Meer perspectief Welkom Masterclass – Speel jij een spelletje? René Bekker Bijeenkomst 2 – Nim Tijdstip: vrijdag 13 maart :00-18:00 Locatie: C P3.23

Meer perspectief Opzet derde bijeenkomst 1 e variant ▶Hoe speel je het spel Nim? ▶Voorbeeld in klaslokaal ▶Wat is de optimale strategie? 2 e variant ▶Hoe speel je het spel Nim? ▶Voorbeeld in computerzaal ▶Wat is de optimale strategie?

Meer perspectief Nim ▶oorsprong China (lijkt op ‘Jianshizi’ of ‘stenen kiezen’) ▶in Europa sinds 16 de eeuw ▶naam Nim uit Duits: nimm!  neem! ▶doel: de laatste stokjes van de stapel wegnemen ▶benodigdheden: 2 spelers en een stapel stokjes

Meer perspectief Nim - spelregels ▶Stapel met s stokjes ▶Om beurten haalt speler stokjes van de stapel ∙ Maximaal k stokjes ∙ Niet zelfde hoeveelheid als voorganger ▶Speler wint als de tegenspeler geen zet meer kan doen

Meer perspectief Nim - voorbeeld ▶s = 32 (totaal aantal op stapel) ▶k = 4 (max. aantal weg te nemen) Wie weet een goede strategie?

Meer perspectief Nim – optimale strategie ▶V(s,m) = 1als speler wint als er s stokjes liggen en vorige zet was m -1 als speler verliest ▶V(s,m) = 1 als s ≤ k en m ≠ s -1 als s=0 of als s=1 en m=1 ▶V(s,m) = max 1≤a≤min(k,s),a≠m {-V(s-a,a)}

Meer perspectief Nim – optimale strategie ▶Stel k = 4 -V(1,4)=-11a=4 -V(2,3)=-1-V(1,3)=-11a=3 -V(3,2)=-1-V(2,2)=-1-V(1,2)=-11a=2 -V(4,1)=-1-V(3,1)=-1-V(2,1)=-1-V(1,1)=11a=1 s = 5s = 4s = 3s = 2s = 1 Maak de tabel verder voor s=6,…,10

Meer perspectief Nim – optimale strategie ▶Stel k = 4 -V(6,4)=-1-V(5,4)= 1-V(4,4)= 1-V(3,4)=-1-V(2,4)=-1a=4 -V(7,3)=-1-V(6,3)=-1-V(5,3)= 1-V(4,3)=-1-V(3,3)= 1a=3 -V(8,2)=-1-V(7,2)= 1-V(6,2)=-1-V(5,2)= 1-V(4,2)=-1a=2 -V(9,1)=-1-V(8,1)=-1-V(7,1)=-1-V(6,1)=-1-V(5,1)= 1a=1 s = 10s = 9s = 8s = 7s = 6 als s veelvoud van k+1 is, dan verliest speler werkt niet als k oneven

Meer perspectief Nim (2 e variant) - spelregels ▶Meerdere stapels met stokjes ▶Om beurten haalt speler stokjes van een stapel ∙ Geen beperkingen hoeveel stokjes ▶Speler wint als deze de laatste stokjes wegneemt

Meer perspectief Nim (2 e variant) - voorbeeld Grootte van de stapelsActies ABC 345speler A neemt er 2 van A 145speler B neemt er 3 van C 142speler A neemt er 1 van B 132speler B neemt er 1 van B 122speler A neemt geheel A 022speler B neemt er 1 van B 012speler A neemt er 1 van C 011speler B neemt er 1 van B 001speler A neemt geheel C en wint

Meer perspectief Nim (2 e variant) – optimale strategie ▶Binaire tellen getal 01234index ▶Voorbeelden 1 = 001 ( + + 1) 2 = 010 ( ) 3 = 011 ( ) 4 = 100 (4 + + ) 5 = 101 ( )

Meer perspectief Nim (2 e variant) – optimale strategie ▶Nim-sum binairedecimaalstapel 0113 A B 1015 C 0102totaal ▶De winnende strategie is om iedere beurt te eindigen met een Nim-sum van 0. ▶Dit is altijd mogelijk als de Nim-sum niet 0 is voor de actie.

Meer perspectief Nim (2 e variant) – optimale strategie ▶Nim-sum binairedecimaalstapel 0113 A B 1015 C 0102totaal ▶Hoe bepaal je de actie?

Meer perspectief Nim (2 e variant) – optimale strategie ▶Nim-sum binairedecimaalstapel 0113 A B 1015 C 0102totaal ▶Neem de Nim-sum van iedere stapel met de Nim-sum van het totaal

Meer perspectief Nim (2 e variant) – optimale strategie ▶Nim-sum binairedecimaalstapelNim-sum stapel met totaal 0113 A001  B110  C111  totaal ▶Neem de Nim-sum van iedere stapel met de Nim-sum van het totaal

Meer perspectief Nim (2 e variant) – optimale strategie ▶Nim-sum binairedecimaalstapelNim-sum stapel met totaal 0113 A001  B110  C111  totaal ▶Neem de Nim-sum van iedere stapel met de Nim-sum van het totaal ▶Kies stapel waarvan de Nim-sum daalt ▶Reduceer de stapel tot Nim-sum van stapel met totaal

Meer perspectief Nim (2 e variant) – optimale strategie ▶Bij 2 stapels, moet je de stapels van gelijke hoogte maken ▶Daarna doe je steeds dezelfde actie als je tegenspeler

Meer perspectief Nim – meer varianten mogelijk ▶meer dan 2 spelers ▶2 e versie, maar dan maximaal k stokjes wegnemen ▶…

Meer perspectief Links ▶Nim ▶Enquete