwetten Discrete symmetrieën Feynman berekeningen Gouden regel Feynman regels Diagrammen Elektrodynamica Dirac vergelijking Werkzame doorsneden Quarks en hadronen Elektron-quark interacties Hadron productie in e+e- Zwakke wisselwerking Muon verval Unificatie Najaar 2009 Jo van den Brand

Levensduur Bijna alle elementaire deeltjes vervallen! d.w.z. mA mB mC c.m. systeem Bijna alle elementaire deeltjes vervallen! d.w.z. Levensduur: verschillende vervalskanalen, b.v. Vertakkings- verhouding Eenheden b.v. Najaar 2009 Jo van den Brand

Werkzame doorsnede Telsnelheid A + B  C + D Reactiekans: effectief oppervlak / totaal oppervlak Najaar 2009 Jo van den Brand

Voorbeelden Foton-koolstof/lood n-238U Najaar 2009 Jo van den Brand

Voorbeeld: verstrooiing aan een harde bol   Verstrooiing aan een massieve bol: Berekening werkzame doorsnede Geometrie Berekening werkzame doorsnede: (vgl. Rutherford verstrooiing) Totale werkzame doorsnede, oppervlak zoals de bundel die ziet: Najaar 2009 Jo van den Brand

Voorbeeld: Rutherford verstrooiïng Marsden en Geiger rond 1910 Alfa deeltjes: Tb = 4 – 7 MeV Coulomb potentiaal Najaar 2009 Jo van den Brand

Rutherford verstrooiïng Coulomb potentiaal Klassieke mechanica Werkzame doorsnede Voor bb < b < bb+dbb Najaar 2009 Jo van den Brand

Rutherford verstrooiïng Geldig voor b > bmin=Ra + Rt ofwel Meet interactieafstand bmin versus A Eigenlijk bmin Ra + Rt + Rs Najaar 2009 Jo van den Brand

Rutherford verstrooiïng Plot bmin versus A1/3 Er geldt Goede beschrijving dus - Coulombwet geldig op korte afstand (femtometers) - Sterke WW korte dracht - Alle lading zit in kleine bol Rutherford vond Najaar 2009 Jo van den Brand

Gouden regel van Fermi In deeltjesfysica werken we voornamelijk met interacties tussen deeltjes en verval van deeltjes: overgangen tussen toestanden Overgangswaarschijnlijkheid volgt uit Fermi’s Golden Rule Amplitude bevat alle dynamische informatie en berekenen we met de Feynman regels. Dit bevat de fundamentele fysica. Faseruimte bevat alle kinematische informatie en hangt af van massa’s, energieën en impulsen Voor de afleiding: zie dictaat quantummechanica. Verder eisen wij een Lorentzinvariante beschrijving. Najaar 2009 Jo van den Brand

Faseruimte – Klassiek Faseruimte in 1D: h Klassiek neemt elke toestand een punt met (x, px) in In QM hebben we rekening te houden met h Volume van elke toestand is h Faseruimte met volume Lp bevat N cellen, Celvolume in 3D is Aantal toestanden in volume is Aantal toestanden per volume eenheid Toestandsdichtheid Najaar 2009 Jo van den Brand

Delta functie van Dirac In de berekeningen maken we veelvuldig gebruik van de Dirac d functie: `een oneindig smalle piek met integraal 1’ Elke functie met bovenstaande eigenschappen kan d(x) representeren, bijvoorbeeld Lim a →0 In relativistische quantummechanica zijn delta functies nuttig voor integralen over de faseruimte, bijvoorbeeld in het verval a  1 + 2. Ze drukken dan energie en impulsbehoud uit. Najaar 2009 Jo van den Brand

Delta functie van een functie We zoeken een uitdrukking voor d( f(x) ) Stel dat f(x) een enkel nulpunt heeft voor x = x0 Dan geldt Schrijft y = f(x) Er geldt dan Omschrijven levert Najaar 2009 Jo van den Brand

Voorbeeld: Delta functie van een functie Meerdere nulpunten: Opgave: Vereenvoudig de uitdrukking Oplossing: Er geldt Nulpunten voor x1 = 1 en x2 = -2 Afgeleide Dus en Najaar 2009 Jo van den Brand

Voorbeeld: Delta functie van een functie Deeltjesverval a  1 + 2 in CM systeem Bereken dit is je functie f(x) dit dx Er geldt Stel is de waarde van de impuls waarvoor Dan Najaar 2009 Jo van den Brand

Gouden regel van Fermi – revisited Gouden regel van Fermi: niet-relativistisch Faseruimte is dichtheid van de eindtoestanden We schrijven (met Ei = Ef) Integreer over alle mogelijke toestanden met elke energie, merk op dat De gouden regel luidt nu Met impulsbehoud en a  1 + 2 energiebehoud impulsbehoud toestandsdichtheid Najaar 2009 Jo van den Brand

Lorentzinvariante faseruimte In niet-relativistische QM normeren we op 1 deeltje / volume eenheid Relativistische contraheert volume met a a/g Deeltjesdichtheid neemt toe met Normeer op 2E deeltjes / volume eenheid Conventie: Gebruik Lorentzinvariant matrixelement Najaar 2009 Jo van den Brand

Lorentzinvariante vervalsnelheid Beschouw het verval 1  2 + 3 + 4 + … + n tijddilatatie E1 Deeltje i heeft vierimpuls pi = (Ei/c, pi) Energie Ei is een functie van pi vanwege We gaan er van uit dat deeltje 1 in rust is, dus p1 = (m1c, 0) S is het product van statistische factoren: 1/j! voor elke groep van j identieke deeltjes in de eindtoestand Formule geeft de differentiële vervalsnelheid, waarbij de impuls van deeltje 2 in het gebied d3p2 rond de waarde p2 ligt, etc. In het algemeen integreren we over de impulsen in de eindtoestand. Bijvoorbeeld voor 1  2 + 3 Najaar 2009 Jo van den Brand

Voorbeeld: p0  g + g Bereken vervalsnelheid voor 1  2 + 3 met m1 = m2 = 0; amplitude M(p2, p3) Herschrijf delta functie Er geldt en dus Sferische coördinaten Hoekintegratie We vinden Er geldt S = ½ voor p0  g + g Najaar 2009 Jo van den Brand

Tweedeeltjesverval Bereken vervalsnelheid voor 1  2 + 3 Er geldt . Integreer over p3 Sferische coördinaten en hoekintegratie. Met r = | p2 | vinden we We moeten nu nog over de delta functie integreren Dat kan in principe met We doen het nu echter met een andere methode Najaar 2009 Jo van den Brand

Tweedeeltjesverval We hebben Verander van variabele Er geldt Je vindt Er geldt Mits m1 > m2 + m3, anders niet in het integratie interval! Merk op dat r0 de waarde van r (= | p2 | ) is waarvoor E = m1c2 Uiteindelijk Bij meer dan 2 deeltjes moet je integreren over het matrixelement Najaar 2009 Jo van den Brand

Gouden regel voor verstrooiing Beschouw de botsing 1 + 2  3 + 4 + … + n Formule geeft de differentiële werkzame doorsnede, waarbij de impuls van deeltje 3 in het gebied d3p3 rond de waarde p3 ligt, etc. In het algemeen integreren we over de impulsen in de eindtoestand en zijn we bijvoorbeeld geinteresseerd in enkel de hoekverdeling van deeltje 3. Uitdrukking volgt uit Telsnelheid = n1(v1 + v2) n2 s  s = Gfi / (v1 + v2) Vervolgens wordt de fluxfactor Lorentzinvariant geschreven In LAB Najaar 2009 Jo van den Brand

Elastische verstrooiing in het CM systeem 1 2 4 3 p2 = -p1 Beschouw de botsing 1 + 2  3 + 4 in CM systeem Dan geldt Dus Herschrijf de delta functie Integreer over impuls delta functie: Gebruik Najaar 2009 Jo van den Brand

Elastische verstrooiing in het CM systeem We vinden Het matrixelement hangt in principe van alle impulsen af. Echter en , dus geldt . Omdat vastligt, geldt . Gebruik We vinden Najaar 2009 Jo van den Brand

Lorentzinvariante werkzame doorsnede Voor elastische verstrooiing geldt Dan geldt Dit geldt ook in de limiet Merk op dat de differentiële werkzame doorsnede NIET Lorentinvariant is De hoeken refereren naar het CM systeem! Voor een algemeen geldige vergelijking: druk d uit in viervectoren Vierimpuls overdracht Najaar 2009 Jo van den Brand

Lorentzinvariante werkzame doorsnede Druk uit in termen van de Lorentzinvariant dt In CM frame: Dit geeft en dus Integratie over geeft Lorentzinvariant Najaar 2009 Jo van den Brand

Fluxfactor voor A + B … c.m. stelsel: lab stelsel: P1=(E1,+p) P2=(m2,0) Najaar 2009 Jo van den Brand

Toy-model: ABC theorie Drie deeltjes: A, B en C Ieder deeltje is zijn eigen antideeltje Spin van de deeltjes is 0 mA > mB + mC Najaar 2009 Jo van den Brand

Feynman regels Berekening van de amplitude -iM: Hiervoor is de dynamica van wisselwerking nodig. In het vervolg zullen we de amplitudes berekenen voor elektromagnetische, sterke en zwakke wisselwerkingen. Om een idee te krijgen eerst de amplitude voor een hypothetisch model, 3 toy-model: Feynman regels ABC theorie: p1 p2 p3 ig B C A p3 p4 p1 p2 q ig B A C Najaar 2009 Jo van den Brand

Levensduur (3 toy-model) A B C g Het matrixelement is [g]=[GeV] De vervalsbreedte wordt met Fermi’s regel: En de levensduur van deeltje A is dus De impuls van B (of C) kan bepaald worden, in c.m. systeem: Najaar 2009 Jo van den Brand

Verstrooiing A+A  B+B (3 toy-model) p1 p2 p4 p3 q (A) A B C p1 p2 p4 p3 q Tweede diagram! (B) A B C (A): (B): (A+B): Najaar 2009 Jo van den Brand

Verstrooiing A+A  B+B (3 toy-model)  c.m. frame A B In het c.m. stelsel Veronderstel mA=mB=m en mC=0 Twee identieke deeltjes in eindtoestand (dus een extra factor ½!=½) Werkzame doorsnede: Najaar 2009 Jo van den Brand

Verstrooiing A+B  A+B (3 toy-model) p1 p2 p4 p3 q (A) A B C p4 p3 q Twee diagrammen dragen bij! (B) A B C p1 p2 (A): (B): (A+B): Najaar 2009 Jo van den Brand

Verstrooiing A+B  A+B (3 toy-model)  c.m. frame A B In het c.m. stelsel Veronderstel mA=mB=m en mC=0 Werkzame doorsnede: Najaar 2009 Jo van den Brand