1 het type x² = getal 2 ontbinden in factoren 3 de abc-formule Algebraïsch oplossen van tweedegraadsvergelijkingen 1 het type x² = getal 2 ontbinden in factoren 3 de abc-formule 1.1

x = √-16  k.n. heeft dus geen oplossingen vb.3 (x + 5)² = 16 1 x² = getal x = √getal v x = - √getal vb.1 x² = 7 x = √7 v x = - √7 vb.2 x² = -16 x = √-16  k.n. heeft dus geen oplossingen vb.3 (x + 5)² = 16 x + 5 = √16 v x + 5 = - √16 x + 5 = 4 v x + 5 = -4 x = 4 – 5 v x = -4 – 5 x = -1 v x = -9 a x² = positief getal 2 oplossingen b x² = 0 x = 0  1 oplossing c x² = negatief getal k.n.  geen oplossing 1.1

2 Ontbind in factoren voorbeeld 1 x² - 3x = 5x – 15 a maak het rechterlid nul door alle termen naar het linkerlid te brengen b vereenvoudig het linkerlid zo ver mogelijk c ontbind het linkerlid in factoren d A · B = 0  A = 0 v B = 0 voorbeeld 1 x² - 3x = 5x – 15 x² - 3x – 5x + 15 = 0 x² - 8x + 15 = 0 ( x – 3 )( x – 5 ) = 0 x – 3 = 0 v x – 5 = 0 x = 3 v x = 5 prod=+15 opgeteld = -8 +1 +15 -1 -15 product = +15 +3 +5 -3 -3 -5 -5 1.1

de vergelijking eerst gelijk aan 0 stellen x = - b + √D v x = - b - √D 3 De abc-formule Bij kwadratische vergelijkingen kun je de oplossing berekenen met de abc – formule als ontbinden in factoren niet lukt. de vergelijking eerst gelijk aan 0 stellen x = - b + √D v x = - b - √D 2a 2a D = b² - 4ac D > 0  2 oplossingen D = 0  1 oplossing D < 0  0 oplossingen 1.1

D = 4 (D > 0  2 oplossingen) x = --4 + √4 v x = --4 - √4 voorbeeld 3x² - 4x + 1 = 0 a = 3 b = -4 c = 1 D = (-4)² - 4 · 3 · 1 D = 16 – 12 D = 4 (D > 0  2 oplossingen) x = --4 + √4 v x = --4 - √4 2 · 3 2 · 3 x = 4 + 2 v x = 4 – 2 6 6 x = 6/6 = 1 v x = 2/6 = 1/3 5

( x + 3 )² = 16x ( x + 3 )( x + 3 ) = 16x x² + 6x + 9 – 16x = 0 opgave 6a ( x + 3 )² = 16x ( x + 3 )( x + 3 ) = 16x x² + 6x + 9 – 16x = 0 x² - 10x + 9 = 0 ( x – 1 )( x – 9 ) = 0 x – 1 = 0 v x – 9 = 0 x = 1 v x = 9 prod.= +9 +1 +9 -1 -1 -9 -9 +3 +3 -3 -3

heeft geen oplossing, want een kwadraat is nooit negatief opgave 6b ( 2x + 3 )² = -16 heeft geen oplossing, want een kwadraat is nooit negatief

( x + 3 )² + ( x + 2 )² = 25 (x² + 6x + 9) + (x² + 4x + 4) – 25 = 0 opgave 6h ( x + 3 )² + ( x + 2 )² = 25 (x² + 6x + 9) + (x² + 4x + 4) – 25 = 0 2x² + 10x - 12 = 0 x² + 5x - 6 = 0 ( x - 1 )( x + 6 ) = 0 x - 1 = 0 v x + 6 = 0 x = 1 v x = -6 prod.= -6 +1 -6 +1 -1 +6 +6

∙ ∙ ∙ Vergelijkingen met een parameter in de vergelijking -x² + 5x + p = 0 heet p een parameter met behulp van de parameter p worden oneindig veel vergelijkingen genoteerd je onderscheidt 3 situaties : 2 oplossingen, 1 oplossing of geen oplossing y = -x² + 5x – 6¼ x ∙ x de vergelijking -x² + 5x – 4 = 0 heeft 2 oplossingen dus de parabool y = -x² + 5x – 4 snijdt de x-as in 2 punten de vergelijking -x² + 5x – 6¼ = 0 heeft 1 oplossing dus de parabool y = -x² + 5x – 6¼ raakt de x-as de vergelijking -x² + 5x – 8 = 0 heeft geen oplossingen dus de parabool y = -x² + 5x – 8 ligt geheel onder de x-as ∙ ∙ x y = -x² + 5x – 4 y = -x² + 5x – 8 1.1

x² - 7x + p = 0 D = (-7)² - 4 · 1 · p D = 49 – 4p D > 0 opgave 8a x² - 7x + p = 0 D = (-7)² - 4 · 1 · p D = 49 – 4p D > 0 49 – 4p > 0 -4p > -49 p < 12¼

2x² - 5x - p = 0 D = (-5)² - 4 · 2 · -p D = 25 + 8p D > 0 opgave 8b 2x² - 5x - p = 0 D = (-5)² - 4 · 2 · -p D = 25 + 8p D > 0 25 + 8p > 0 8p > -25 p > -3⅛

2x² + x + p = 0 D = 1² - 4 · 2 · p D = 1 - 8p D < 0 1 - 8p < 0 opgave 13a 2x² + x + p = 0 D = 1² - 4 · 2 · p D = 1 - 8p D < 0 1 - 8p < 0 -8p < -1 p > ⅛

-½ < p < 0 v 0 < p < ½ opgave 13b px² + x + p = 0 D = 1² - 4 · p · p D = 1 - 4p² D > 0 1 - 4p² > 0 -4p² > -1 p² < ¼ -½ < p < ½ -½ < p < 0 v 0 < p < ½

2x² + px + 1 = 0 D = p² - 4 · 2 · 1 D = p² - 8 D > 0 p² - 8 > 0 opgave 13c 2x² + px + 1 = 0 D = p² - 4 · 2 · 1 D = p² - 8 D > 0 p² - 8 > 0 p² > 8 p < - √ 8 v p > √ 8

kwadrateren is hetzelfde als tot de tweede macht verheffen √10 = 2 √10 Wortels x² = 10 x = √10 v x = - √10 kwadrateren is hetzelfde als tot de tweede macht verheffen √10 = 2 √10 √10 = 10 √10 ≈ 3,16 (√10)² = 10 daarom heet √10 ook wel de tweedemachtswortel van 10 GR 1 y1 = x2 en y2 = 10 plotten  intersect coördinaten v/h snijpunt 2 optie x √ gebruiken 1.2

Hogeremachtswortels x5 = 16 x = √ 16 dus √16 5 = 16 5 5

Voor het oplossen van de vergelijking xn = p kun je 4 verschillende situaties onderscheiden. 1.2

grafiek is puntsymmetrisch in (0, 0) 1 p is positief ( n = oneven ) er is één oplossing x = p = n √ p n = oneven grafiek is puntsymmetrisch in (0, 0) x³ = 3 x = 3 x ≈ 1,44 1,44 1.2

2 p is negatief ( n = oneven ) er is één oplossing x = p = n √ p -1,44 1.2

grafiek is lijnsymmetrisch in de y-as 3 p is positief ( n = even ) er zijn twee oplossingen x = p = n √ p v x = -p = - n √ p x4 = 3 x = 3¼ x ≈ 1,32 v x ≈ -1,32 n = even grafiek is lijnsymmetrisch in de y-as -1,32 1,32 1.2

x4 = -3 x = -3¼ Er is geen oplossing 4 p is negatief ( n = even ) er zijn geen oplossingen x4 = -3 x = -3¼ Er is geen oplossing 1.2

4x4 + 153 = 53x2 4x4 – 53x2 + 153 = 0 stel x2 = p 4p2 – 53p + 153 = 0 opgave 26a 4x4 + 153 = 53x2 4x4 – 53x2 + 153 = 0 stel x2 = p 4p2 – 53p + 153 = 0 D = (-53)2 – 4 · 4 · 153 D = 361 p = --53 ± √361 8 p = 72/8 v p = 34/8 p = 9 v p = 4¼ x2 = 9 v x2 = 4¼ x = 3 v x = -3 v x = √4¼ v x = - √4¼

Modulusvergelijkingen er zijn 2 getallen op de getallenlijn met afstand 4 tot 0 dat zijn -4 en 4 we zeggen dat de modulus van 4 gelijk is aan 4 en dat de modulus van -4 gelijk is aan 4 notatie : |5| = 5 en |-5| = 5 i.p.v. modulus zeggen we ook wel absolute waarde dus de absolute waarde van -7 is 7 |x| is de absolute waarde ofwel de modulus van x |x| is de afstand van het getal x tot o op de getallenlijn |x| = afstand = 4 afstand = 4 -4 -4 x als x ≥ 0 -x als x < 0 1.2

y y = 8 8 6 4 y = | 2x - 1 | 2 -3 -2 -1 1 2 3 4 x -2 -4 -6 opgave 28a los grafisch op : 6 4 y = | 2x - 1 | 2 -3 -2 -1 1 2 3 4 x -3½ 4½ -2 los algebraïsch op : | 2x - 1 | = 8 2x – 1 = 8 v 2x – 1 = -8 2x = 9 v 2x = -7 x = 4½ v x = -3½ -4 y = 2x - 1 -6

Wortelvergelijkingen oplossen opgave 33a 2x + √x = 10 √x = 10 – 2x x = (10 – 2x)2 x = 100 – 40x + 4x2 -4x2 + 40x + x – 100 = 0 -4x2 + 41x – 100 = 0 D = (41)2 – 4 · -4 · -100 D = 81 x = x = 6¼ v x = 4 isoleer de wortelvorm kwadrateer het linker- en het rechterlid los de vergelijking op -4 +/- √81 -8 controleer of de oplossingen kloppen voldoet niet voldoet 1.3

opgave 33b √(x + 12) = x x + 12 = x2 -x2 + x + 12 = 0 x2 – x – 12 = 0 x – 4 = 0 v x + 3 = 0 x = 4 v x = -3 opgave 33c 2x + √x = 6 √x = 6 – 2x x = (6 – 2x)2 x = 36 – 24x + 4x2 -4x2 + 24x + x – 36 = 0 -4x2 + 25x – 36 = 0 D = (25)2 – 4 · -4 · -36 D = 49 x = x = 4 v x = 2¼ opgave 33d 10 - x √x = 2 -x √x = -10 + 2 -x √x = -8 x2 · x = 64 x3 = 64 x = 3 √64 x = 4 -25 ± √49 -8 voldoet voldoet voldoet niet voldoet niet voldoet

Substitutie bij wortelvergelijkingen opgave 36a x3 + 30 = 11x √x x3 – 11x √x + 30 = 0 stel x √x = p p2 – 11p + 30 = 0 (p – 6)(p – 5) = 0 p – 6 = 0 v p – 5 = 0 p = 6 v p = 5 x √x = 6 v x √x = 5 x2 · x = 36 v x2 · x = 25 x3 = 36 v x3 = 25 x = 3 √36 v x = 3 √25 -6 - 5 = -11 en -6 · -5 = 30 kwadraat voldoet voldoet 1.3

Gebroken vergelijkingen Regels voor het algebraïsch oplossen van gebroken vergelijkingen = 0 geeft A = 0 = geeft A = C = geeft A = 0 v B = C = geeft AD = BC A B 0 1 = 0 = kan niet een breuk is nul als de teller nul is en de noemer niet A B C B 1 0 A B A C 0 0 A B C D 0 5 controleer of geen noemer nul wordt 1.3

opgave 41a = 2 = (3x2 – 10) · 1 = (x2 + 1) · 2 3x2 – 10 = 2x2 + 2 = 2 = (3x2 – 10) · 1 = (x2 + 1) · 2 3x2 – 10 = 2x2 + 2 3x2 – 2x2 = 10 + 2 x2 = 12 x = √12 v x = - √12 opgave 41d = 1 = (6x2 – 12) · 3 = (x4 – 2x2 + 1) · 4 18x2 – 36 = 4x4 – 8x2 + 4 -4x4 + 18x2 + 8x2 – 36 – 4 = 0 -4x4 + 26x2 - 40 = 0 -4p2 + 26p – 40 = 0 p = 4 v p = 2½ x2 = 4 v x2 = 2½ x = 2 v x = -2 v x = √2½ v x = - √2½ 3x2 – 10 6x2 – 12 x2 + 1 (x2 – 1)2 3x2 – 10 2 6x2 – 12 4 kruistabel x2 + 1 1 x4 – 2x2 + 1 3 3x2 – 10 2 6x2 – 12 4 x2 + 1 1 x4 – 2x2 + 1 3 voldoet stel x2 = p voldoet D = 262 – 4 · -4 · -40 D = 36 p = (-26 - √36) : -8 = 4 v p = (-26 +√36) : -8 = 2½

Lineaire vergelijking met twee variabelen algemene vorm ax + by = c grafiek is een rechte lijn vb.1 2y + 3x = 8 om de grafiek te plotten moet je eerst y vrijmaken 2y = -3x + 8 y = -1½x + 4 voer in y1 = -1½x + 4 je kunt de grafiek ook tekenen zonder de formule in te voeren in de GR snijpunt met de y-as is (0, 4) rc = -1½ of je gebruikt de formule 2y + 3x = 8 je maakt een tabel met 2 punten vul bijv. x = 0 en x = 2 in dan krijg je de punten (0, 4) en (2, 1) teken de punten en de lijn y 4 ● ● : 2 -1½ 3 ● 2 1 ● x -1 1 2 3 4 -1 1.4

Stelsels vergelijkingen vb.2 gegeven zijn de lijnen f : 2y + x = 4 en g : y – 3x = -5 het punt (2, 1) is het snijpunt van de lijnen of (2, 1) is de oplossing van 2y + x = 4 als van y – 3x = -5 we zeggen dat (2, 1) de oplossing is van het stelsel 2y + x = 4 y – 3x = -5 y 4 g 3 f 2 1 ● x -1 1 2 3 4 -1 1.4

Algebraïsch oplossen van een stelsel vergelijkingen 2y + x = 4 y – 3x = -5 3 1 stap 1: kan elimineren door optellen? + - stap 2: kan elimineren door aftrekken? 3y – 2x = -1 y + 4x = 9 nee nee stap 3: kan elimineren door eerst te vermenigvuldigen en dan optellen of aftrekken ? x geëlimineerd 6y + 3x = 12 y – 3x = -5 + invullen 7y = 7 y = 1 : 7 y = 1 2y + x = 4 2 · 1 + x = 4 2 + x = 4 x = 2 - 2 maakt niet uit welke vergelijking de oplossing is (2, 1) 1.4

+ - - opgave 49a 5x + 2y = 69 x + 3y = -7 3 2 6x + 5y = 62 4x - y = 76 stap 1: kan elimineren door optellen ? + - stap 2: kan elimineren door aftrekken ? 6x + 5y = 62 4x - y = 76 stap 3: kan elimineren door eerst te vermenigvuldigen en dan optellen of aftrekken ? y geëlimineerd nee nee 15x + 6y = 207 2x + 6y = -14 - invullen 13x = 221 x = 17 : 13 x = 17 x + 3y = -7 17 + 3y = -7 3y = -24 y = -8 -17 maakt niet uit welke vergelijking : 3 de oplossing is (17, -8)

elimineren door aftrekken opgave 52 y = ax² + c gaat door de punten (1, 8) en (2, 17) elimineren door aftrekken (1, 8) invullen geeft 8 = a · 1² + c 8 = a + c a + c = 8 (2, 17) invullen geeft 17 = a · 2² + c 17 = 4a + c 4a + c = 17 a + c = 8 4a + c = 17 - -3a = -9 a = 3 : -3 a + c = 8 a = 3 invullen 3 + c = 8 c = 5 - 3 dus a = 3 en c = 5 y = 3x2 + 5

elimineren door optellen opgave 55 y = ax² + bx + c gaat door de punten (-2, -10) , (0, 4) en (3, -5) (0, 4) invullen geeft 4 = c c = 4 (-2, -10) invullen geeft -10 = 4a – 2b + 4 4a – 2b = -14 (3, -5) invullen geeft -5 = 9a + 3b + 4 9a + 3b = -9 4a – 2b = -14 9a + 3b = -9 3 2 elimineren door optellen 12a – 6b = -42 18a + 6b = -18 + 30a = -60 a = -2 : 30 9a + 3b = -9 a = -2 invullen 9 · -2 + 3b = -9 -18 + 3b = -9 3b = 9 b = 3 +18 dus a = -2 , b = 3 en c = 4 y = -2x2 + 3x + 4 : 3

2x + 2(4x – 3) = 9 2x + 8x – 6 = 9 10x – 6 = 9 10x = 15 x = 1½ opgave 57a 2x + 2y = 9 y = 4x - 3 is x of y al vrijgemaakt dan kun je een stelsel oplossen m.b.v. elimineren door substitutie 2x + 2(4x – 3) = 9 2x + 8x – 6 = 9 10x – 6 = 9 10x = 15 x = 1½ invullen + 6 : 10 x = 1½ y = 4x - 3 y = 4 · 1½ - 3 y = 6 - 3 y = 3 de oplossing is (1½, 3)

De vergelijking x² = 2x + 3 kun je op 2 manieren oplossen 1 algebraïsch x² = 2x + 3 x² - 2x – 3 = 0 ( x + 1 )( x - 3 ) = 0 x + 1 = 0 v x - 3 = 0 x = -1 v x = 3 prod= -3 +1 +1 -3 -3 -1 +3 1.5

2 grafisch-numeriek (m.b.v. GR) f(x) = 0  nulpunten berekenen optie zero of ROOT 2 grafisch-numeriek (m.b.v. GR) de oplossingen van de vergelijking x² = 2x + 3 zijn de x-coördinaten van de snijpunten van de grafieken van f(x) = x² en g(x) = 2x + 3 voer in y1 = x² en y2 = 2x + 3 optie intersect geeft x = -1 v x = 3 1.5

Grafisch-numeriek y 10 8 6 4 2 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x -2 y2 -4 -6 x² = 2x + 3 y1 = x² y2 = 2x + 3 optie intersect x = -1 v x = 3 6 4 2 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 3 4 x -2 y2 -4 -6 1.5

opgave 65c |x2 – 4x| = |x2 + 2x - 3| x2 – 4x = x2 + 2x – 3 v x2 – 4x = -(x2 + 2x – 3) x2 – x2 – 4x – 2x + 3 = 0 v x2 – 4x = -x2 – 2x + 3 -6x = -3 v x2 + x2 – 4x + 2x – 3 = 0 x = ½ v 2x2 – 2x – 3 = 0 x = ½ v x ≈ 1,82 v x ≈ -0,82 |x2 – 4x| D = (-2)2 – 4 · 2 · -3 D = 4 + 24 = 26 x = (--2 + √26) : 4 v x = (--2 - √26) : 4 x = 1,82 v x = -0,82 |x2 + 2x - 3| -0,77 0,5 1,77

Los op: y x x² < 2x + 3 f(x) = x² g(x) = 2x + 3 f(x) = g(x) werkschema bij het oplossen van ongelijkheden 1 los de vergelijking f(x) = g(x) op 2 schets de grafieken van f en g 3 lees uit de schets de oplossingen af Los op: y x² < 2x + 3 f(x) = x² g(x) = 2x + 3 f(x) = g(x) x² = 2x + 3 x²- 2x – 3 = 0 ( x + 1 )( x - 3 ) = 0 x = -1 v x = 3 aflezen uit de schets -1 < x < 3 f lees het antwoord af op de x-as f(x) < g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g -1 3 x g

Los op: y x x³ - 2x² > 3x – 4 voer in y1 = x³ - 2x² y2 = 3x - 4 Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) < g(x) waarbij je niet algebraïsch te werk hoeft te gaan, mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen. Los op: y x³ - 2x² > 3x – 4 voer in y1 = x³ - 2x² y2 = 3x - 4 optie intersect x ≈ 1,56 v x = 1 v x ≈ 2,56 aflezen uit de schets -1,56 < x < 1 v x > 2,56 y1 1 -1,56 2,56 x y2 lees het antwoord af op de x-as f(x) > g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g

opgave 68c x2 – 4x ≤ -x2 – 5x + 6 x2 – 4x = -x2 – 5x + 6 D = 12 – 4 · 2 · -6 D = 1 + 48 = 49 x = (-1 ± √49) : 4 x = 1,5 v x = -2 -2 ≤ x ≤ 1,5 Wanneer ligt de dalparabool onder de bergparabool ? -2 1,5

opgave 69c |x3 – 10x| ≤ 2x + 8 -3,24 ≤ x ≤ -3,06 v -0,69 ≤ x ≤ 1,24 v 2 ≤ x ≤ 3,76

p -3 3 opgave 72a x2 + (p2 – 2)x + 12¼ = 0 D = b2 – 4 · 1 · 12¼ stel p2 – 2 = b b2 – 49 > 0 b2 = 49 b = 7 v b = -7 p2 – 2 = 7 v p2 – 2 = -7 p2 = 9 v p2 = -5 p = 3 v p = -3 geen oplossing dus p < -3 v p > 3 p -3 3