Van Planck tot Dirac in vijf lessen Vierde les Iedere golf zijn golfvergelijking

Iedere golf zijn golfvergelijking Golven Een (lopende) golf is een zich voortplantende evenwichtsverstoring in een medium. watergolven snaargolven geluidsgolven lichtgolven? Het medium golft, maar de deeltjes planten zich (gemiddeld genomen) niet voort. Er is wel energie- en impulstransport. Wat golft er bij de voortplanting van licht = elektromagnetische golven? Het E en het B veld!

Eigenschappen van een (lopende) golf f,T λ golflengte λ (labda) golfgetal k=1/λ (meestal: 2π/λ) is een maat voor impuls. frequentie f (ook  (nu)) hoekfrequentie ω=2πf periode T; T=1/f snelheid v; golf loopt 1 golflengte per periode dus v = λ/T= λf= ω/k amplitude A. A2 is een maat voor energie. trillingsrichting (polarisatie) loodrecht op de bewegingsrichting (transversaal) of in de bewegingsrichting (longitudinaal) of mengvorm.

Beschrijving van een lopende 1-dimensionale sinusvormige golf Reis met de golf mee. Op tijdstip 0 vallen de oorsprong van het bewegende en het stilstaande coördinatenstelsel samen. Wat geldt op tijdstip t? Bewegende waarnemer ziet stilstaande golf met golflengte λ. Sinus heeft periode 2π en de golf herhaalt zich na λ dus: v t=0 x x’ v x’=x-vt vt t=t x Verder is x’=x-vt, dus: - Teken omdat de golf naar rechts loopt. B.v. hoe verplaatst het punt met fase 0 zich vanuit de oorsprong? kx-ωt=0 dus x= (ω/k)t=vt naar rechts! met k=2π/λ en ω=2πf (ter herinnering: v=λf=ω/k).

Golfvergelijking Van welke differentiaalvergelijking is u(x,t)=Asin(kx-ωt) een oplossing? Omdat de golf een sinusfunctie is naar x en naar t geeft twee keer differentiëren naar x of t hetzelfde resultaat op een constante na. v=ω/k=λf is de golfsnelheid Deze vergelijking is lineair. Dat wil zeggen als u1(x,t) en u2(x,t) oplossingen zijn, dan is u(x,t)=c1 u1(x,t) +c2 u2(x,t) ook een oplossing. Dit heet het superpositiebeginsel. Gevolg is dat als een punt deelneemt aan twee golfbewegingen, dan vinden we de uitwijking door de afzonderlijke uitwijkingen op te tellen: golven kunnen elkaar verzwakken en versterken: interferentie. Deeltjes doen dat niet.

Typische golfverschijnselen Golven lopen door elkaar heen. Twee gelijke bronnen geven een patroon van licht en donker.

Door golven samen stellen kunnen we golfpakketten maken Door golven samen stellen kunnen we golfpakketten maken. We kunnen dan een fasesnelheid en een groepsnelheid onderscheiden. Ook in geval van dispersie (kleurschifting) moeten we dit onderscheid maken. Twee tegen elkaar in lopende golven geven een staande golf.

Staande golf: u(x,t)= Asin(kx-ωt) + Asin(kx+ωt)= 2Asin(kx)cos(ωt). Als kx=0, π,  2π dan is de uitwijking 0: knoop. Met k=2π/λ vinden we dus knopen bij x=0, ½λ, λ,… Voorbeeld: een snaar met lengte L waarvan de eindpunten zijn vastgeklemd. Op de snaar passen dan alleen staande golven waarvoor L=½λ, λ, … 7 6 5 4 3 etc. 2 1e harmonische 1 grondtoon n

Iedere golf zijn golfvergelijking “…the only phenomena involving integers…” …“Determination of the stable motion of electrons in the atom introduces integers, and up to this point the only phenomena involving integers in physics were those of interference and of normal modes of vibration. This fact suggested to me the idea that electrons too could not be considered simply as particles, but that frequency (wave properties) must be assigned to them also.”… (Louis de Broglie, On Quantum Theory, 1929, Nobelprijs toespraak)

Iedere golf zijn golfvergelijking Louis de Broglie: levensloop 1892 Geboren in Dieppe, zoon van de vijfde hertog de Broglie. Ongetrouwd gebleven. 1909 Eindexamen Lyceé Janson de Sailly in Parijs 1910 Behaalt een graad in de geschiedenis aan de Sorbonne met het oog op een diplomatieke carrière, maar studeert verder in de wiskunde en de natuurwetenschappen en treedt daarmee in het voetspoor van zijn broer Maurice. 1913 Behaalt het Licence ès Sciences. 1913-1918 In dienst van het leger bij de draadloze telefonie afdeling in de Eiffeltoren. 1920 Hervat zijn werk in de theoretische fysica, met een bijzondere belangstelling voor de kwantumtheorie. 1924 Proefschrift: Recherches sur la theorie des quanta, waarin zijn theorie van deeltjesgolven staat.

Na 1924 Diverse onderwerpen, waaronder publicaties over toepassingen, uitbreidingen en interpretatie van de golfmechanica, met een causale variant, later verbeterd door Bohm. Sticht een centrum voor toegepaste mechanica, schrijft ongeveer 30 boeken, waaronder ook populair wetenschappelijke, houdt zich als Einstein en Schrödinger zijn verdere leven bezig met de vraag of de statistische interpretatie van de kwantummechanica noodzakelijk is of een teken van onze onwetendheid. 1928 Hoogleraar aan het Henri Poincaré Instituut. 1929 Nobelprijs. 1932 Ook hoogleraar aan de Sorbonne. 1987 Overlijdt.

Iedere golf zijn golfvergelijking Ondes et quanta Comptes Rendu , 177 (1923) 548-550 Radiations.- Ondes et quanta. Note de M. LOUIS DE BROGLIE présentée par M. Jean Perrin. Een deeltje met rustmassa m0 beweegt met snelheid v=βc (β<1) ten opzichte van een vaste waarnemer. Volgens het inertieprincipe van de energie heeft het deeltje een interne energie m0c2 . ...”D’autre part, le principe des quanta conduit à attribuer cette énergie interne à un phénomène périodique simple de fréquence 0 telle que h0 = m0c2 …”… Voor de vaste waarnemer correspondeert met de totale energie van het deeltje een frequentie  > 0 want m=m0/√(1-β2), dus  = 0 /√(1-β2)] Maar…. vanwege tijddilatatie kent hij aan het interne verschijnsel een frequentie 1= 0 √(1-β2)< 0 toe; voor hem varieert het dus als sin(21t). De Broglie’s dilemma: hoe het verschil tussen  en 1 te verklaren?

De Broglie lost het probleem op door aan het deeltje twee golfbewegingen toe te kennen: een interne met frequentie 1 en een “onde fictieve” met frequentie . Hij stelt dat als er op t=0 faseovereenstemming is tussen deze golven, dan blijft die behouden. Ze blijven dus gekoppeld. …  ”Supposons maintenant qu’au temps t=0, le mobile coïncide dans l'espace avec une onde de fréquence  ci-dessus définie se propageant dans la même direction que lui avec vitesse c/β. Cette onde de vitesse plus grande de c ne peut correspondre à un transport d'énergie; nous la considérerons seulement comme une onde fictive associée au mouvement de mobile. Je dis que, si au temps t=0, il y a accord de phase entre les vecteurs de l'onde et le phénomène interne du mobile, cet accord de phase subsistera.”…   Op tijstip t is het deeltje op positie x=vt. Zijn interne beweging is dus sin(21(x/v)). De fictieve golf in dat punt is sin(2(t-xβ/c)) [de golf is het deeltje voorbij over een afstand (c/β)t-x]. Dit is gelijk aan sin(2(x/v)(1-β2)) De twee sinusgolven zijn dus gelijk als 1= (1-β2). Dit is het geval omdat per definitie  =0 /√(1-β2) en 1= 0 √(1-β2) [Dit is het gevolg van de keuze van de snelheid van de fictieve “draag”golf!]

Een elektron beschrijft eenparig een gesloten baan met snelheid kleiner dan c [v=βc, β<<1] en omlooptijd Tr. Op t=0 is het elektron in O. De fictieve geassocieerde golf vertrekt ook van O met snelheid c/β [sneller dus!] en achterhaalt het deeltje na een volledige omloop op tijdstip τ in het punt O’, met OO’= β c τ. O (t=0) O’ (t=τ) Voor de afgelegde wegen geldt: (c/ β) τ= β c (τ+Tr), waaruit volgt: τ= (β2 /(1-β2)) Tr Het faseverloop van de interne golf tussen O en O’ is 2 1τ. Met 1= 0 √(1-β2) =m0c2/(h √(1-β2) ) volgt dus:

We veronderstellen nu dat het elektron alleen dan een stabiele baan beschrijft als de fictieve golf bij het passeren door O’ het elektron met zichzelf in fase aantreft. Dus moet het faseverloop van de interne golf tussen O en O’ een geheel aantal malen 2 zijn. …“Il est presque nécessaire de supposer que la trajectoire de l'électron n'est stable qui si l'onde fictive passant en O’ retrouve l'électron en phase avec elle : l'onde de fréquence ν et de vitesse c/β doit être en résonance sur la longueur de la trajectoire. Ceci conduit à la condition n étant entier. Montrons que cette condition de stabilité est bien celle de théories de Bohr et Sommerfeld pour une trajectoire décrite à vitesse constante.”…

De Bohr-Sommerfeld kwantumvoorwaarde is dat de actie-integraal gekwantiseerd is: [Voor een cirkelvormige baan met straal R en eenparige snelheid v wordt dit de Bohrse kwantumregel voor het impulsmoment: L=pR=mvR=nh/2π] In dit geval: px=mvx=(m0/ √(1-β2))vx en dx=vxdt, en dus: Voor een cirkelbeweging met straal R en voor lage snelheden van het elektron (√(1-β2)) ≈1) volgt de oorspronkelijke formule van Bohr: Nous sommes dès aujourd’hui en mesure d’expliquer les phénomènes diffraction et d’interférences en tenant compte des quanta de lumière.

Een simpele schoolboek afleiding niet volgens de Broglie. Staande golf op een cirkelbaan kan alleen ontstaan als een geheel aantal golflengtes op de baan past: 2πr =nλ, n=1, 2,… “kop bijt in staart” Voor het lichtdeeltje (foton) geldt: p=mc en E=mc2=cp. Ook geldt: E=hf=hc/λ. Waaruit volgt p=h/λ. Geef nu ook een deeltje met impuls p een golflengte λ=h/p. Met 2πr=nλ, n=1, 2,… volgt dan voor het impulsmoment: L=rp=nħ, n=1, 2,… Dat is de Bohrse kwantisatievoorwaarde! De relatie E=h of E=ħω komt wel expliciet voor bij de Broglie maar de relatie p=hλ of p=ħk niet.

Iedere golf zijn golfvergelijking De Broglie: het vervolg De Broglie bewijst later dat de groepssnelheid van de fictieve “materiegolven” gelijk is aan de waarneembare deeltjessnelheid. Hij postuleert dat het deeltje altijd zijn draaggolf volgt en dus mee afbuigt als de draaggolf bij passage van een smalle spleet afbuigt. Daarmee voorspelt en verklaart hij de diffractie van deeltjes, die in 1927 door Davissen en Germer overtuigend wordt aangetoond θi θr

Voorbeeld: elektron wordt versneld met een potentiaalverschil van 100 V: ½mv2=eV => p=mv=m√2eV => λ=h/p=0,12 nm => kan gebruikt worden voor een microscoop op nanometer schaal

Hij vergelijkt de klassieke deeltjestheorie met de geometrische optica en de nieuwe golf-deeltjes theorie met de golfoptica. De materiegolven zijn voor hem realiteit. Dit standpunt zal hij blijven verdedigen. Dit en meer vormt de inhoud van het proefschrift van De Broglie dat met enige aarzeling geaccepteerd wordt door zijn promotiecommissie. Het proefschrift trekt weinig aandacht in Kopenhagen (Bohr) en München (Sommerfeld), maar Einstein oordeelt positief (“Er hat eine Ecke des großen Schleiers gelüftet”) en gebruikt het in zijn publicaties. Dat blijft niet onopgemerkt. Aan de ETH Zürich hebben Debije c.s. twijfel over de theorie van De Broglie. Dus nodigt men de hoogleraar theoretische natuurkunde aan de universiteit van Zürich uit om een colloquium te geven over de theorieën van De Broglie. Die hoogleraar is…

Iedere golf zijn golfvergelijking …“ik heb er een gevonden.” …”Mijn collega Debije suggereerde [een paar weken geleden] dat er een golfvergelijking zou moeten zijn; nu, ik heb er een gevonden!”

Iedere golf zijn golfvergelijking Schrödinger: levensloop 1887 Geboren in Erdberg, Wenen 3, Oostenrijk-Hongarije. 1914 Habilitation bij Stefan Exner in Wenen. 1914-1917 Artillerie-officier in het Oostenrijkse leger. 1917 Keert terug naar Wenen als docent meteorologie. 1918-1921 Werkt aan de theorie van het kleuren zien. 1919 Verloving met Annemarie Bertel (maandsalaris van de secretaresse Annemarie Bertel is groter dan zijn jaarsalaris). 1920 Assistent van Max Wien in Jena (na afwijzen van een academische post in Wenen die hem nog steeds niet in staat stelt een vrouw te onderhouden) 1920 Trouwt met Annemarie Bertel. Geen kinderen bij Annemarie, wel bij andere vrouwen o.a. bij Hilde March en twee Ierse vrouwen. Leeft enige tijd samen met twee vrouwen (Annemarie en Hilde March- zelf getrouwd met een van zijn assistenten); ziet daarom waarschijnlijk noodgedwongen af van posities in Princeton en Oxford. Tumultueus liefdesleven, getolereerd door Annemarie, die zelf een relatie heeft met Hermann Weyl.

1920 Assistent-hoogleraar in Stuttgart. 1921 Hoogleraar in Breslau (nu Wroclaw). 1922 Hoogleraar in Zürich. 1926 Publiceert, geïnspireerd door De Broglie’s golf-deeltje dualiteit, in de Annalen der Physik Quantisierung als Eigenwertproblem (Erste Mitteilung) Quantisierung als Eigenwertproblem (Zweite Mitteilung) Über das Verhältnis der Heisenberg-Born-Jordanschen Quantenmechanik zu der meinen Quantisierung als Eigenwertproblem (Dritte Mitteilung: Störungstheorie, mit Anwendung auf den Starkeffekt der Balmerlinien) Quantisierung als Eigenwertproblem (Vierte Mitteilung) 1927 Volgt Max Planck op in Berlijn (twijfelt evenals Einstein en De Broglie aan de Kopenhagen interpretatie “als ik dit geweten had dan had ik de golfmechanica liever niet uitgevonden”). 1933 Verlaat Duitsland vanwege zijn anti-Nazi gevoelens en wordt Fellow van Magdalen College in Oxford 1933 Nobelprijs samen met Dirac

1934 Geeft colleges in Princeton; wijst een aanbod om te blijven af. 1935 Introduceert Schrödingers kat. 1936 Hoogleraar in Graz (na 1938 de Adolf Hitler Universität) 1938 – 1940 Problemen na de “Anschluss” (“politiek onbetrouwbaar”). Vlucht naar Italië en heeft tijdelijke hoogleraarposities in Oxford en Gent. 1940 - 1955 Hoogleraar in Dublin na bemiddeling van de Valera. Sticht het Institute for Advanced Physics. Werkt aan een universele veldentheorie. 1944 Publiceert What’s Life? 1954 Publiceert Nature and the Greeks 1956 Terugkeer naar Wenen als hoogleraar. 1961 Overlijdt.

Iedere golf zijn golfvergelijking Kwantisatie als eigenwaardeprobleem Ann. d. Phys. 79 (1926) 361-376 Quantisierung als Eigenwertproblem; von E. Schrödinger (Erste Mitteilung) “In dieser Mitteilung möchte ich zunächst an dem einfachsten fall (nichtrelativistischen und ungestörten) Wasserstoffatoms zeigen, daß die Üblichen Quantisierungsvorschift sich durch anderen Forderung ersetzen läßt, in der kein Wort von “ganzen zahlen” mehr vorkommt. Vielmehr ergibt sich die Ganzzahligkeit auf dieselben natürlichen art, wie etwa die Ganzzahligkeit der Knotenzahl einer schwingenden Saite. Die neue Auffassung ist verallgemeinerungsfähig und rührt, wie ich glaube, sehr tief an das wahre Wesen der Quantenvorschriften.”… Schrijf de bewegingsvergelijking als: (1’)

We zoeken niet naar oplossingen van deze vergelijking maar brengen hem in de gedaante: kwadratische vorm van ψ en zijn eerste afgeleiden=0. ..”Wir suchen solche reelle im ganzen Konfigurationenraum eindeutige endliche und zweimal stetig differenzierbare Funktionen ψ, welche das über den ganzen Konfigurationenraum erstreckte Integral der eben genannten quadratischen Form zu einem Extremum machen. Durch dieses Variationsproblem ersetzen wir die Quantenbedingen.” Neem de hamiltonfunctie van het 1-elektron (Kepler) probleem: H=T+V=p2/2m-e2/r Wir werden für H zunächst die Hamiltonsche Funktion der Keplerbewegung nehmen und zeigen, daβ die aufgestellte Forderung für alle positiven, aber nur für eine diskrete Schar von negativen E-Werten erfüllbar ist. D.h. das genannten Variationsproblem hat ein diskretes und ein kontinuierliches Eigenwertspektrum. Das diskrete Spektrum entspricht den Balmerschen Termen, das kontinuierliche den Energien der Hyperbelbahnen. Damit numerische Übereinstimmung bestehe, muβ K der Wert h/2 erhalten.“…

Ten eerste moet dan gelden: Tijdonafhankelijke, niet-relativistische schrödingervergelijking (5) en ten tweede: Legt randvoorwaarden op aan ψ (6) Schrijf nu (5) in bolcoördinaten r, θ, φ, want wegens de bolsymmetrie is de oplossing te schrijven als een product van functies in r, θ en φ. Voor de functie in r krijgen we dan (met dank aan collega Hermann Weyl) (7) n=0, 1, 2, … De beperking van n tot gehele getallen is noodzakelijk om de hoekafhankelijkheid eenduidig te maken. We zoeken naar oplossingen die voor alle niet-negatieve waarden van r eindig blijven. Dit komt neer op het stellen van randvoorwaarden.

Na een wiskundige tour de force is de conclusie: …‘’Die Bedingung (15) ergibt: (19) Es ergeben sich also die wohlbekannten Bohrschen Energieniveaus, die den Balmertermen entsprechen, wenn man der Konstante K, die wir in (2) aus dimensionellen Gründen einführen müßten, den Wert erteilt (20) Dann wird ja (19’) Unser l ist die Hauptquantenzahl, n+1 hat Analogie mit der Azimutalquantenzahl, die…”… Het doel is bereikt, maar de wiskundige inspanning is veel en veel groter dan in de Bohrse, oude variant van de kwantummechanica! Meeropbrengst: de golffuncties. Maar wat betekenen ze?

Laguerre polynoom Sferisch harmonische Wave Functions of Hydrogen Atom n=1:              l=0 m=0 n=2: l=1 m=1 Im Re Let op: n is hoofdkwantumgetal, l is azimutaalkwantumgetal, m is magnetisch kwantumgetal …”Es liegt natürlich sehr nahe, die Funktion ψ auf einen Schwingungsvorgang des Atoms zu beziehen, dem die den Elektronenbahnen heute vielfach bezweifelte Realität in höherem Maße zukommt als ihnen.”…

Iedere golf zijn golfvergelijking De kortste ( Iedere golf zijn golfvergelijking De kortste (?) weg naar de schrödingervergelijking Aan E=ħω en p=ħk voegen we toe: De “materiegolf” is niet een reëel verschijnsel maar een imaginair (complex) verschijnsel: ψ=ei(kx-ωt) (en onttrekt zich daarmee aan de waarneming!). Van welke vergelijking is ψ=ei(kx-ωt) de oplossing? Nu geldt: Eψ=ħωψ=iħ∂ψ/∂t en pψ=ħkψ =-iħ∂ψ/∂x Voor een vrij deeltje is E=p2/2m, en dus: 1-dimensionale niet-relativistische tijdafhankelijke schrödingervergelijking met een vlakke (complexe) golf als oplossing (vrij deeltje).

Klassiek is E=T+U=(p2/2m)+U en we vertalen dit in: Wat te doen als het deeltje niet vrij is? Stel dat het zich in een krachtveld bevindt met potentiaal U, bijv. de 1/r potentiaal van een puntlading. Klassiek is E=T+U=(p2/2m)+U en we vertalen dit in: 1-dimensionale niet-relativistische tijdafhankelijke Schrödingervergelijking. Als U niet van t afhangt kunnen we de vergelijking splitsen in een tijdafhankelijk en een plaatsafhankelijk deel: Ψ(x,t)=eiωtψ(x) met ω=E/ħ. Voor het (reële) tijdonafhankelijke deel ψ(x) (kleine ψ!) geldt dan: 1-dimensionale niet-relativistische tijdonafhankelijke Schrödingervergelijking. Vergelijking (5) in het artikel van Schrödinger Alle vormen van de schrödingervergelijking zijn lineair en het superpositiebeginsel geldt dus (diffractie, interferentie, ..)

Bohr-Bornse interpretatie: |Ψ|2= Ψ Ψ Bohr-Bornse interpretatie: |Ψ|2= Ψ Ψ* is de waarschijnlijkheidsdichtheid om het deeltje op tijdstip t te vinden op plaats x. Er golft dus geen materie, alleen waarschijnlijkheid! Opmerkelijk: alle Godfathers (Planck, Einstein, de Broglie, Schrödinger) behalve Bohr verwerpen deze interpretatie! Het tijdafhankelijk deel is imaginair en wordt 1 bij het nemen van het kwadraat. Dus |Ψ|2= ψ2 (ψ is reëel). Voor de verklaring van de spectra zijn nog extra veronderstellingen nodig: het bestaan van spin en het uitsluitingbeginsel.

Iedere golf zijn golfvergelijking Schrödinger: het vervolg Hij publiceert binnen een jaar nog 5 artikelen over de golfmechanica, waaronder het bewijs dat zijn golfmechanica en de matrixmechanica van Heisenberg, Jordan en Born equivalent zijn. Hij komt terug op zijn oorspronkelijke relativistisch invariante vergelijking, (nu de Klein-Gordon vergelijking) die hij had afgewezen omdat hij geen rekening hield met spin. Hij voert zijn kat in naar aanleiding van het EPR artikel van Einstein c.s. Werkt (o.a.) aan unificatie theorieën. Schrijft boeken over randgebieden van de natuurkunde die zeer populair worden: “What is Life?” en “Nature and the Greeks”. Schrijft liefdesgedichten

Liebeslied (voor Sheila May Green 1943/1944) Niemand als du und ich Wissen wie uns geschehen. Keiner hat es gesehen Wenn wir uns küssten inniglich. Keiner, keiner weiß dass uns der Himmel liebt dass er uns alles gibt was er zu geben weiß. Und säh uns wer er dacht es kam dass in weiten Raum sonst alles leer, nur wir, nur wir und unser Glück. Nie nie zurück als nur mit dir.