LES 1 : Arbeid- en energie methoden Hans Welleman

Arbeid, energieprincipes Indeling Bijeenkomst 1 Arbeid en energie Bijeenkomst 2 Castigliano Bijeenkomst 3 Potentiële energie Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

Arbeid, energieprincipes Les 1 Begrippen Arbeid, virtuele arbeid, wederkerigheid Vervormingsenergie Arbeidsmethoden Virtuele arbeid methode met eenheidslast Rayleigh Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

Arbeid, energieprincipes uF F u Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

Arbeid, energieprincipes Vervormingsenergie belaste toestand u F onbelaste toestand F=0 kracht u veerkarakteristiek Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

Virtuele Arbeid : Puntdeeltje Bij een virtueel mogelijke verplaatsing leveren de krachten virtuele arbeid. x y z Puntdeeltje evenwichtsvergelijkingen van een puntdeeltje in 3D Evenwicht : Virtuele arbeid is gelijk aan nul. Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

VA : Star lichaam (in x-y vlak) Zelfde aanpak, nu met extra rotatie-vrijheidsgraad (zie CT1031 hfst 15) evenwichtsvergelijkingen van een star lichaam in een vlak Evenwicht : Virtuele arbeid is gelijk aan nul. Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

MECHANISMEN Kinematisch onbepaald Welke mogelijkheden ? Geen van de aanwezige verbindingskrachten levert arbeid ! Kinematisch onbepaald Welke mogelijkheden ? Scharnier, N, V geen M Glij-scharnier, N, M geen V Telescoop, V, M geen N Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

Arbeid, energieprincipes RESULTAAT Voor mechanismen geldt dat de totale virtuele arbeid de arbeid is die wordt verricht door alleen de van buiten op de constructie aangrijpende krachten Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

Arbeid, energieprincipes MECHANISMEN ????? Geen zinvolle constructie Dat is juist maar ……. arbeid = 0 = M M alleen M kan arbeid verrichten ! Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

Arbeid, energieprincipes NU MET BELASTING ….... Totale (virtuele) arbeid moet nul zijn ! F M F = F M eis totale arbeid = 0 ! levert : M Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

Arbeid, energieprincipes VOORBEELD : M t.p.v. F F x-as l z-as a b M F Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

Arbeid, energieprincipes AANPAK Laat de krachtsgrootheid die je wilt weten (virtuele) arbeid verrichten Dit kan alleen door de bij de kracht of moment behorende vrijheidsgraad een (virtuele) verplaatsing of rotatie te geven Hierdoor ontstaat bij S.B. constructies een mechanisme. Alleen de belasting en de gevraagde grootheid verrichten arbeid. (geen vervorming in de constructie) Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

Arbeid, energieprincipes VOORBEELD : AV l a b z-as F AV AV F Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

Arbeid, energieprincipes “SMAKEN” VOOR LIGGERS Oplegreacties - neem de oplegging weg Dwarskracht - schuifscharnier Inklemmingmoment - scharnier Moment - scharnier Normaalkracht - telescoop Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

Arbeid, energieprincipes Voorbeeld : vakwerk Horizontale verplaatsing = Rotatie maal verticale afstand tot draaipunt Nu de arbeid berekenen … Kracht in staaf DE ? Stap 1: maak de verplaatsingsgrootheid behorende bij N vrij Stap 2: bepaal de virtuele verplaatsingen in het mechanisme Stap 3 : stel de VA vergelijking op Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

Arbeid, energieprincipes Opdracht : Virtuele Arbeid inklemmingsmoment en oplegreactie t.p.v. de roloplegging 2,5 m 3,5 m 50 kN 5 kN/m x-as z-as Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

Arbeid en wederkerigheid 1 : eerst Fa en dan Fb Fa Fb A B uba uaa ubb uab 2 : eerst Fb en dan Fa Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

Arbeid, energieprincipes Arbeid is gelijk Volgorde van belasten is onbelangrijk Gelijkstellen van arbeid levert: theorema van BETTI Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

Wederkerigheid van Maxwell Verplaatsing = invloedsgrootheid x kracht Herschrijf BETTI tot: Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

Resultaat Betti - Maxwell Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

Arbeid, energieprincipes Vervormingsenergie Extensie (trek en druk) Afschuiving Wringing Buiging Normaal- en schuifspanningen Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

Arbeid, energieprincipes Extensie dx dx N  d rek kracht arbeid oppervlak Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

Arbeid, energieprincipes Vervormingsenergie Uitgedrukt in de spanningscomponent EC Uitgedrukt in de verplaatsingscomponent EV Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

Arbeid, energieprincipes Overzicht Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

Arbeid, energieprincipes Arbeidsmethoden Arbeid verricht door externe krachten wordt opgeslagen in vervormbare delen d.m.v. vormveranderingsenergie Auitw = EV Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

Voorbeeld 2 : Arbeid en energie F wmax EI x-as z-as B A Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

Arbeid, energieprincipes Onbekende is wmax Bepaal M-lijn en vervolgens de vormveranderingsenergie (MAPLE) Stel deze gelijk aan de uitwendige arbeid (Clapeyron) Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

Arbeid, energieprincipes Momentenlijn ? Basismechanica ? Neem de halve ligger i.v.m. symmetrie Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

Arbeid, energieprincipes Oplossing Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

Werkt dit ook voor verdeelde lasten ? Arbeid = zakking x belasting (hoe?) Vormveranderingsenergie uit M-lijn (ok) gemiddelde zakking ???? Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

Andere aanpak: Arbeidsmethode met eenheidslast Breng op de plek waar je de zakking wilt weten een eenheidslast aan. Zakking w en M-lijn M(x) door feitelijke belasting Zakking w en M-lijn m(x) door eenheidslast Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

Arbeid, energieprincipes 1,0 kN m(x) EI l Aanpak Breng eenheidslast aan Breng belasting aan F M(x) EI l Totale arbeid ? Vervormingsenergie ? Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

Arbeid, energieprincipes Resultaat Integraal is product van veelvoorkomende functies. In de “oude” tijd was hiervoor een standaard tabel. Kan nu natuurlijk met MAPLE Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

Arbeidsmethode met eenheidslast Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

Voorbeeld met verdeelde belasting q wmax EI 1,0 kN Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

Arbeid, energieprincipes Aanpak Bepaal M(x) t.g.v. q (zie opgave 1) Bepaal m(x) t.g.v. eenheidslast (dictaat : voorbeeld 2) Uitwerken … Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

Toepassing A&E Eulerse knik F EI, EA l u uF Voor uitknikken, alleen extensie Na uitknikken, extensie en buiging CONCLUSIE : Toename van de arbeid tijdens uitknikken wordt opgeslagen in vervormingsenergie t.g.v. buiging Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

Arbeid, energieprincipes Knik (overgang) Normaalkracht onveranderd Vervorming door extensie heeft geen invloed D U S Arbeid door additionele verplaatsing t.g.v. buigen van de staaf is gelijk aan de vervormingsenergie t.g.v. buiging Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

Additionele verplaatsing z, w x, u duF dw dx w Taylorbenadering Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

Arbeid, energieprincipes Clapeyron : A = Ev Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes

Arbeid, energieprincipes Voorbeeld F f l Neem een kinematisch toelaatbare uitbuigingsvorm aan Werk de integralen uit … Ir J.W. Welleman Arbeid, energieprincipes