Computus De berekening van de Paasdatum Gerhard Post (2 april 2009)

Is dit wiskunde? Het correct berekenen van de datum van Pasen was de belangrijkste vraag in de wetenschap van de Middeleeuwen. De “gemiddelde” lunatie duurt 29 dagen 12 uren 44 minuten en 3 seconden ( 29.530588 dagen ). Het “gemiddelde” tropische jaar duurt 365 dagen 5 uren 48 minuten en 46 seconden ( 365.242199 dagen ). Een jaar bevat gemiddeld 12.3683 lunaties. Hoe zetten we dit om in een kalender (“tijdrekenkunde”)?

Inhoud Wat weet jij van de paasdatum? …

Wat weet jij van de paasdatum? Waar komt Pasen vandaan? Wat is de vroegste datum voor Pasen? Wat is de laatste datum voor Pasen? Heeft elke mogelijke datum evenveel kans? Is er een datum die vaker voorkomt dan alle andere? Is de datum periodiek? Hoe wordt de paasdatum bepaald?

Inhoud Wat weet jij van de paasdatum? Oorsprong: Pesach De eerste eeuwen Eerste concilie van Nicea De Gregoriaanse kalender Het algoritme van 1876 naar Meeus

Oorsprong Pesach (פסח – afgeleid van ‘overslaan’) De tiende plaag in Egypte Datum, Genesis 12:18: “In de eerste maand, op de veertiende dag van de maand, ’s avonds, zult gij ongezuurde broden eten, tot aan de twintigste van de maand, ’s avonds.” Begin Pesach: de 15e nisan / aviv, duur 7 dagen. Belangrijk: de Joden gebruiken een lunisolaire kalender; 15 nisan valt op een volle maan in maart of april. N.B. 15 nisan valt altijd 163 dagen voor het Joodse nieuwjaar. (De “gewone” Joodse kalender begint niet met de maand nisan.)

Begin Christendom Pasen = Opstanding van Jezus. Volgens de bijbel op de zondag na het begin van Pesach op vrijdag. Pasen en de juiste datum van Pasen is uiterst belangrijk: Daarom werd zondag de rustdag van de week (Constantijn de Grote). Pasen werd op verschillende data gevierd, zoals door de Quartodecimanen (geëxcommuniceerd door Victor I). Juiste datum lastig door verband met Joodse kalender: in het Romeinse rijk was in -45 de Juliaanse kalender ingevoerd.

Eerste Concilie van Nicea (AD 325) “Men was het er unaniem over eens dat Pasen overal op dezelfde dag gevierd dient te worden.” Constantijn de Grote

Eerste Concilie van Nicea (II) “ Pasen valt op de eerste zondag na de veertiende dag van de Maan, die op of direct na 21 maart valt.” De datum 21 maart is in de Juliaanse kalender. Maar: wanneer begint de Maan (lunatie) ? Invoering “gemiddelde maan” (comput of computus) Tabel vanaf ongeveer AD 550 Dionysios Exeguus (ook uitvinder Anno Domini)

Intermezzo: cyclus van Meton Een jaar bevat gemiddeld 12.3683 lunaties Ontwikkel dit getal in een kettingbreuk: 7 Dus: 19 x 12 = 235 lunaties passen vrij precies in 19 jaar. 19

Computus van Nicea Gebruikt de Juliaanse kalender voor het jaar: cyclus van 28 jaar (elke 4 jaar een schrikkeldag). Gebruikt cyclus van Meton voor de maan: cyclus van 19 jaar met gulden getal g =1..19. Formule: g = Jaar mod 19 + 1. Gebruik van 19 epacten (ε): de leeftijd van de berekende maan op 1 januari; ε  {0, … , 29}. De data voor Pasen volgen zo een cyclus van 28 x19 = 532 jaar!

Computus volgens Nicea voor jaar 2009 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ε 22 25 28 20 23 26 d 36 44 33 41 30 49 38 27 46 35 24 43 32 21 40 29 48 2009: g = 15 (2009 mod 19 + 1). De epact ε = 12, en de volle maan valt op d = 32 maart (dus 1 april). Pasen valt nu op de eerste zondag na 1 april, dus op 5 april (volgens onze kalender…).

Er is een probleem ? Een Juliaans jaar duurt gemiddeld 365.25 jaar i.p.v 365.242199: In 128 jaar een dag teveel… 19 jaren van 365.25 dagen bevatten 235 lunaties: een Meton lunatie duurt 29.53085 i.p.v 29.530588 dagen: Na 308 jaar is de berekende maan een dag te laat. Eeuwen discussie leiden onder Gregorius XIII tot:

Kalender commissie o.l.v. Clavius

De Gregoriaanse kalender Slechts 1 van de 4 eeuwen is nog schrikkeljaar: gemiddelde jaar volgens kalender duurt nu: 365.25 – 3/400 = 365.2425 dagen. Ook de maankalender wordt aangepast: Correctie voor 3 verdwenen schikkeldagen per 4 eeuwen (de epacten worden met 1 verhoogd). Daarnaast worden de epacten met 8 verhoogd in 25 eeuwen (!): (er zijn 12.3 lunaties per jaar); berekende lunatie duurt nu 29.53085 - 8/2500 * 1/12.3 = 29.53059 dagen.

Invoering in 1582: 15 oktober volgt op 4 oktober (niet op 1 januari vanwege heiligen dagen). Ten tijde van Julius Caesar begon de lente op 25 maart; de correctie keert terug naar (±) 21 maart (tijd van Nicea) vanwege de berekening van Pasen.

De Gregoriaanse kalender (Invoering) Invoering leidt tot oproer in verschillende landen. In Zuid-Europa volgt men de paus. Invoering in Nederland: west in 1583, oost in1700. Invoering in Engeland in 1752. Oost-Europa volgt nog later (20e eeuw).

Periodiciteit van de Paasdatum De datum is periodiek met een periode van 57.000 eeuwen (!) De datum met de hoogste frequentie is 19 april (3.867%).

De Gregoriaanse kalender (Formules) Eerste formule voor de paasdatum is van Gauss. “The mathematician Carl Friedrich Gauss presented this algorithm for calculating the date of the Gregorian Easter in 1816. His first version in 1800 incorrectly stated p = floor (k/3). In 1807 he eliminated p and q, replaced M and N with tables up to 2499, and in place of the condition (11M + 11) mod 30 < 19 used the simpler a > 10. In 1811 he limited his algorithm to the 18th and 19th centuries only, and stated that 26 April is always replaced with 19 April and 25 April by 18 April. In 1816 he thanked his student P. Tittle for pointing out that p was wrong in 1800.” Het onderstaande algoritme is uit 1876 ("A New York correspondent" in Nature).

Algoritme uit 1876 volgens Meeus Berekening Uitleg 2009 g = J mod 19 Cyclus van Meton (J: jaar) g = 14 J = 100 h + u h = 4 s + t (deling met rest) h = 20, u = 9 s = 5, t = 0 u = 4 b + do schrikkeljaren b = 2, do = 1 p = h + 8 div 25 q = h - p + 1 div 3 p: proemptose q: metemptose p = 1 q = 6 ε = 19 g + h – s – q + 15 mod 30 λ = 32 + 2 t + 2 b – ε – do mod 7 ε: epact λ: zondagsletter ε = 20 λ = 1 w = g + 11 ε + 22 λ div 451 ε + λ – 7 w + 114 = 31 m + d datum = d + 1 van maand m m = 3: maart, m = 4: april w = 0 m = 4, d = 11 datum = 12

Vragen ? Boeken: Jean Lefort David Ewing Duncan